三角形三邊關(guān)系的典型題例析

1、三角形三邊關(guān)系的典型題例析 三角形的三條邊之間主要有這樣的關(guān)系：三角形的兩邊的和大于第三邊，三角形的兩邊的差小于第三邊.利用這兩個(gè)關(guān)系可以解決許多典型的幾何題目.現(xiàn)舉例說(shuō)明.一、確定三角形某一邊的取值范圍問(wèn)題根據(jù)三角形三邊之間關(guān)系定理和推論可得結(jié)論：已知三角形的兩邊為a、b，則第三邊c滿(mǎn)足|ab|cab.例1 用三條繩子打結(jié)成三角形(不考慮結(jié)頭長(zhǎng))，已知其中兩條長(zhǎng)分別是3m和7m，問(wèn)第三條繩子的長(zhǎng)有什么限制.簡(jiǎn)析設(shè)第三條繩子的長(zhǎng)為xm，則73x73，即4x10.故第三條繩子的長(zhǎng)應(yīng)大于4m且小于10m.二、判定三條線段能否組成三角形問(wèn)題根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，只需判斷最小的兩邊之和是否大于第三邊即

2、可.例2（1）（2003年福建三明市中考試題）下列長(zhǎng)度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（ ）a.5cm、7cm、10cm b.7cm、10cm、13cmc.5cm、7cm、13cm d.5cm、10cm、13cm（2）（2004年哈爾濱市中考試題）以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（ ）a.1cm,2cm,4cm b.8cm,6cm,4cmc.12cm,5cm,6cmd.2cm,3cm,6cm 簡(jiǎn)析 由三角形的三邊關(guān)系可知：(1)5+713，故應(yīng)選c；(2)6+48，故應(yīng)選b.例3 有下列長(zhǎng)度的三條線段能否組成三角形？（1）a3，a，3(其中a3)；（2）a，a4，a6(其中a0)

3、；（3）a1，a1，2a(其中a0).簡(jiǎn)析（1）因?yàn)?a3)3=a，所以以線段a3，a，3為邊的三條線段不能組成三角形.（2）因?yàn)?a6)a =6，而6與a4的大小關(guān)系不能確定，所以以線段a，a4，a6為邊的三條線段不一定能組成三角形.（3）因?yàn)?a1)(a1)=2a22，(a1)2a=3a1(a1)，所以以線段a1，a1，2a為邊的三條線段一定能組成三角形.三、求三角形某一邊的長(zhǎng)度問(wèn)題此類(lèi)問(wèn)題往往有陷阱，即在根據(jù)題設(shè)條件求得結(jié)論時(shí)，其中可能有一個(gè)答案是錯(cuò)誤的，需要我們?nèi)ヨb別，而鑒別的依據(jù)就是這里的定理及推論.例4 已知等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分成12cm和21cm兩部分，求這

4、個(gè)三角形的腰長(zhǎng).簡(jiǎn)析如圖1，設(shè)腰ab=xcm，底bc=ycm，d為ac邊的中點(diǎn).根據(jù)題意，得x+x12，且y+x21；或x+x21，且y+x12.解得x8，y17；或x14，y5.圖2圖1dcba顯然當(dāng)x=8，y=17時(shí)，8817不符合定理，應(yīng)舍去.故此三角形的腰長(zhǎng)是14cm.例5一個(gè)三角形的兩邊分別是2厘米和9厘米，第三邊長(zhǎng)是一個(gè)奇數(shù)，則第三邊長(zhǎng)為_(kāi).簡(jiǎn)析 設(shè)第三邊長(zhǎng)為x厘米，因?yàn)?-2<x<9+2，即7<x<11，而x是奇數(shù)，所以x=9.故應(yīng)填上9厘米.四、求三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題此類(lèi)求三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題和求三角形某一邊的長(zhǎng)度問(wèn)題一樣，也會(huì)設(shè)計(jì)陷阱，所以也應(yīng)避免答案的錯(cuò)誤.

5、例6已知等腰三角形的一邊等于5,另一邊等于6,則它的周長(zhǎng)等于_.簡(jiǎn)析已知等腰三角形的一邊等于5,另一邊等于6，并沒(méi)有指明是腰還是底，故應(yīng)由三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)5是腰時(shí)，則底是6，即周長(zhǎng)等于16；當(dāng)6是腰時(shí)，則底是5，即周長(zhǎng)等于17.故這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是16或17.五、判斷三角形的形狀問(wèn)題判斷三角形的形狀主要是根據(jù)條件尋找邊之間的關(guān)系.例7已知a、b、c是三角形的三邊，且滿(mǎn)足a2+b2+c2abbcca=0.試判斷三角形的形狀.簡(jiǎn)析因?yàn)閍2+b2+c2abbcca=0，則有2a2+2b2+2c22ab2bc2ca=0.于是有（ab）2+（）2+（a）20.此時(shí)有非負(fù)數(shù)的性質(zhì)知（a

6、b）2=0；（）2=0；（a）20，即ab=0；=0；a=0.故a=b=c.所以此三角形是等邊三角形.六、化簡(jiǎn)代數(shù)式問(wèn)題這里主要是運(yùn)用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，從而確定代數(shù)式的符號(hào).例8 已知三角形三邊長(zhǎng)為a、b、c，且|abc|abc|=10，求b的值.簡(jiǎn)析因abc，故abc0因abc，故abc0.所以|abc|abc|= abc(abc)=2b=10.故b=5.七、確定組成三角形的個(gè)數(shù)問(wèn)題要確定三角形的個(gè)數(shù)只需根據(jù)題意，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系逐一驗(yàn)證，做到不漏不重.例9 現(xiàn)有長(zhǎng)度分別為2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，從中任取三根，能組成三角形的個(gè)數(shù)為（ ）a.1b.2c.3

7、d.4簡(jiǎn)析 由三角形的三邊關(guān)系知：若以長(zhǎng)度分別為2cm、3cm、4cm，則可以組成三角形；若以長(zhǎng)度分別為3cm、4cm、5cm，則可以組成三角形；若以長(zhǎng)度分別為2cm、3cm、5cm，則不可以組成三角形；若以長(zhǎng)度分別為2cm、4cm、5cm，則也可以組成三角形.即分別為2cm、3cm、4cm、5cm的木棒，從中任取三根，能組成三角形的個(gè)數(shù)為3，故應(yīng)選c.例10 求各邊長(zhǎng)互不相等且都是整數(shù)、周長(zhǎng)為24的三角形共有多少個(gè)？簡(jiǎn)析設(shè)較大邊長(zhǎng)為a，另兩邊長(zhǎng)為b、c.因?yàn)閍bc，故2aabc，a(abc).又aabc，即2abc.所以3aabc，a(abc).所以，(abc)a(abc).×24a×24.所以8a12.即a應(yīng)為9，10，11.由三角形三邊關(guān)系定理和推論討論知： 由此知符合條件的三角形一共有7個(gè).八、說(shuō)明線段的不等問(wèn)題在平面幾何問(wèn)題中，線段之間的不等關(guān)系的說(shuō)明，很多情況下必須借助三角形三邊之間的關(guān)系定理及推論.有時(shí)可直接加以運(yùn)用，有時(shí)則需要添加輔助線，創(chuàng)造條件才能運(yùn)用.例11已知p是abc內(nèi)任意一點(diǎn)，試說(shuō)明:abbccapapbpc(abbcca)的理由.簡(jiǎn)析 如圖2，延長(zhǎng)bp交ac于d點(diǎn).在abd中，可證明abadbppd.在pdc中，可證明pddcpc.兩式相加，可得abacbppc，同理可得abbcpapc，