數(shù)值積分及matlab實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1數(shù)值積分及數(shù)值積分及matlab實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)(shxin)第一頁，共44頁。數(shù)值數(shù)值(shz)(shz)積分和數(shù)值積分和數(shù)值(shz)(shz)微微分分1 引言引言 我們知道我們知道,若函數(shù)若函數(shù)(hnsh)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)且其上連續(xù)且其原函數(shù)原函數(shù)(hnsh)為為F(x),則可用則可用Newton-Leibnitz公式公式baaFbFdxxf)()()(求得定積求得定積分分(jfn)求定積分的值求定積分的值 , Newton-Leibnitz公式公式 無論在理論上還無論在理論上還是在解決實(shí)際問題上都起了很大作用，但它并不能完是在解決實(shí)際問題上都起了很大作用，但它并不能完全

2、解決定積分的計(jì)算問題，因?yàn)榉e分學(xué)涉及的實(shí)際問全解決定積分的計(jì)算問題，因?yàn)榉e分學(xué)涉及的實(shí)際問題極為廣泛，而且極其復(fù)雜，在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常遇到題極為廣泛，而且極其復(fù)雜，在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常遇到以下三種情況：以下三種情況：第1頁/共43頁第二頁，共44頁。(1)被積函數(shù)f(x)并不一定能夠找到用初等函數(shù)的有限形式(xngsh)表示的原函數(shù)F(x)，例如：Newton-Leibnitz公式就無能為力了dxedxxxx10102sin和(2)還有被積函數(shù)(hnsh)f(x)的原函數(shù)(hnsh)能用初等函數(shù)(hnsh)表示，但表達(dá)式太復(fù)雜，例如函數(shù)(hnsh)32)(22xxxf并不復(fù)雜(fz)，但積分后其表達(dá)

3、式卻很復(fù)雜(fz)，積分后其原函數(shù)F(x)為：) 322ln(2169321633241)(22222xxxxxxxxF第2頁/共43頁第三頁，共44頁。(3) 被積函數(shù)被積函數(shù)f(x)沒有具體的解析表達(dá)式?jīng)]有具體的解析表達(dá)式, 其函數(shù)其函數(shù) 關(guān)系由表格或圖形表示。關(guān)系由表格或圖形表示。 對于這些情況對于這些情況, 要計(jì)算積分的準(zhǔn)確值都是十分困難的要計(jì)算積分的準(zhǔn)確值都是十分困難的。由此可見。由此可見, 通過原函數(shù)來計(jì)算積分有它的局限性通過原函數(shù)來計(jì)算積分有它的局限性, 因而研因而研究一種新的積分方法來解決究一種新的積分方法來解決Newton-Leibniz公式公式(gngsh)所所不能或很難解

4、決的積分問題不能或很難解決的積分問題, 這時(shí)需要用數(shù)值解法來建立積這時(shí)需要用數(shù)值解法來建立積分的近似計(jì)算方法。分的近似計(jì)算方法。 將積分區(qū)間細(xì)分將積分區(qū)間細(xì)分,在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復(fù)雜在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)用簡單函數(shù)代替復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行積分，這就是數(shù)值積分的思想，用代數(shù)插值多項(xiàng)函數(shù)進(jìn)行積分，這就是數(shù)值積分的思想，用代數(shù)插值多項(xiàng)式去代替被積函數(shù)發(fā)式去代替被積函數(shù)發(fā)f(x)進(jìn)行積分是本章討論數(shù)值積分的主進(jìn)行積分是本章討論數(shù)值積分的主要內(nèi)容。要內(nèi)容。 第3頁/共43頁第四頁，共44頁。 建立數(shù)值積分公式的途徑比較多建立數(shù)值積分公式的途徑比較多, 其中最常其中最常用的有兩種：用的有兩種：（1）由積分中

