矩陣代數(shù)(Matrix Algebra)

1、 矩陣代數(shù)（Matrix Algebra）第一節(jié) 矩陣的加法、純量乘積、轉置矩陣定義：(a) ,一個 m × n 的矩陣是指一個由 mn個數(shù)排成m列n行的長方形的列陣。在列陣中的每一個元素稱為元 (entry)，排在第i列第j的元以 (i , j) 一元表之，一個m × n 的矩陣常以符號M = 表之，此處m × n 表M的大小 (size)，m為列數(shù)，n為行數(shù)，而是M的 (i , j) 一元。(b) 若m=n，則n × n的矩陣又稱為n階方陣（square matrix）。(c) 兩個相同大小的矩陣 、，若，則稱此兩矩陣相等。定義：設A = 、B =

2、為相同大小的矩陣，則A+B=。例如 定理1.1：設A、B、C均為m × n 的矩陣，則(a) A+B=B+A （交換律）(b) A+（B+C）=（A+B）+C （結合律）(c) 存在一個m × n的矩陣O，使得O + A = A + O = A（零矩陣存在） (d) 對於每一個A，均存在一個矩陣A/ ，使得 A + A/ = A/ + A = 0 此A/常以-A表之 （加法反矩陣）證明：(a) 設，則(b) +（ + ）=(c) 取同大小的矩陣O = ，即每一個元均為0 ,則O滿足O + A = A + O = A(d) 設一同大小的矩陣 A/ = ，則 A + A/ =

3、O 同理 A + A = O。定義：設 A = ，則 rA = 此稱為純量乘積 (scalar multiplication )，r 稱為純量。定理 1.2：設 A、B 均為 m × n 矩陣，r , s 則 (a) r (A + B) = r A + r B(b) (r + s) A = r A + s B(c) () A = r (s A)(d) 1A = A証明：設 A = ，B = (a) r (A + B) = = = = = = r A + r B (b)、(c)、(d) 同理可証。例：找兩個 1 ×3 矩陣 及 ，使得 解：設 ，解 由 (1) (2) 得 =

4、 代入 (2) 得 = + 2 因此 = + 2 = -1, -3, 2 + 4, 0, 2 = 3, -3, 4 = = 1, 3, -2 - 2, 0, 1 = -1, 3, -3定義：( 轉置矩陣 )若 A = 為一 m ×n 矩陣，則A之轉置矩陣為 ，其中 , ，以 AT 表之。 例：若A 為 ，則 AT = 也就是將原矩陣行列互換，則得轉置矩陣。定理1.3：若 A、B 為 m × n 矩陣，則(a) (AT)T = A(b) (kA)T = k AT(c) (A +B)T = AT + BT証明： 設 A = ，B = 則 A + B = 因此 (A +B)T =

5、 = + = AT + BT(a)、(b) 之証很明顯。定義：一個方陣 A，若 A = AT，則稱為A 為對稱矩陣 (Symmetric Matrix)。例：若 A、B 均為對稱的n階方陣，則 A + B 也是對稱的n階方陣。 根據(jù)定理1.3，(A +B)T = AT + BT， 而 AT = A , BT = B，故 (A +B)T = AT + BT 因此 A + B 為對稱的n階方陣。第二節(jié)矩陣乘法定義：設 = , = 則 = ，其中 = 上式中最後結果表兩向量的點積，其中 為A的第i列，而 為B的第j行，也就是說，AB的第(i , j) 一元為A之第i列與B之第j行的內(nèi)積。又 常簡寫為

6、。例：若 = ， = 則 = 而 = 註：。例：若 A = ，B = 則 之第 (2 , 4) 一元為 例：若A = ，Ek = 則為A之第k行。同理，若 則 為A之第 列。定理2.1：設 k R，A、B、C 為使得下列式中乘法有意義的矩陣。若 In = 為n階方陣，其對角線上的元均為1，其餘為0 ( In 又稱為單位n階方陣 )則(a) ImAm×n=Am×n，Bm×n In =Bm×n(b) A ( BC ) = ( AB ) C(c) A ( B + C) = AB + AC(d) ( B +C ) A = BA + CA(e) k( AB ) =

7、 ( k A) B(f) ( AB )T = B T A T証明：在此我們衹証明 (b) 及 (f) ，其餘同理可証。(b) 設 A = ，B = ，C = 又設 BC = ，則 ，當 A ( BC ) = ，則 另一方面，若設 AB = ，則 當 ( AB ) C = 時，則 (原來的u,v 不過是名義上的變數(shù)代號而已)而 因此 故 A ( BC ) = ( AB ) C(f) 設 A = ，B = 若 AB = 則 另一方面， BTAT 的第 ( i , j) 一元為（BT之第列）（AT之第行）.（此為點積）（B之第行）（A之第列）（）（）故BTAT（AB）T。例. 若A，B，C，為矩陣且

8、ACCA，BCCB則AB與C可交換即（AB）CC（AB）（證明）（AB）C A（BC） （結合律）A（CB） (已知 BC=CB)（AC）B (結合律)（CA）B (已知 AC=CA)C（AB） (結合律)例. 若A，B為nxn 矩陣，則 AB=BA(A-B)(A+B)=A2B2 （證明） （） 假設 AB=BA, 則 (AB)(AB)=AAABBABB= A2B2 （） 假設 (AB)(AB)= A2B2 ,則 AAABBABB= A2B2 即 A2ABBAB2 = A2B2 故 ABBA=0 得 AB=BA區(qū)塊相乘 ( Block Multiplication ) 例 設 , 試計算AB將

9、A劃分為四個區(qū)塊（block）, 其中為2階單位矩陣, 0為一的零矩陣並令 則A可表為同樣將B化為兩個區(qū)塊,上面的區(qū)塊以B11表之,下面的區(qū)塊以B21表之則B可表為因此AB可看成利用區(qū)塊相乘則而 因此如果直接利用矩陣乘法計算也會得到相同的結果，一般而言，若A,其中為區(qū)塊為區(qū)塊為區(qū)塊為區(qū)塊B,其中為區(qū)塊為區(qū)塊為區(qū)塊為區(qū)塊則 AB（把A，B均看成2階矩陣）設A，B 且AB對於AB的第一元為（之第元）（之第元）所以同理可証 如果將此加以推廣，若AB此處為針對區(qū)塊所做的指標，則AB例 若試計算（解）將A寫成區(qū)塊形式 令 則因此 所以 而故而所以矩陣與聯(lián)立線性方程組若有一聯(lián)立線性方程組（含n個變數(shù)） 設為係數(shù)矩陣為常數(shù)矩陣則可視為AXB這又稱為之矩陣形式所以解AXB就好比解普通一次方程式axb一樣，。我們希望解AXB也能仿照得，但這有待研討。定理2.2. 假設是AXB的一解，則任何AXB的解均可表成如下的形式：，其中是齊次聯(lián)立方程組的解。【註】在此稱為一特別解