數(shù)列極限是數(shù)學(xué)分析最重要的基礎(chǔ)之一它不僅與函數(shù)極限學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)列數(shù)列(shli)極限是數(shù)學(xué)分析最重要的基礎(chǔ)極限是數(shù)學(xué)分析最重要的基礎(chǔ)之一它不僅與函數(shù)極限之一它不僅與函數(shù)極限第一頁(yè)，共24頁(yè)。為數(shù)列.因?yàn)镹+的所有元素可以(ky)從小到大排列出來(lái), 12,naaa則稱若函數(shù) f 的定義域?yàn)槿w正整數(shù)的集合 +N ,+:NR ( ),Nff nn或或或簡(jiǎn)記(jin j)為 an. 這里 an 所以(suy)我們也將數(shù)列寫(xiě)成稱為數(shù)列 an 的通項(xiàng).O121n n1a2ana1na .一、數(shù)列的定義第1頁(yè)/共23頁(yè)第二頁(yè)，共24頁(yè)。樣的過(guò)程可以(ky)無(wú)限制地進(jìn)行下去.我們(w men)把每天截下部分 (或剩下部分) 的長(zhǎng)度列出：第一天截下,21 第二

2、天截下21,2第n天截下1,.2n這樣就得到一個(gè)數(shù)列:古代哲學(xué)家莊周所著的莊子 天下篇引用了一句話: “一尺之棰, 日取其半, 萬(wàn)世不竭”. 它的意思是: 一根長(zhǎng)為一尺的木棒, 每天截下一半, 這第2頁(yè)/共23頁(yè)第三頁(yè)，共24頁(yè)。21111,.2 222nn 或或容易看出: 數(shù)列1122nn的通項(xiàng)的通項(xiàng)隨著 n 的無(wú)限增大而無(wú)限(wxin)趨于 0 .第3頁(yè)/共23頁(yè)第四頁(yè)，共24頁(yè)。下面給出嚴(yán)格(yng)的數(shù)學(xué)定義.定義1na設(shè)設(shè)為一個(gè)數(shù)列, a 為一個(gè)常數(shù), 若對(duì)于任意的正數(shù) ,總存在正整數(shù) N, 使當(dāng) n N 時(shí), 0 ,| aan則稱數(shù)列收斂于a , 又稱 a 為數(shù)列 的極限,nana

3、一般地說(shuō),對(duì)于數(shù)列 , 若當(dāng) n 充分變大時(shí), anna能無(wú)限地接近某個(gè)常數(shù) a , 則稱 收斂于 a . na第4頁(yè)/共23頁(yè)第五頁(yè)，共24頁(yè)。記作limnnaa (,) .naa n 或或若 不收斂, 則稱 為發(fā)散數(shù)列.nanaxa1 Na1a2a a a()na注 定義(dngy)1 這種陳述方式，俗稱為 “ - N ”說(shuō)法.第5頁(yè)/共23頁(yè)第六頁(yè)，共24頁(yè)。以說(shuō)明, 希望(xwng)大家對(duì) “ - N ”說(shuō)法能有正確的認(rèn)識(shí). 例1用定義驗(yàn)證:1lim0.nn 分析 對(duì)于任意正數(shù), 要使10,n 只要.1 n證對(duì)于任意的正數(shù) ,1,N 取取,nN 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)10,n 所以1lim0.nn

4、為了加深對(duì)數(shù)列收斂定義的了解(lioji), 下面結(jié)合例題加第6頁(yè)/共23頁(yè)第七頁(yè)，共24頁(yè)。lim0,(0|1).nnqq例2 用定義驗(yàn)證分析 對(duì)于任意的正數(shù) , 要使 |0|,nq 只要log.log|nq 這就證明了lim0.nnq |0|.nq 證0(01),不不妨妨設(shè)設(shè),nN當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有 log,log |Nq 取取 第7頁(yè)/共23頁(yè)第八頁(yè)，共24頁(yè)。22217,3373 37nnnnnn （）7,n 當(dāng)時(shí),27nn 22237322,nnnnn只要 即可. 13n 221lim.337nnnn 例3 用定義驗(yàn)證0, 任任給給由由 分析故要使2272133 376nnnnnn （）