5、值定理可知，對于）由積分中值定理可知，對于(duy)連續(xù)函連續(xù)函數(shù)數(shù)f(x)，在積分區(qū)間，在積分區(qū)間a,b內(nèi)存在一點(diǎn)內(nèi)存在一點(diǎn)，使得，使得即所求的曲邊梯形的面積恰好等于底為即所求的曲邊梯形的面積恰好等于底為(b-a)，高為高為 的矩形面積。但是點(diǎn)的矩形面積。但是點(diǎn)的具體位置一般是未的具體位置一般是未知的知的, 因而因而 的值也是未知的的值也是未知的, 稱稱 為為f(x) 在在區(qū)間區(qū)間a,b上的平均高度。那么只要對平均高度上的平均高度。那么只要對平均高度 提供一種算法，相應(yīng)地就獲得一種數(shù)值求積方提供一種算法，相應(yīng)地就獲得一種數(shù)值求積方法法bafabdxxfba,)()()()(f)(f)(f)(

6、f第4頁/共43頁第五頁，共44頁。三個(gè)求積分三個(gè)求積分(jfn)(jfn)公式公式 梯形梯形(txng)(txng)公式公式y(tǒng)=f(x)yxab)()()(21)(bfafabdxxfbay=f(x)abyx(a+b)/2 中矩形中矩形(jxng)(jxng)公式公式)2()()(bafabdxxfba按照這種思想，可構(gòu)造出一些求積分值的近似公式。例如按照這種思想，可構(gòu)造出一些求積分值的近似公式。例如 分別取分別取 和和則分別得到中矩形公式和梯形公則分別得到中矩形公式和梯形公式。式。)(f)2()(baff2)()()(bfaffy=f(x)abab第5頁/共43頁第六頁，共44頁。y=f(

7、x)yab Simpson公式公式(gngsh)(a+b)/2)()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfbaf()的近似值而獲得的近似值而獲得(hud)的一種數(shù)值積分方法。的一種數(shù)值積分方法。 中矩形公式把中矩形公式把a(bǔ),b 的中點(diǎn)處函數(shù)值的中點(diǎn)處函數(shù)值 作為平均高度作為平均高度f()的近似值而獲得的近似值而獲得(hud)的一種數(shù)值的一種數(shù)值積分方法。積分方法。 )()(21bfaf)2(bafab(a+b)/2 在這三個(gè)公式在這三個(gè)公式(gngsh)中中, 梯形公式梯形公式(gngsh)把把f(a), f(b)的的加權(quán)平均值加權(quán)平均值 作為平均高度作為平均高度 第6頁/共43頁第

8、七頁，共44頁。Simpson公式是以函數(shù)公式是以函數(shù)f(x)在在a, b, (a+b)/2這三點(diǎn)的函數(shù)值這三點(diǎn)的函數(shù)值f(a), f(b), 的加權(quán)平均值的加權(quán)平均值 似值而獲得的一種似值而獲得的一種(y zhn)數(shù)值積分方法。數(shù)值積分方法。1()4()()62abfaffb)2(baf作為平均作為平均(pngjn)高高度度f()的近的近（2）先用某個(gè)）先用某個(gè)(mu )簡單函數(shù)簡單函數(shù) 近似逼近近似逼近f(x), 用用 代替原被積函數(shù)代替原被積函數(shù)f(x)，即，即 )(x)(xbabadxxdxxf)()(以此構(gòu)造數(shù)值算法。從數(shù)值計(jì)算的角度考慮以此構(gòu)造數(shù)值算法。從數(shù)值計(jì)算的角度考慮,函數(shù)函

9、數(shù) 應(yīng)對應(yīng)對f(x)有充分的逼近程度有充分的逼近程度,并且容易計(jì)算其積分。由并且容易計(jì)算其積分。由于多項(xiàng)式能很好地逼近連續(xù)函數(shù)于多項(xiàng)式能很好地逼近連續(xù)函數(shù),且又容易計(jì)算積分且又容易計(jì)算積分,因此因此將將 選取為插值多項(xiàng)式選取為插值多項(xiàng)式, 這樣這樣f(x)的積分就可以用其插的積分就可以用其插值多項(xiàng)式的積分來近似代替值多項(xiàng)式的積分來近似代替 )(x)(x第7頁/共43頁第八頁，共44頁。2.2 2.2 插值求積公式插值求積公式設(shè)已知設(shè)已知f(x)f(x)在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)(ji din) (ji din) 有函數(shù)值有函數(shù)值, ,作作n n次拉格朗日插值多項(xiàng)式次拉格朗日插值多項(xiàng)式 ), 1 , 0(nk

