導(dǎo)數(shù)與微分(教案)

1、重慶工商大學(xué)融智學(xué)院微積分教案（上冊(cè)）章節(jié)名稱：第三章導(dǎo)數(shù)與微分主講教師：岳斯瑋聯(lián)系方式：15178738810106微積分（上冊(cè)）教案第三章 導(dǎo)數(shù)與微分本章教學(xué)目標(biāo)與要求理解導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)。了解導(dǎo)數(shù)的物理意義（速度）， 幾何意義（切線的斜率）和經(jīng)濟(jì)意義（邊際）， 掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。掌握反函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)法，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。理解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系。 了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。理解微分的概念，導(dǎo)數(shù)與微分之間的關(guān)系，以及一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的微分。了解導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用本章教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)概念及其求導(dǎo)法

2、則；2隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；4微分的概念，可微和可導(dǎo)的關(guān)系，微分的計(jì)算§3.1 導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)目的與要求1.理解函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義. 2.掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會(huì)求平面曲線的切線和法線.3.了解導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系.4.理解左右導(dǎo)數(shù)的概念、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1. 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2. 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念、利用定義求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)過(guò)程一、引例導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat)為研究極值問(wèn)題而引入的，但與導(dǎo)數(shù)概念直接相聯(lián)系的是以下兩個(gè)問(wèn)題：已知運(yùn)動(dòng)規(guī)律求速度和已知曲線求它的切線這是由英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓(Newton)和德

3、國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨(Leibniz)分別在研究力學(xué)和幾何學(xué)過(guò)程中建立起來(lái)的下面我們以這兩個(gè)問(wèn)題為背景引入導(dǎo)數(shù)的概念 1瞬時(shí)速度 思考：已知一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，為某一確定時(shí)刻，求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的速度。在中學(xué)里我們學(xué)過(guò)平均速度，平均速度只能使我們對(duì)物體在一段時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)大致情況有個(gè)了解， 這不但對(duì)于火箭發(fā)射控制不夠，就是對(duì)于比火箭速度慢的多的火車、汽車運(yùn)行情況也是不夠的，火車上坡、下坡、轉(zhuǎn)彎、穿隧道時(shí)速度都有一定的要求， 至于火箭升空那就不僅要掌握火箭的速度，而且要掌握火箭飛行速度的變化規(guī)律. 不過(guò)瞬時(shí)速度的概念并不神秘，它可以通過(guò)平均速度的概念來(lái)把握.根據(jù)牛頓第一運(yùn)動(dòng)定理，物體運(yùn)動(dòng)具有慣性，不管它的速

4、度變化多么快，在一段充分短的時(shí)間內(nèi)，它的速度變化總是不大的，可以近似看成勻速運(yùn)動(dòng).通常把這種近似代替稱為“以勻代不勻”. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程是時(shí)間的函數(shù) ，則質(zhì)點(diǎn)在 到 這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為可以看出它是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻速度的一個(gè)近似值，越小，平均速度 與 時(shí)刻的瞬時(shí)速度越接近.故當(dāng)時(shí)，平均速度就發(fā)生了一個(gè)質(zhì)的飛躍，平均速度轉(zhuǎn)化為物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即物體在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為 （1）思考：按照這種思想和方法如何計(jì)算自由落體的瞬時(shí)速度？因?yàn)樽杂陕潴w運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：，按照上面的公式，可知自由落體運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為。這正是我們高中物理上自由落體運(yùn)動(dòng)的速度公式.2切線的斜率 思考：圓的的切線的定義是什

5、么？這個(gè)定義適用于一般的切線嗎？引導(dǎo)學(xué)生得出答案：與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線叫做圓的切線，但這個(gè)定義只適用于圓周曲線，并不適用于一般的曲線.因此，曲線的某一點(diǎn)的切線應(yīng)重新定義.（1）切線的概念曲線C上一點(diǎn)M的切線的是指：在M外另取C上的一點(diǎn)N，作割線MN，當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨向點(diǎn)M時(shí)，如果割線MN繞點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)而趨向極限位置MT，直線MT就叫做曲線C在點(diǎn)M處的切線。簡(jiǎn)單說(shuō)：切線是割線的極限位置。這里的極限位置的含義是：只要弦長(zhǎng)趨于0，也趨向于0.（如圖所示）（2）求切線的斜率設(shè)曲線C為函數(shù)的圖形，則，點(diǎn)為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，割線MN的斜率為：根據(jù)切線的定義可知，當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于M時(shí)，即，割線的斜率趨向于切線

