2018版高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何初步2.2.1第2課時圓的一般方程學(xué)案蘇教版必修2

1、第 2 課時圓的一般方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握圓的一般方程及其特點.2.會將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能熟練地指出圓心的位置和半徑的大小3 能根據(jù)某些具體條件，運用待定系數(shù)法確定圓的方程ET問題導(dǎo)學(xué)-知識點 圓的一般方程、.2 2 2 2 _ . _ .思考 1 方程x+y- 2x+ 4y+ 1 = 0,x+y- 2x+4y+ 6= 0 分別表示什么圖形?思考 2 方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0 是否表示圓？梳理方程條件圖形+E2-4F0DE1表示以（一2，-2）為圓心，以 2寸DU E2-4F為半徑的圓題型探究類型一圓的一般方程 命題角度 i 圓的一般方程的概念例 1 若方程x2+

2、y2+ 2mx-2y+ni+ 5m= 0 表示圓，求實數(shù)m的取值范圍，并寫出圓心坐標(biāo) 和半徑.反思與感悟形如x2+y2+Dx+Ey+F= 0 的二元二次方程，判定其是否表示圓時可有如下兩種方法由圓的一般方程的定義，若D2+E2-4F0 成立，則表示圓，否則不表示圓.(2)將方程配方后，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解2應(yīng)用這兩種方法時，要注意所給方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F= 0 這種標(biāo)準(zhǔn)形式，若不是，則要化為這種形式再求解跟蹤訓(xùn)練 1 (1)已知a R,方程a2x2+ (a+ 2)y2+ 4x+ 8y+ 5a= 0 表示圓，則圓心坐標(biāo)為，半徑為_.(2)點M N在圓x2+y2+kx+ 2y

3、 4 = 0 上，且點M N關(guān)于直線x-y+ 1 = 0 對稱，則該圓的 面積為_ .命題角度 2 求圓的一般方程)例 2 已知A(2,2) ,B(5,3) ,C(3 , 1).(1)求厶ABC的外接圓的方程；若點Ma,2)在厶ABC的外接圓上，求a的值.引申探究若本例中將條件改為“圓C過A,B兩點且圓C關(guān)于直線y= x對稱”，其他條件不變，如何求圓C的方程？反思與感悟應(yīng)用待定系數(shù)法求圓的方程時應(yīng)注意(1) 如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心坐標(biāo)或半徑列方程，一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用待定系數(shù)法求出a,b,r.(2) 如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，

4、再用待定系數(shù)法求出 常數(shù)D E,F.跟蹤訓(xùn)練 2 已知一圓過 R4 , 2) , Q 1,3)兩點，且在 y 軸上截得的線段長為4 .3，求圓的方程類型二圓的方程在實際生活中的應(yīng)用例 3 如圖所示，一座圓拱橋，當(dāng)水面在I位置時，拱頂離水面 2 米，水面寬 12 米，當(dāng)水面下降 1 米后，水面寬多少米？3反思與感悟本類題一般是用解析法解決實際問題解析法解決實際問題的步驟：建系、設(shè)點、列式、計算、總結(jié)跟蹤訓(xùn)練 3 已知隧道的截面是半徑為4m 的半圓，車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛，一輛寬為 3 m,高為 3.5 m 的貨車能不能駛?cè)脒@個隧道？類型三求動點的軌跡問題例 4 已知動點M到點A(2,0)的

5、距離是它到點B(8,0)的距離的一半(1)求動點M的軌跡方程；若N為線段AM的中點，試求點N的軌跡.反思與感悟求軌跡方程的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示動點P的坐標(biāo).寫出適合條件的點P的集合 M= P|M(P).用坐標(biāo)表示條件M P)，列出方程f(x,y) = 0.(4) 化方程f(x,y) = 0 為最簡形式.(5) 證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上的點跟蹤訓(xùn)練 4 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得的線段長為2 .2,在y軸上截得的線段長為 2 ,3.(1)求圓心P的軌跡方程；J2若P點到直線y=x的距離為帀，求圓P的方程.4當(dāng)堂訓(xùn)練2

6、 21. 圓 2x+ 2y+ 6x 4y 3 = 0 的圓心坐標(biāo)和半徑分別為 _ .2. 若方程x2+y2x+y+ m= 0 表示圓，則實數(shù)m的取值范圍是 _ .3.M(3,0)是圓x2+y2 8x 2y+ 10= 0 內(nèi)一點，過點M的最長弦所在的直線方程是 _ .4. 若圓x2+y2+ 2x 4y+m= 0 的直徑為 3,貝U m的值為_ .5點 R4 , 2)與圓x2+y2= 4 上任一點連線的中點的軌跡方程是 _ .廠規(guī)律與方法 -11. 圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0,來源于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2+ (yb)2=r2.在應(yīng)用 時，注意它們之間的相互轉(zhuǎn)化及表示圓的條件2.