10、xk)(kxfnkkkxlxfxP0)()()()()()()(0kknkjjjkjkxxxxxxxxxl式中式中 )()()(10nxxxxxxx這里這里(zhl(zhl) ) 多項(xiàng)式多項(xiàng)式P(x)P(x)易于求積易于求積, ,所以所以(suy)(suy)可取可取 作為作為 的近似值，即的近似值，即 badxxP)(badxxf)(第8頁/共43頁第九頁，共44頁。knkkbaknkkbaknkkbabaAxfdxxlxfdxxlxfdxxPdxxf 000)()()()()()()(bakkbakkdxxxxxdxxlA)()()()(其中其中(qzh(qzhng) ng) 稱為稱為(ch

11、n wi)(chn wi)求積系數(shù)。給出如下定義。求積系數(shù)。給出如下定義。 定義定義(dngy)1 (dngy)1 求積公式求積公式 nkkkbaxfAdxxf0)()(其系數(shù)其系數(shù) 時(shí)，則稱求積公式為插值時(shí)，則稱求積公式為插值求積公式。求積公式。 bakkdxxlA)(4)(4)第9頁/共43頁第十頁，共44頁。設(shè)插值求積公式設(shè)插值求積公式(gngsh)(gngsh)的余項(xiàng)為的余項(xiàng)為 , ,由插值余項(xiàng)由插值余項(xiàng)定理得定理得 )(fRbanbadxxnfdxxPxffR)()!1()()()()() 1(ba,其中其中(qzh(qzhng) ng) 當(dāng)當(dāng)f(x)f(x)是次數(shù)不高于是次數(shù)不高于

12、n n的多項(xiàng)式時(shí)，有的多項(xiàng)式時(shí)，有 =0, =0,求積公式求積公式(4)(4)能成為準(zhǔn)確的等式。由于閉區(qū)間能成為準(zhǔn)確的等式。由于閉區(qū)間a,ba,b上的連續(xù)函數(shù)可用多項(xiàng)式逼近，所以一個(gè)求積公式能對多上的連續(xù)函數(shù)可用多項(xiàng)式逼近，所以一個(gè)求積公式能對多大次數(shù)的多項(xiàng)式大次數(shù)的多項(xiàng)式f(x)f(x)成為準(zhǔn)確等式，是衡量該公式的精確成為準(zhǔn)確等式，是衡量該公式的精確程度的重要指標(biāo)，為此給出以下程度的重要指標(biāo)，為此給出以下(yxi)(yxi)定義。定義。 0)()1(xfn)( fR第10頁/共43頁第十一頁，共44頁。定義定義2 2 （代數(shù)精度）（代數(shù)精度） 設(shè)求積公式（設(shè)求積公式（4 4）對于一）對于一

13、切次數(shù)切次數(shù)(csh)(csh)小于等于小于等于m m的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式( (mxxxxf, 1)(2mmxaxaxaaxf2210)(是準(zhǔn)確是準(zhǔn)確(zhnqu)(zhnqu)的，而對于次數(shù)為的，而對于次數(shù)為m+1m+1的多項(xiàng)式是的多項(xiàng)式是不準(zhǔn)確不準(zhǔn)確(zhnqu)(zhnqu)的，則稱該求積公式具有的，則稱該求積公式具有m m次代數(shù)次代數(shù)精度（簡稱代數(shù)精度）精度（簡稱代數(shù)精度） 或或)第11頁/共43頁第十二頁，共44頁。定理定理1 n+11 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式 為插值型求積公式的充要條件是公式為插值型求積公式的充要條件是公式 至少具有至少具有(jyu)n(jyu)n次代數(shù)