6、的斜率。也就是說(shuō)，如果時(shí)，上式的極限存在，則此極限便為切線的斜率記為，即 （2）3.邊際成本設(shè)某產(chǎn)品的成本C是產(chǎn)量x的函數(shù)，試確定產(chǎn)量為個(gè)單位時(shí)的邊際成本。用前兩例類似的方法處理得：表示由產(chǎn)量變到時(shí)的平均成本，如果極限 （3） 存在，則此極限就表示產(chǎn)量為個(gè)單位時(shí)成本的變化率或邊際成本。 思考：上述三個(gè)問(wèn)題的結(jié)果有沒(méi)有共同點(diǎn)？上述兩問(wèn)題中，第一個(gè)是物理學(xué)的問(wèn)題，第二個(gè)是幾何學(xué)問(wèn)題，第三個(gè)是經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題，分屬不同的學(xué)科，但問(wèn)題都?xì)w結(jié)到求形如 （4）的極限問(wèn)題.事實(shí)上，在學(xué)習(xí)物理學(xué)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算諸如物質(zhì)比熱、電流強(qiáng)度、線密度等問(wèn)題中，盡管其背景各不相同，但最終都?xì)w化為討論形如（4）的極限問(wèn)題.為了統(tǒng)

7、一解決這些問(wèn)題，引進(jìn)“導(dǎo)數(shù)”的概念.二、導(dǎo)數(shù)的定義1導(dǎo)數(shù)的概念定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在點(diǎn)處取得增量（點(diǎn)仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地取得增量，如果極限存在，則這個(gè)極限叫做函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，否則就說(shuō)在點(diǎn)處不可導(dǎo).特別地，當(dāng)時(shí)，為了方便起見(jiàn)，有時(shí)就說(shuō)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大.關(guān)于導(dǎo)數(shù)有幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）導(dǎo)數(shù)除了定義中的形式外，也可以取不同的形式，常見(jiàn)的有（2）反映是自變量 x 從改變到時(shí)，函數(shù)的平均變化速度，稱為函數(shù)的平均變化率；而導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在點(diǎn)處的變化速度，稱為函數(shù)在點(diǎn)處的變化率。2導(dǎo)函數(shù)的概念上面講的是函數(shù)在某一點(diǎn)處可導(dǎo)，如果

8、函數(shù)在開(kāi)區(qū)間I的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)在開(kāi)區(qū)間I上可導(dǎo)，這時(shí)，都對(duì)應(yīng)的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，就構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)叫做的導(dǎo)函數(shù)，記作：。即，導(dǎo)函數(shù)的定義式為：或在這兩個(gè)式子中，可以取區(qū)間I的任意數(shù)，然而在極限過(guò)程中，是常量，或才是變量；并且導(dǎo)數(shù)恰是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值.3.單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念我們知道在極限有左、右極限之分，而導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)是一個(gè)“比值”的極限。因此，根據(jù)左右極限的定義，不難得出函數(shù)左右導(dǎo)數(shù)的概念。定義 極限和分別叫做函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，記為和.如同左、右極限與極限之間的關(guān)系，顯然：函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在并且相等.還應(yīng)說(shuō)明：如果在開(kāi)區(qū)間上可導(dǎo)，且和都存

9、在，就說(shuō)在閉區(qū)間上可導(dǎo).三、按定義求導(dǎo)數(shù)舉例1根據(jù)定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可以總結(jié)出求函數(shù)某一點(diǎn)的步驟為： 求增量： 算比值： 求極限：2運(yùn)用舉例例1 求的導(dǎo)數(shù)（C為常數(shù)）.解 求增量作比值 取極限 所以 即常量的導(dǎo)數(shù)等于零.例2 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解 ，即注意：以后會(huì)證明當(dāng)指數(shù)為任意實(shí)數(shù)時(shí)，公式仍成立，即例如：，例3 求的導(dǎo)數(shù).解 即.用類似方法，可求得. 例4 求的導(dǎo)數(shù).解 所以特別地，當(dāng)時(shí)，有例5 教材例3.4四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義由前面對(duì)切線問(wèn)題的討論及導(dǎo)數(shù)的定義可知：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)M（）處的切線的斜率。因此，曲線在點(diǎn)M（）處的切線方程為. 思考：曲線某一點(diǎn)處