7、圓的方程可用待定系數(shù)法來確定，在設(shè)方程時，要根據(jù)實際情況，設(shè)出恰當(dāng)?shù)姆匠蹋员愫喕忸}過程.3. 對于曲線的軌跡問題，要作簡單的了解，能夠求出簡單的曲線的軌跡方程，并掌握求軌跡方程的一般步驟.5合案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點思考 1 對方程x+y 2x+ 4y+ 1 = 0 配方，得(x 1) + (y+ 2) = 4,表示以(1 , 心，2為半徑的圓，2 2一2 2對方程X+y-2x+ 4y+ 6 = 0 配方，得(X 1) + (y+ 2) = 1,不表示任何圖形. 思考 2 對方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0 配方并移項，得D2E2D?+E2 4F(x+2)2+ (y+擴=41當(dāng)D+E 4F

8、 0 時，方程表示以(一D,E)為圓心，20 ,1解得 n-,51即實數(shù)n的取值范圍為(一a, n .5圓心坐標(biāo)為(一m,1)，半徑為 1 5m跟蹤訓(xùn)練 1(1)( 2, 4)5(2)9n例 2 解(1)設(shè)厶ABC外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F= 0, 由題意，得2 22 + 2 + 2D+ 2E+F= 0,52+ 32+ 5D+ 3E+F= 0,32+-12+ 3D-E+F= 0,Q=8,解得E= 2,F= 12.22即厶ABC的外接圓的方程為x+y 8x 2y+ 12= 0.2)為圓6由(1)知，ABO的外接圓的方程為x2+y2 8x 2y+12= 0,7點Ma,2)在厶ABC勺

9、外接圓上， a1 2+228a2X2+12=0,即a 8a+ 12 = 0，解得a= 2 或 6.引申探究3 2 17 5解/kAB=-,AB的中點坐標(biāo)為 匕,),5 2 32 2AB的垂直平分線方程為57y 2= 3(x2).y=x，聯(lián)上y-2=-：X713x=T，得y=3702 ，138將P, Q的坐標(biāo)分別代入上式,得件2E+F+20=0，D- 3EF10 = 0.2 _ _令x= 0，得y+Ey+F= 0,由已知得|y y2| = 4 ,3，其中 Iy1y2|2= (y1y2)2= (y+y2)2 4y1y2=呂一 4F= 48.聯(lián)立解得D=2,|D=10,E= 0,或E= 8,F=12

10、F=4.2 2 2 2故圓的方程為x+y 2x 12= 0 或x+y 10 x 8y+ 4 = 0.即圓心C的坐標(biāo)為1313(2，- y)，跟蹤訓(xùn)練 2 解設(shè)圓的方程為2+Dx+Ey+F= 0,y1,y2是方程的根,9例 3 解以圓拱橋拱頂為坐標(biāo)原點，以過拱頂?shù)呢Q直直線為 所示.則C(0，-r),即圓的方程為x2+ (y+r)2=r2.將點A的坐標(biāo)(6 , - 2)代入方程， 得 36+ (r 2)2=r2，二r= 10.22圓的方程為x+ (y+ 10) = 100.當(dāng)水面下降 1 米后，可設(shè)點 A的坐標(biāo)為（xo, 3）（X00）,將 A的坐標(biāo)（X。，一 3）代入方程,得Xo=叮 51 ,當(dāng)

11、水面下降 1 米后, 水面寬為 2X0= 2 51 米.跟蹤訓(xùn)練 3 解 如圖，以某一截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點，半圓的直徑L-AO將x= 3 代入得y= .;16 3?= 30),102 2平方后再整理，得X+y= 16.可以驗證，這就是動點M的軌跡方程.設(shè)動點N的坐標(biāo)為(x,y),M的坐標(biāo)為(xi,yi).由于A(2,0)，且N為線段AM的中點,所以Xi= 2x 2,yi= 2y.2 2由知，M是圓x+y= i6 上的點， 所以點M的坐標(biāo)(xi,yi)滿足xi+yi= i6.將代入整理，得(x i)3+y2= 4.所以N的軌跡是以(i,0)為圓心，2 為半徑的圓.跟蹤訓(xùn)練 4 解設(shè)P(x,y)，圓P的半徑為r. 由題設(shè)得y2+ 2 =r2,x2+ 3=r2,從而y2+ 2=x2+ 3.故圓心P的軌跡方程為y2x2= i.3 25.(x 2) + (y+ i) = i所以x=2 +Xi0+yi(2)設(shè)P(xo,yo)，由已知得|xoyo|/2廠亍11又P在曲線y2x2= i 上,|xoyo| = i,從而得yOx0=i,xoyo=