14、精度。次代數(shù)精度。 nkkkbaxfAdxxf0)()(第12頁/共43頁第十三頁，共44頁。例例1 1 設(shè)積分區(qū)間設(shè)積分區(qū)間(q jin)a, b(q jin)a, b為為0, 20, 2，取時(shí)，取時(shí) 時(shí)時(shí), , 分別用梯形和辛卜生公式分別用梯形和辛卜生公式 xexxxxxf, 1)(43220)2()0()(ffdxxf20)2() 1 (4)0(31)(fffdxxf計(jì)算計(jì)算(j sun)(j sun)其積分結(jié)果并與準(zhǔn)確值進(jìn)行比較其積分結(jié)果并與準(zhǔn)確值進(jìn)行比較解解: :梯形公式和辛卜生的計(jì)算梯形公式和辛卜生的計(jì)算(j sun)(j sun)結(jié)果與準(zhǔn)確值比結(jié)果與準(zhǔn)確值比 較如下表所示較如下表

15、所示 第13頁/共43頁第十四頁，共44頁。 f(x) 1 x x2 x3 x4 ex 準(zhǔn)確值 梯形公式(gngsh)計(jì)算值 辛卜生公式(gngsh)計(jì)算值 從表中可以從表中可以(ky)(ky)看出看出, ,當(dāng)當(dāng)f(x)f(x)是是 時(shí)時(shí), ,辛卜辛卜生公式比梯形公式更精確生公式比梯形公式更精確 432,xxx 一般說來，代數(shù)精度越高，求積公式越一般說來，代數(shù)精度越高，求積公式越精確。梯形公式和中矩形公式具有精確。梯形公式和中矩形公式具有1 1次代數(shù)精次代數(shù)精度，辛卜生公式有度，辛卜生公式有3 3次代數(shù)精度。下面次代數(shù)精度。下面(xi (xi mian)mian)以梯形公式為例進(jìn)行驗(yàn)證以梯形公

16、式為例進(jìn)行驗(yàn)證 第14頁/共43頁第十五頁，共44頁。babfafabdxxf)()(2)(取取f(x)f(x)=1時(shí)，時(shí)，abababdxba) 11 (2,1兩端兩端(lin (lin dun)dun)相等相等 取取f(x)=xf(x)=x時(shí)時(shí), , )(21)(2),(212222abbaababxdxba取取f(x)=xf(x)=x2 2 時(shí)時(shí), , baabbabaababdxx)(21)(2),(312222332兩端兩端(lin (lin dun)dun)不相等不相等 所以梯形所以梯形(txng)(txng)公式只有公式只有1 1次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 兩端相等兩端相等 第15

17、頁/共43頁第十六頁，共44頁。構(gòu)造插值求積公式構(gòu)造插值求積公式(gngsh)有如下特點(diǎn)：有如下特點(diǎn)：復(fù)雜函數(shù)復(fù)雜函數(shù)f(x)的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算多項(xiàng)式的積分的積分轉(zhuǎn)化為計(jì)算多項(xiàng)式的積分 求積系數(shù)求積系數(shù)Ak只與積分區(qū)間及節(jié)點(diǎn)只與積分區(qū)間及節(jié)點(diǎn)xk有關(guān)，而與被積函數(shù)有關(guān)，而與被積函數(shù)f(x)無關(guān)，可以不管無關(guān)，可以不管f(x)如何，預(yù)先算出如何，預(yù)先算出Ak的值的值 n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式(gngsh)至少具有至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度 求積系數(shù)之和求積系數(shù)之和 可用此檢驗(yàn)計(jì)算求積系數(shù)的正確性可用此檢驗(yàn)計(jì)算求積系數(shù)的正確性 abAnkk0第16頁/共43頁第十七頁，共4