10、切線和法線有什么關(guān)系？能否根據(jù)點(diǎn)M處切線的斜率求點(diǎn)M處的法線方程？ 根據(jù)法線的定義：過(guò)點(diǎn)M（）且垂直于曲線在該點(diǎn)處的切線的直線叫做曲線在點(diǎn)M（）處的法線.如果，根據(jù)解析幾何的知識(shí)可知，切線與法線的斜率互為倒數(shù)，則可得點(diǎn)M處法線方程為：例6 求雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫(xiě)出該點(diǎn)處的切線方程和法線方程.解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，所求的切線的斜率為：所以切線的方程為，即 .法線的方程為，即 .五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理 函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)連續(xù).證明：因?yàn)槿绻瘮?shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，即，從而有，其中，于是，因而，當(dāng)時(shí)，有。這說(shuō)明函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。 思考：定理的逆命題成立嗎？例7 討論函數(shù)在處是否可導(dǎo)

11、。解 因，即在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)都存在但不相等，從而在處不可導(dǎo)。注意：通過(guò)例7可知，函數(shù)在原點(diǎn)（0,0）處雖然連續(xù)，但該點(diǎn)卻不可導(dǎo)，所以函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，則一定連續(xù)，反之不一定成立.課堂小結(jié)1.導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式：2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 3.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：函數(shù)在某點(diǎn)處可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)連續(xù)，反之不一定成立。4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，在幾何表示為曲線在此點(diǎn)的切線的斜率。§3.2 求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式教學(xué)目標(biāo)與要求1. 掌握并能運(yùn)用函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則2. 理解反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并能應(yīng)用；3. 理解復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；4. 掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法；

12、5. 掌握并能運(yùn)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法；6. 熟記求導(dǎo)法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。教學(xué)重點(diǎn)與難度1. 會(huì)用函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)；2. 會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3. 會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)4. 會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及能運(yùn)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。教學(xué)過(guò)程前面，我們根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求出了一些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。但是，如果對(duì)每一個(gè)函數(shù)都用定義去求它的導(dǎo)數(shù),有時(shí)候?qū)⑹且患浅?fù)雜或困難的事情。因此，本節(jié)介紹求導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)基本法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。鑒于初等函數(shù)的定義，有了這些法則和公式，就能比較方便地求出常見(jiàn)的函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。一、函數(shù)的和、差、積、商求導(dǎo)法則1.函數(shù)的和、差求導(dǎo)法則定理1 函數(shù)與在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函

13、數(shù)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且。 同理可證：即證。注意：這個(gè)法則可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和，即，即有限個(gè)函數(shù)代數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的代數(shù)和。例1 教材例3.92.函數(shù)積的求導(dǎo)公式定理2 函數(shù)與在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則函數(shù)在點(diǎn)x也可導(dǎo)，且。注意：1）特別地，當(dāng)（c為常數(shù)）時(shí)，即常數(shù)因子可以從導(dǎo)數(shù)的符號(hào)中提出來(lái)。而且將其與和、差的求導(dǎo)法則結(jié)合，可得：。2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則，也可以推廣到有限個(gè)函數(shù)乘積的情形，即。例2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。1）； 2）。解 1）2）例3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（教材例3.10）。1）； 2）解 1）2）3.函數(shù)商的求導(dǎo)法則定理3 函數(shù)與在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且，則函數(shù)在點(diǎn)x處也可導(dǎo)，且。注意：特別地，

14、當(dāng)（c為常數(shù)）時(shí)，。思考：請(qǐng)各位同學(xué)總結(jié)一下三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式?？偨Y(jié)：根據(jù)上一節(jié)中求出的正弦和余弦的導(dǎo)數(shù)公式，可得三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)想一想：在基本初等函數(shù)中，還有那么函數(shù)沒(méi)有求導(dǎo)法則？在基本初等函數(shù)中，我們還有反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法沒(méi)有討論，如何求呢？易知，反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)分別是三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。能否通過(guò)三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)求反三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)呢？這是可以的，這就是我們下面將要介紹的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：定理4 設(shè)函數(shù)在某一區(qū)間是單調(diào)連續(xù)，在區(qū)間任一點(diǎn)x處可導(dǎo)，且，則它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也處處可導(dǎo)，且或證 因?yàn)楹瘮?shù)在某一區(qū)間內(nèi)是單調(diào)連續(xù)函數(shù)，可知其反函數(shù)