5、 成立,第8頁(yè)/共23頁(yè)第九頁(yè)，共24頁(yè)。證 對(duì)于(duy)任意的正數(shù) , 取1max 7,3N , nN 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有221,337nnn 即得221lim.337nnnn 注意 解這個(gè)不等式是在 的條件下進(jìn)行的.7n 第9頁(yè)/共23頁(yè)第十頁(yè)，共24頁(yè)。11 .nna 設(shè)設(shè)因因?yàn)闉?11nnnna 所以例4, 1lim nna0.a 其其中中用定義驗(yàn)證1.na 因此證得.1lim nna證 這里只驗(yàn)證的情形（ 時(shí)自證）.1 a01a.110naann 故對(duì)于任意正數(shù) 1,aNnN 取取當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 第10頁(yè)/共23頁(yè)第十一頁(yè)，共24頁(yè)。從定義及上面的例題(lt)我們可以看出:此外，又因 是任意

6、正數(shù), 所以 等等,2,3,2 1. 的任意性: 定義中的 用來(lái)刻畫(huà)數(shù)列 an 的通項(xiàng)與定數(shù) a 的接近(jijn)程度. 顯然正數(shù) 愈小,表示 a n與 a 接近的程度愈高； 是任意的, 這就表示 an與 a 可以任意接近.要注意， 一旦給出，在接下來(lái)計(jì)算 N 的過(guò)程中，它暫時(shí)看作是確定不變的.第11頁(yè)/共23頁(yè)第十二頁(yè)，共24頁(yè)。 |aan可以用 Kaan |( K 為某一正常數(shù) ) 來(lái)代替. 定義(dngy) 1, 那么對(duì) 1 自然也可以驗(yàn)證成立.均可看作(kn zu)任意正數(shù), 故定義 1 中的不等式2. N 的相對(duì)性:從定義(dngy)1 中又可看出, 隨著 的取值不同, N 當(dāng)然也

7、會(huì)不同. 但這并不意味著 N 是由 再有, 我們還可以限定 小于某一個(gè)正數(shù) ( 比如 1 ). 事實(shí)上, 對(duì) 0 N1 = 2N 時(shí), 對(duì)于(duy)同樣的 , 更應(yīng)有 惟一(wiy)確定. 例如, 當(dāng) n N 時(shí), 有求 N 的 “ 最佳(zu ji)性 ” . .| aan也就是說(shuō), 在這里只是強(qiáng)調(diào) N 的存在性, 而不追第13頁(yè)/共23頁(yè)第十四頁(yè)，共24頁(yè)。3. 極限的幾何(j h)意義示當(dāng) n N 時(shí), .lim, );(aaaUannn 即即 從幾何上看, ,實(shí)際上就是時(shí)有Nn “”| aan所有下標(biāo)大于 N 的 an 全都落在鄰域 之內(nèi)，);( aU而在 之外, an 至多只有有限

8、項(xiàng)( N 項(xiàng) ).);( aU反過(guò)來(lái), 如果對(duì)于任意正數(shù) , 落在 之外至);( aU多只有(zhyu)有限項(xiàng), 設(shè)這些項(xiàng)的最大下標(biāo)為 N, 這就表第14頁(yè)/共23頁(yè)第十五頁(yè)，共24頁(yè)。 an 的有限多項(xiàng), 則稱數(shù)列 an 收斂(shulin)于a . 這樣, an 不以 a 為極限的定義也可陳述為:存在, 00 之外含有 an 中的無(wú)限多00()aa使使得得在在，不以任何(rnh)實(shí)數(shù) a 為極限.以上是定義 1 的等價(jià)(dngji)說(shuō)法, 寫(xiě)成定義就是:定義1 任給, 若在 之外至多只有0 );( aU項(xiàng).注 an 無(wú)極限（即發(fā)散）的等價(jià)定義為: an 第15頁(yè)/共23頁(yè)第十六頁(yè)，共24頁(yè)