18、4頁。3 牛頓牛頓(ni dn)柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求積公式求積公式 在插值求積公式在插值求積公式nkkkbabaxfAdxxPxxf0)()(d)(中中,當(dāng)所取節(jié)點(diǎn)當(dāng)所取節(jié)點(diǎn)(ji din)是等距時(shí)稱為牛頓是等距時(shí)稱為牛頓-柯特斯公柯特斯公式式其中其中 插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 求積系數(shù)求積系數(shù) )()()(0nkkkxfxlxPbakkdxxlA)(這里這里(zhl) 是插值基函數(shù)。即有是插值基函數(shù)。即有 )(xlkdxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(第17頁/共43頁第十八頁，共44頁。將積分區(qū)間將積分區(qū)間(q jin)a,b 劃分為劃分為n等分等分,

19、 步長步長求積節(jié)點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn)為 為了計(jì)為了計(jì)算系數(shù)算系數(shù)Ak, 由于由于 , 所以所以nabh), 1 ,0(nkkhaxkhikxxik)( nknnkkkkkkhknkxxxxxxxx)!( !) 1()()()(110作變量作變量(binling)代換代換 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),有有 ,于是可得于是可得 thaxkbax,nt, 0dxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(dthhntktkttthknknnnkn0)() 1)(1() 1()!( !) 1(dtitknnkabnnkiikn 00) )()!( !) 1()(第18頁/共43頁第十九頁，共44頁。dtitknnkC

20、nnkiiknk00)()!(!)1(k=0,1,n)代入插值求積公式代入插值求積公式(gngsh)(4)(gngsh)(4)有有 nkkkbaxfCabxxf0)()(d)(稱為牛頓稱為牛頓(ni dn)-(ni dn)-柯特斯求積公式柯特斯求積公式,Ck,Ck稱為柯特稱為柯特斯系數(shù)斯系數(shù)引進(jìn)引進(jìn)(ynjn)記記號號kkCabA)( (k=0,1,n)則則第19頁/共43頁第二十頁，共44頁。容易容易(rngy)(rngy)驗(yàn)證驗(yàn)證 10nkkCbakkkkdxxlAAabC)(1nkbaknkkdxxlabC00)(1111)(10 babankkdxabdxxlab顯然顯然(xinrn)

21、, Ck(xinrn), Ck是不依賴于積分區(qū)間是不依賴于積分區(qū)間a,ba,b以及被積以及被積函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的常數(shù)的常數(shù), ,只要給出只要給出n,n,就可以算出柯特斯系數(shù)就可以算出柯特斯系數(shù), ,譬譬如當(dāng)如當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí) 1011002121) 1(! 1! 011tdtCdttC第20頁/共43頁第二十一頁，共44頁。當(dāng)當(dāng)n=2=2時(shí)時(shí)202061)2)(1(!2!02)1(dtttC201132)2(! 1! 12) 1(dtttC200261)1(!0!22)1(dtttC第21頁/共43頁第二十二頁，共44頁。4 4 幾個(gè)低階求積公式幾個(gè)低階求積公式 在牛頓在牛頓- -柯

22、特斯求積公式中柯特斯求積公式中n=1,2,4n=1,2,4時(shí)，就分別時(shí)，就分別得到下面得到下面(xi mian)(xi mian)的梯形公式、辛卜生公式和柯的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。特斯公式。(1) (1) 梯形公式梯形公式 當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，牛頓時(shí)，牛頓- -柯特斯公式就是梯形公式柯特斯公式就是梯形公式 )()()(21)(bfafabdxxfba定理定理(dngl)2 （梯形公式的誤差）設(shè)（梯形公式的誤差）設(shè)f(x)在在a,b上具上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則梯形公式的誤差（余項(xiàng)）為有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則梯形公式的誤差（余項(xiàng)）為),()(12)()(31bafabfR 第22頁/共43