15、在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)也是單調(diào)連續(xù)函數(shù)。當(dāng)?shù)姆春瘮?shù)的自變量y取得改變量時(shí)，由的單調(diào)性知，于是又因?yàn)檫B續(xù)，所以當(dāng)時(shí)，。由條件知，所以故或。即證。 例6 求下列反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 1）； 2）；3）； 4）。 例7 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解 由于為對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，根據(jù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則得所以，指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為特別地，當(dāng)時(shí)，有三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則綜上，我們對(duì)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都進(jìn)行討論，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，以及求導(dǎo)法則，就可以求一些較復(fù)雜的初等函數(shù)了。但是，在初等函數(shù)的構(gòu)成過(guò)程中，除了四則運(yùn)算外，還有復(fù)合函數(shù)形式，例如：。思考：如果，是否有？因此，要完全解決初等函數(shù)的求導(dǎo)法則還必須研究復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

16、。定理 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù)，且簡(jiǎn)記為或。（證明略）注意：（1）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則表明：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量求導(dǎo)乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)。這種從外向內(nèi)逐層的求導(dǎo)的方法，形象稱為鏈?zhǔn)椒▌t。（2）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到有限個(gè)中間變量的情形。例如，設(shè)，則或（3）在熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，求導(dǎo)時(shí)不必寫(xiě)出具體的復(fù)合步驟。只需記住哪些變量是自變量，哪些變量是中間變量，然后由外向內(nèi)逐層依次求導(dǎo)。例8 教材例3.15例9 教材例3.16例10 求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例11 教材例3.17（抽象函數(shù)求導(dǎo)）例12 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

17、。1）； 2）。四、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及對(duì)數(shù)求導(dǎo)法1.隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）隱函數(shù)的概念函數(shù)表示兩個(gè)變量y與x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用各種不同的方式表達(dá)。例如等，用這種方式表達(dá)的函數(shù)稱為y是x得顯函數(shù)。而有些函數(shù)自變量x與因變量y之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律是由一個(gè)包含x，y的方程來(lái)確定的，例如等，用這種方式表達(dá)的函數(shù)稱為y為x的隱函數(shù)。（2）隱函數(shù)的求導(dǎo)方法1）可以化為顯函數(shù)的隱函數(shù)：先化為顯函數(shù)，再用前面所學(xué)的方法求導(dǎo)。2）不易或不能化為顯函數(shù)的隱函數(shù)：將方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，對(duì)與只含x的項(xiàng)，按通常的方法求導(dǎo)，對(duì)于含有y以及y的函數(shù)的項(xiàng)求導(dǎo)時(shí)，則分別作為x的函數(shù)和x的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。這樣求導(dǎo)后，就得

18、到一個(gè)含有x，y，的等式，從等式中解出，即得隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（3）隱函數(shù)求導(dǎo)舉例例13 （教材例3.18）由方程確定y是x得函數(shù)，求y的導(dǎo)數(shù)。解 將方程中的y看成x的函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，將方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)得，解出。 例14 教材例3.192.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法（1）方法對(duì)于某些類型的函數(shù)，可以采用先取對(duì)數(shù)，變成隱函數(shù)，利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法：對(duì)x求導(dǎo),解出的方法求導(dǎo)。即所謂的對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。（2）適用范圍：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)冪指函數(shù)與多個(gè)函數(shù)乘積的形式特別方便。它可以使積、商導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算化為和、差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算。例15 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例16 教材例3.22課堂小結(jié) 想一想：求導(dǎo)法則、基本初等函數(shù)的公式、反函

19、數(shù)求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則？通過(guò)本節(jié)以及上一節(jié)學(xué)習(xí)，到目前為止。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了全部初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和函數(shù)的求導(dǎo)法則，以及反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則。從而解決了初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題。這些公式和法則是基礎(chǔ)，所以，必須要牢記和熟記。歸納如下：1.求導(dǎo)法則（1） （2）（3）（c為常數(shù)） （4） （5）（c為常數(shù)）（6）（7），其中2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式§3.3 高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)與要求 1.高階導(dǎo)數(shù)的定義以及求法； 2.熟記一些常見(jiàn)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 高階導(dǎo)數(shù)的求法教學(xué)過(guò)程一、回顧一階導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念1導(dǎo)數(shù)的定義2到函數(shù)的概念二、高階導(dǎo)數(shù)1.高階導(dǎo)數(shù)的定義思考：