9、。2定定義義lim0,.nnnaa若若則則為為無(wú)無(wú)窮窮小小數(shù)數(shù)列列稱稱 21!.1nnnqqnn例例和和是是無(wú)無(wú)窮窮小小數(shù)數(shù)列列 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,如如2.1nnaaaa數(shù)數(shù)列列收收斂斂于于的的充充要要條條件件是是: :定定理理以下定理(dngl)顯然成立,請(qǐng)讀者自證.4.無(wú)窮小數(shù)列(shli)和無(wú)窮大數(shù)列(shli)是是無(wú)無(wú)窮窮小小數(shù)數(shù)列列. .是是無(wú)無(wú)窮窮小小數(shù)數(shù)列列. .第16頁(yè)/共23頁(yè)第十七頁(yè)，共24頁(yè)。,大大數(shù)數(shù)列列 記記作作lim.nna ,窮窮大大數(shù)數(shù)列列負(fù)負(fù)無(wú)無(wú)窮窮大大數(shù)數(shù)列列或或分分別別記記作作limlim.nnnnaa 或或3定定義義0,naG設(shè)設(shè)是是一一數(shù)數(shù)列列, ,若若對(duì)

10、對(duì)任任意意總總存存在在正正,nnNnN aGa整整數(shù)數(shù)使使無(wú)無(wú)則則稱稱窮窮得得任任意意是是,nnnnaGaGaGa若若改改為為或或則則稱稱正正無(wú)無(wú)是是 第17頁(yè)/共23頁(yè)第十八頁(yè)，共24頁(yè)。為了更好地理解定義, 再舉一些例題.”“N 例5 證明發(fā)散.)1( n 又因 a 是任意的, 所以 發(fā)散. a 為極限.na證 對(duì)于任意實(shí)數(shù) a, 取,210 :)1( 滿足滿足nna 之外有無(wú)限多)21,21(,)0(0 aaaa在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)所以由定義1,不以na個(gè)偶數(shù)項(xiàng)（奇數(shù)項(xiàng)）.第18頁(yè)/共23頁(yè)第十九頁(yè)，共24頁(yè)。.0!lim nann例6 證明解, 0,1| 時(shí)時(shí)a | |1| ,| !aaNa

11、取取當(dāng)Nn 時(shí)， naaaaaanaanan 1|21|0!| | |.| !aaaan 從而.0!lim nann時(shí)，時(shí)，取取時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) 1 NnNa 1|0,1! nnan第19頁(yè)/共23頁(yè)第二十頁(yè)，共24頁(yè)。證 我們用兩種方法(fngf)來(lái)證明.例7 證明.01sinlim nn 1) 任給正數(shù), 1 , NnN 取當(dāng)時(shí)，取當(dāng)時(shí)，.101sin nn有項(xiàng)都能使不等式 成立即可. |aan注 這里(zhl)我們將 N 取為正數(shù), 而非正整數(shù). 實(shí)際上N 只是表示某個(gè)(mu )時(shí)刻, 保證從這一時(shí)刻以后的所第20頁(yè)/共23頁(yè)第二十一頁(yè)，共24頁(yè)。沒(méi)有(mi yu)定義.2) 任給正數(shù), 限制 由 . 1 ,)arcsin(sin1sin01sin nn.arcsin1即可即可 N可知只需取注 這里假定 0 1 是必要(byo)的, 否則 arcsin 便第21頁(yè)/共23頁(yè)第二十二頁(yè)，共24頁(yè)。復(fù)習(xí)(fx)思考題1. 極限定義中的 “ ” 是否可以寫(xiě)成 “ N , ,N ” ? 為什么?2. , |limlimaaaannnn 反之是否成立?3. 已知 NNAann :,lim 是一個(gè)一一影射.請(qǐng)依據(jù)極限定義證明:.lim)(Aann 第22頁(yè)/共23頁(yè)第二十三頁(yè)，共24頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)會(huì)計(jì)學(xué)。數(shù)列極限是數(shù)學(xué)分析最重要的基礎(chǔ)之