23、頁第二十三頁，共44頁。（2 2） 辛卜生公式辛卜生公式(gngsh)(gngsh) 當(dāng)當(dāng)n=2n=2時(shí)，牛頓時(shí)，牛頓- -柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)(gngsh)就就是辛卜生公式是辛卜生公式(gngsh)(gngsh)（或（或 稱拋物線公式稱拋物線公式(gngsh)(gngsh)） )()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfba定理定理3 3（辛卜生公式的誤差（辛卜生公式的誤差(wch)(wch)）設(shè)在）設(shè)在a,ba,b上上具有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，則辛卜生求積公式的誤差具有連續(xù)的四階導(dǎo)數(shù)，則辛卜生求積公式的誤差(wch)(wch)為為 ),()(2880)()()4(52ba

24、fabfR定理證明定理證明(zhngmng)(zhngmng)從略從略。 第23頁/共43頁第二十四頁，共44頁。（3 3） 柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)(gngsh)。 當(dāng)當(dāng)n=4n=4時(shí)，牛頓時(shí)，牛頓- -柯特斯公式柯特斯公式(gngsh)(gngsh)為為 )(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba定理定理(dngl)4(dngl)4（柯特斯公式的誤差）設(shè)在（柯特斯公式的誤差）設(shè)在a,ba,b上具有上具有連續(xù)的連續(xù)的6 6階導(dǎo)數(shù)，則柯特斯求積公式的誤差為階導(dǎo)數(shù)，則柯特斯求積公式的誤差為 ),()(49458)()6(74bafabf

25、R定理定理(dngl)(dngl)的證明從略的證明從略。 第24頁/共43頁第二十五頁，共44頁。例例11 11 分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯分別用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯 公式計(jì)算定積分公式計(jì)算定積分(jfn)(jfn) 的近似值的近似值 ( (計(jì)算結(jié)果取計(jì)算結(jié)果取5 5位有效數(shù)字位有效數(shù)字) ) 15 . 0dxx(1) (1) 用梯形用梯形(txng)(txng)公式計(jì)算公式計(jì)算 4267767. 0 170711. 025. 0)1 () 5 . 0(25 . 01d15 . 0ffxx(2) (2) 用辛卜生公式用辛卜生公式(gngsh) (gngsh) /).(.d.xx

26、43093403. 0 103866. 0411707. 0121第25頁/共43頁第二十六頁，共44頁。(3) (3) 用柯特斯公式用柯特斯公式(gngsh)(gngsh)計(jì)算，系數(shù)計(jì)算，系數(shù)為為 , 17875. 03275. 012625. 0325 . 07 905 . 01d15 . 0 xx43096407. 0793326.2939223.1029822.2594975. 41801積分積分(jfn)(jfn)的準(zhǔn)的準(zhǔn)確值為確值為 43096441. 032d15 . 02315 . 0 xxx可見，三個(gè)求積公式的精度可見，三個(gè)求積公式的精度(jn d)(jn d)逐漸提逐漸提高

27、。高。 第26頁/共43頁第二十七頁，共44頁。例例12 12 用辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算用辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算(j sun)(j sun)定積定積分分3123d)572(xxxx的近似值的近似值, ,并估計(jì)其誤差并估計(jì)其誤差(wch)(wch)(計(jì)算結(jié)果取計(jì)算結(jié)果取5 5位小數(shù)位小數(shù)) ) 解解 : : 辛 卜 生 公 式辛 卜 生 公 式(gngsh) (gngsh) 322036225941613)(24)(6bfbafafabS由于由于 由辛卜生公式余項(xiàng)由辛卜生公式余項(xiàng) 572)(23xxxxf0)()4(xfbafabfR,),(2880)()()4(5知其誤差為知其誤差為 0)(fR第27頁/共43頁第二十八頁，共44頁。例例12 用辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算用辛卜生公式和柯特斯公式計(jì)算(j sun)定積分定積分3123d)572(xxxx的近似值的近似值,并估計(jì)并估計(jì)(gj)其誤差其誤差(計(jì)算結(jié)果取計(jì)算結(jié)果取5位小數(shù)位小數(shù)) 解解:柯特斯公式柯特斯公式(gngsh) 知其誤差為知其誤差為 0)(fR322097812532912835327451)