20、什么是變速直線運(yùn)動(dòng)物體的加速度？ 前面講過(guò)，若質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，則物體的運(yùn)動(dòng)速度為，或，而加速度是速度對(duì)時(shí)間的變化率，即是速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)：或，由上可見(jiàn)，加速度是的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這樣就產(chǎn)生了高階導(dǎo)數(shù)，一般地，先給出下列定義：定義 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在x點(diǎn)可導(dǎo)，就稱在點(diǎn)x的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)x處的二階導(dǎo)數(shù)，記為或，即，此時(shí)，也稱函數(shù)在點(diǎn)x處二階可導(dǎo)。關(guān)于高階導(dǎo)數(shù)有以下幾點(diǎn)說(shuō)明：1）若在區(qū)間上的每一點(diǎn)都二次可導(dǎo)，則稱在區(qū)間上二次可導(dǎo)，并稱為在上的二階導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱二階導(dǎo)數(shù)；2）仿上定義，由二階導(dǎo)數(shù)可定義三階導(dǎo)數(shù)，即。由三階導(dǎo)數(shù)可定義四階導(dǎo)數(shù)，一般地，可由階導(dǎo)數(shù)定義階導(dǎo)數(shù)；3）二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)

21、，高階導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)函數(shù)分別記為：， ，或與或； 4）開(kāi)始所述的加速度就是對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)，依上記法，可記或； 5）未必任何函數(shù)所有高階都存在； 6）由定義不難知道，對(duì)，其導(dǎo)數(shù)（也稱為一階導(dǎo)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)為二階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為四階導(dǎo)數(shù)，一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為階導(dǎo)數(shù)，否則，因此，求高階導(dǎo)數(shù)是一個(gè)逐次向上求導(dǎo)的過(guò)程，無(wú)須其它新方法，只用前面的求導(dǎo)方法就可以了。2.求高階導(dǎo)數(shù)舉例例1 ，求。解 。例2 教材例3.23例3 ，求各階導(dǎo)數(shù)。解 ，顯然易見(jiàn)，對(duì)任何，有， 即。例4 ，求各階導(dǎo)數(shù)。解 一般地，有，即 。 同樣可求得 。例5 ，求各階導(dǎo)數(shù)。解 ， ， 一般地，有 即 。例

22、6 ，為任意常數(shù)，求各階導(dǎo)數(shù)。解 ， ，一般地， 即 。當(dāng)為正整數(shù)時(shí)， 時(shí)，； 時(shí)，； 時(shí)，。注意：上述例子中，所得的結(jié)論是一些常見(jiàn)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式，因此。請(qǐng)各位同學(xué)牢記，以后直接作為公式應(yīng)用。為了便于同學(xué)們掌握，特歸納如下：課堂小結(jié)1. 二節(jié)導(dǎo)數(shù)的定義是什么？2. 常見(jiàn)函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式。§3.4 函數(shù)的微分教學(xué)目標(biāo)與要求1. 理解函數(shù)微分的定義以及可微與可導(dǎo)的關(guān)系；2. 知道微分的幾何意義；3. 掌握微分的基本公式和運(yùn)算法則。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1 微分的定義的理解；2 微分的基本公式和運(yùn)算法則的運(yùn)用。教學(xué)過(guò)程一、微分的定義1.微分的定義思考：在學(xué)習(xí)微分之前，請(qǐng)同學(xué)們想一想，導(dǎo)數(shù)有何

23、實(shí)際意義？根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，知道導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)相對(duì)于自變量的變化快慢的程度。在實(shí)際生活中，還會(huì)經(jīng)常遇到與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)的一種問(wèn)題，即在運(yùn)動(dòng)或變化過(guò)程中，當(dāng)自變量有一個(gè)微小的改變量時(shí)，要計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)改變量。但是，通常，計(jì)算函數(shù)的改變量是比較困難的，因此，希望能找到函數(shù)改變量的一個(gè)便于計(jì)算的近似表達(dá)式，這樣就引入了微分學(xué)中的另一個(gè)重要概念微分。那么，微分的定義是什么呢？首先，我們通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)體會(huì)一下微分的思想。引例：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響，其邊長(zhǎng)由變到，如圖所示，問(wèn)此薄片的面積改變了多少？ 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，面積為S，則有。因此，當(dāng)薄片受溫度變化的影響時(shí)面積改變量可以看成是當(dāng)自變

24、量x由由變到時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的改變量。即。從上式可以看出，由兩部分構(gòu)成：1）第一部分是的線性函數(shù)；2）第二部分，當(dāng)時(shí)，是比高階的無(wú)窮小。于是，當(dāng)很小時(shí)，面積S的增量可以近似地用其線性主部來(lái)代替。即。數(shù)學(xué)上，這樣的例子有很多，思考：是否所有函數(shù)的都可以分成兩部分：一部分是的線性部分，其余部分是的高階無(wú)窮?。坎⒉皇撬泻瘮?shù)的都具有上述特點(diǎn)，數(shù)學(xué)上，將具有上述特性的函數(shù)的的線性部分稱為函數(shù)的微分。因此，微分的定義如下;定義 設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)由定義，x及在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量可以表示為，其中A是不依賴的常數(shù)，而是的高階無(wú)窮小量。則稱函數(shù)在點(diǎn)x處可微，并稱為函數(shù)在點(diǎn)x處的微分，記為或，即或。 如果改變量

25、不能表示為的形式，則稱函數(shù)在點(diǎn)x處不可微或微分不存在。根據(jù)微分定義，易知： 2微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系注意：綜上可知，求微分的問(wèn)題可歸結(jié)為求導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題，因此求導(dǎo)數(shù)與求微分的方法稱為微分法。二、微分的幾何意義設(shè)函數(shù)的圖形如圖所示，過(guò)曲線上一點(diǎn)處作切線，設(shè)的傾角為，則當(dāng)自變量有增量時(shí)，切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)地有增量因此，微分幾何上表示當(dāng)自變量有增量時(shí)，曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線的縱坐標(biāo)的增量. 由近似代替就是用點(diǎn)處的縱坐標(biāo)的增量近似代替曲線的縱坐標(biāo)的增量。由圖可知，函數(shù)的微分與函數(shù)的增量相差的量在圖中以表示，當(dāng)時(shí)，變動(dòng)的是的高階無(wú)窮小量.因此，在點(diǎn)M的鄰近，可以用切線段來(lái)近似代替曲線段。簡(jiǎn)稱“以直代曲”。三、微分的基

26、本公式與運(yùn)算法則由微分的定義可以看出，要計(jì)算函數(shù)的微分，只要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再乘以自變量的微分。因此，利用函數(shù)求導(dǎo)的基本公式和運(yùn)算法則，可得出求函數(shù)微分的基本公式和運(yùn)算法則. 為使用方便，列出如下. 1.微分公式（1） （為任意常數(shù)）（2） （為任意實(shí)數(shù)）（3） （且） 特殊 （4） （且） 特殊 （5） （6） 2微分的運(yùn)算法則 （為任意常數(shù)） （證明略） 3復(fù)合函數(shù)的微分法則設(shè)函數(shù)分別關(guān)于u和x可導(dǎo)，則由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可知于是，根據(jù)微分的定義有并且。所以，或。注意：由此可見(jiàn)不管自變量u是自變量還是中間變量，微分的形式總保持不變，我們稱此性質(zhì)為微分形式的不變性。4微分的運(yùn)算舉例例3 教材

27、例3.27例4 教材例3.28 課堂小結(jié)1. 微分的概念；2. 微分的幾何意義；3. 微分的基本公式4. 微分的運(yùn)算法則。§3.5 導(dǎo)數(shù)與微分的簡(jiǎn)單應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)與要求 1.掌握導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用：邊際分析與彈性分析 2.了解微分的應(yīng)用：近似計(jì)算與誤差分析教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)理解并能運(yùn)用邊際分析與彈性分析教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用邊際與彈性是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的兩個(gè)重要概念。從實(shí)質(zhì)上講，它們都是變量的某種增量比的極限。由于增量比值的極限總與導(dǎo)數(shù)有關(guān)，而許多經(jīng)濟(jì)函數(shù)又均可視為一個(gè)連續(xù)、可導(dǎo)的函數(shù)，因此可利用導(dǎo)數(shù)的概念來(lái)研究經(jīng)濟(jì)變量的邊際和彈性。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常把用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量邊際和彈性的方法，

28、稱為邊際分析與彈性分析。下面我們就具體來(lái)介紹邊際分析與彈性分析.（一）邊際與邊際分析1函數(shù)的變化率與邊際函數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常常用到平均變化率與邊際這兩個(gè)概念。設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，在數(shù)量關(guān)系上，1）平均變化率指的是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量的比值，如果用函數(shù)形式來(lái)表示的話，就是，它表示在內(nèi)的平均變化速度。2）而邊際則是自變量的改變量趨于零時(shí)的極限，即，可以說(shuō)，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)學(xué)上就是邊際，在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)稱為在點(diǎn)的邊際函數(shù)值，表示在點(diǎn)處的變化速度。值得注意是：對(duì)于經(jīng)濟(jì)函數(shù)，經(jīng)濟(jì)變量x在有一個(gè)改變量，則經(jīng)濟(jì)變量y的值也有一個(gè)相應(yīng)的改變量為特別是，當(dāng)時(shí)，則。這就說(shuō)明當(dāng)x在改變“一個(gè)單位”時(shí)，y相應(yīng)地近似改變個(gè)單位

29、。在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)濟(jì)學(xué)家常常略去“近似”而直接說(shuō)y改變個(gè)單位，這就是邊際函數(shù)值的含義。2邊際成本設(shè)某產(chǎn)品生產(chǎn)q個(gè)單位時(shí)的總成本為C = C ( q )，當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到q 個(gè)單位時(shí)，任給產(chǎn)量一個(gè)增量，相應(yīng)的總成本將增加，于是再生產(chǎn)個(gè)單位時(shí)的平均成本為(總成本在產(chǎn)量從q變到q+時(shí)的平均變化率)：如果總成本為C = C ( q )在q可導(dǎo)，那么，稱為產(chǎn)量為q個(gè)單位時(shí)的邊際成本，一般記為： 。邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到q 個(gè)單位時(shí)，再增加一個(gè)單位的產(chǎn)量，即時(shí)，總成本將增加個(gè)單位（近似值）。例1 設(shè)一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的日產(chǎn)量為800臺(tái)，日產(chǎn)量為q個(gè)單位時(shí)的總成本函數(shù)為：求（1）產(chǎn)量為600臺(tái)時(shí)的總成本；

30、 （2）產(chǎn)量為600臺(tái)時(shí)的平均總成本； （3）產(chǎn)量由600臺(tái)增加到700臺(tái)時(shí)總成本的平均變化率； （4）產(chǎn)量為600臺(tái)時(shí)的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。解 （1）； （2） （3） （4）這說(shuō)明，當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到600臺(tái)時(shí)，再增加一臺(tái)的產(chǎn)量，總成本大約增加122。3邊際收益設(shè)某商品銷售量為q個(gè)單位時(shí)的總收入函數(shù)為R = R (q)，當(dāng)銷量達(dá)到q 個(gè)單位時(shí)，再給銷量一個(gè)增量，其相應(yīng)的總收入將增加，于是再多銷售個(gè)單位時(shí)的平均收益為：如果總收入函數(shù)R = R (q)在q可導(dǎo)，那么，稱為銷售量為q個(gè)單位時(shí)的邊際收入，一般記為：邊際收入的經(jīng)濟(jì)意義是：銷售量達(dá)到q個(gè)單位的時(shí)候，再增加一個(gè)單位的銷量，即時(shí)，相應(yīng)的總

31、收入增加個(gè)單位。例3設(shè)某種電器的需求價(jià)格函數(shù)為：。其中，p為銷售價(jià)格，q為需求量。求銷售量為60件時(shí)的邊際收益，銷售量達(dá)到70件時(shí)，邊際收益如何？并作出相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)解釋。（單位：元）解 由已知總收入函數(shù)為： 于是，銷售量為60件時(shí)的總收入為：（元）； 所以，銷售量為60件時(shí)的邊際收益為：。 這說(shuō)明，當(dāng)銷售量達(dá)到60件時(shí)，再增加一件的銷量，不增加總收入。 銷售量為70件時(shí)的邊際收益為：。 這說(shuō)明，當(dāng)銷售量達(dá)到70件時(shí)，再增加一件的銷量，總收入會(huì)減少5元。 4邊際利潤(rùn)設(shè)某商品銷售量為q個(gè)單位時(shí)的總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng) = L (q)，當(dāng)銷量達(dá)到q 個(gè)單位時(shí)，再給銷量一個(gè)增量，其相應(yīng)的總利潤(rùn)將增加，于是再多銷

32、售個(gè)單位時(shí)的平均利潤(rùn)為：如果總利潤(rùn)函數(shù)在q可導(dǎo)，那么，稱為銷售量為q個(gè)單位時(shí)的邊際利潤(rùn)，一般記為：邊際利潤(rùn)的經(jīng)濟(jì)意義是：銷售量達(dá)到q個(gè)單位的時(shí)候，再增加一個(gè)單位的銷量，即時(shí)，相應(yīng)的總利潤(rùn)增加個(gè)單位。由于總利潤(rùn)、總收入和總成本有如下關(guān)系：因此，邊際利潤(rùn)又可表示成：例3 設(shè)生產(chǎn)q件某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為：如果該產(chǎn)品銷售單價(jià)為：p = 280元件，求（1）該產(chǎn)品的總利潤(rùn)函數(shù)；（2）該產(chǎn)品的邊際利潤(rùn)函數(shù)以及銷量為個(gè)單位時(shí)的邊際利潤(rùn)，并對(duì)此結(jié)論作出經(jīng)濟(jì)意義的解釋。（3）銷售量為何值時(shí)利潤(rùn)最大？解（1）由已知可得總收入函數(shù)：，因此總利潤(rùn)函數(shù)為： （2）該產(chǎn)品的邊際利潤(rùn)函數(shù)為：；這說(shuō)明，銷售量達(dá)到420件時(shí)，

33、多銷售一件該產(chǎn)品，總利潤(rùn)會(huì)減少6元。 （3）令，解得（件），又，所以當(dāng)銷售量件時(shí)，獲利最大。（二）彈性與彈性分析1彈性函數(shù)在引入概念之前，我們先看一個(gè)例子：有甲、乙兩種商品，它們的銷售單價(jià)分別為p1 = 12元，p2 = 1200元，如果甲、乙兩種商品的銷售單價(jià)都上漲10元，從價(jià)格的絕對(duì)改變量來(lái)說(shuō)，它們是完全一致的。但是，甲商品的上漲是人們不可接受的，而對(duì)乙商品來(lái)說(shuō)，人們會(huì)顯得很平靜。就其原因，就是相對(duì)改變量的問(wèn)題。相比之下，甲商品的上漲幅度為83.33，而乙商品的漲幅只有0.0083，乙商品的漲幅人們自然不以為然。在這一部分，我們將給出函數(shù)的相對(duì)變化率的概念，并進(jìn)一步討論它在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

34、。定義 設(shè)f ( x )在x0處可導(dǎo)，那么函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量的比值：稱為函數(shù)y = f ( x )從到之間弧彈性，令，的極限稱為y = f ( x )在的點(diǎn)彈性，一般就稱為彈性。并記為。即。y = f ( x )在任一點(diǎn)x的彈性記為：，并稱其為彈性函數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，因此函數(shù)的彈性反映了自變量相對(duì)改變量對(duì)相應(yīng)函數(shù)值的相對(duì)改變量影響的靈敏程度。即表示當(dāng)自變量在點(diǎn)處變化1%時(shí)，函數(shù)近似地變化%，在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中解釋彈性的具體意義時(shí)，略去“近似”二字。例4 教材例3.322需求彈性和供給彈性（1）需求彈性定義1 設(shè)某種商品的需求量為Q，銷售價(jià)格為p，若需求函數(shù)為在處可導(dǎo)，稱為該商品在到

35、兩點(diǎn)間的需求彈性，記為而極限稱為該商品在處的需求彈性，記為。一般地，若需求函數(shù)可導(dǎo)，任意一點(diǎn)的需求彈性為：，稱其為需求彈性函數(shù)，記為注意：一般情況下，是減函數(shù)，價(jià)格高了，需求量反而會(huì)降低，為此。另外，其經(jīng)濟(jì)解釋為：在銷售價(jià)格為p的基礎(chǔ)上，價(jià)格上漲1，相應(yīng)的需求量將下降。例5 教材例3.33（2）供給彈性定義2 設(shè)某種商品的供給量為Q，供給價(jià)格為p，若供給函數(shù)為在處可導(dǎo)，稱為該商品在到兩點(diǎn)間的供給彈性，記為而極限稱為該商品在處的供給彈性，記為。一般地，若供給函數(shù)可導(dǎo)，任意一點(diǎn)的供給彈性為：，稱其為供給彈性函數(shù)，記為注意：一般情況下，供給函數(shù)是增函數(shù)，價(jià)格高了，供給量會(huì)增加，為此。另外，其經(jīng)濟(jì)解釋為：在供給價(jià)格為p的基礎(chǔ)上，價(jià)格上漲1，相應(yīng)的供給量將增加。（3）用需求彈性分析總收益的變化在商品經(jīng)濟(jì)中，經(jīng)營(yíng)者關(guān)心的是提價(jià)（）或降價(jià)（）