2020年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷試題及解析

1、2020年上海市浦東新區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷.填空題(本大題共 12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)1 .若集合 A=x|0<x<3,集合 B =x|x<2,貝1 A B =2n22 . lim -2二n 二3n 1 3 .復(fù)數(shù)z滿足U i =1 +i（i為虛數(shù)單位），則|z|=.4 .若關(guān)于x、y的方程組為x+y=1,則該方程組的增廣矩陣為 xy=25 .設(shè)an是等差數(shù)列，且 ai =3, &+a5 =18 ,則 an =.16 .在(x+_產(chǎn))6的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為 . .x7 .如果圓錐的底面圓半徑為1,母線長為2,則該圓錐的側(cè)面積為 一.8 .

2、已知集合A=-2, 1, -, -, 1,1, 2, 3,任取kW A,則哥函數(shù)f(x)=xk為偶232函數(shù)的概率為 (結(jié)果用數(shù)值表示).9 .在 MBC中，邊a、b、c滿足a+b=6, ZC =120°,則邊c的最小值為 .10 .若函數(shù)y =ax +2a 4 x2存在零點(diǎn),則實(shí)數(shù) a的取值范圍是11 .已知數(shù)列縱, 3=1,nan+=(n+1由+1,右對(duì)于任意的ac-2, 2 , n=N，不等式受一土 <3壯2t恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為 .n 1sin x1 sin x2 » ，sin xn = 012 .如果方程組有頭數(shù)解，則正整數(shù)n的取小值是.sinx1

3、2sin x2 - n nsin xn =2019二.選擇題(本大題共 4題，每題5分，共20分)213 .右命題甲：x-1 =0 ,命題乙：lg xlgx=0,則命題甲是命題乙的 ()A .充分非必要條件B .必要非充分條件C.充要條件D.非充分也非必要條件14 .已知函數(shù)f(x)為函數(shù)f(x)的反函數(shù)，且函數(shù)f(x1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1),則函數(shù)f(x)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)()A. (0,1)B. (1,0)C. (1,2)D. (2,1)215.以拋物線y =4x的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且長軸為 4的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()22a x y )A . =116 1522x yC. 一+匚=14322-x

4、 y /B. + =11642_ x 2,D. +y =116 .動(dòng)點(diǎn)A(x,y)在圓x2+y2=1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)作逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間恰好是12秒，已知時(shí)間t =0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(Y3)，則動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t (單位：秒)2 2A. 0, 3B. 3, 6C. 6 , 9D. 9 , 12的函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增()三.解答題(本大題共 5題，共14+14+14+16+18 =76分)17 .如圖，四棱錐 S-ABCD的底面是正方形，SD_L平面ABCD , SD = AD=a，點(diǎn)E是線段SD上任意一點(diǎn).(1)求證：AC 1 BE ;(2)試確定點(diǎn)E的位置，使BE與平

5、面ABCD所成角的大小為30°.18 .已知函數(shù) f (x) =2cos2 x + J3sin 2x .(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在 MBC中飛C-BA=6,若函數(shù)f (x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(B,2),求AABC的面積.19 .某貧困村共有農(nóng)戶 100戶，均從事水果種植，平均每戶年收入為1.8萬元，在當(dāng)?shù)卣罅Ψ龀趾鸵龑?dǎo)下，村委會(huì)決定2020年初抽出5x尸(xWN , x, 9)從事水果銷售工作，經(jīng)測算，剩下從事水果種植的農(nóng)戶平均每戶年收入比上一年提高了4x%,而從事水果銷售的農(nóng)戶平均每戶年收入為(3 -1 x)萬元.5(1)為了使從事水果種植的農(nóng)戶三年后平

6、均每戶年收入不低于2.4萬元，那么2020年初至少應(yīng)抽出多少農(nóng)戶從事水果銷售工作？(2)若一年后，該村平均每戶白年收入為f(x)(萬元)，問f(x)的最大值是否可以達(dá)到 2.1萬元？2220. (16分)已知曲線C:x y =1 ,過點(diǎn)T(t,0)作直線l和曲線C交于A、B兩點(diǎn).(1)求曲線C的焦點(diǎn)到它的漸近線之間的距離；(2)若t =0 ,點(diǎn)A在第一象限， AH _Lx軸，垂足為H ,連結(jié)BH ,求直線BH傾斜角的 取值范圍；(3)過點(diǎn)T作另一條直線 m , m和曲線C交于E、F兩點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)t ,使得7左=0而4br"EF"|同時(shí)成立？如果存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)

7、t的取值集合，如果不 存在，請(qǐng)說明理由.21. (18 分)定義 f(a, a2, . , an) =|a a21+包a3| 十十 aan |(nw N,n-3)為有 限實(shí)數(shù)列an的波動(dòng)強(qiáng)度.(1)求數(shù)列1, 4, 2, 3的波動(dòng)強(qiáng)度；22. 若數(shù)列 a , b , c , d 滿足(a -b)(b-c) >0 ,判斷 f (a , b , c , d), f (a , c , b , d) 是否正確，如果正確請(qǐng)證明，如果錯(cuò)誤請(qǐng)舉出反例；(3)設(shè)數(shù)列a1,a2,，an是數(shù)列1+21 ,2+22 ,3+23,，n+2n的一個(gè)排列，求f(a1 ,an)的最大值，并說明理由.2020年上海市浦

8、東新區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析.填空題（本大題共 12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分）1.若集合 A=x|0<x<3,集合 B=x|x<2,貝僅 B=_(0,2)_.【解答】解: A=x0<x<3,B=x|x<2,p| B =(。，2).故答案為：（0,2）.2n22. lim 2=一 .n 二3n2 1 -3 一2【解答】 解：lim 2- =limn,3n 1 n % 13""Jn故答案為：233.復(fù)數(shù)z滿足4i =1 +i（i為虛數(shù)單位）,則 |z|二 21 - i【解答】解：由iz =1 +i得，z= i

9、i(-i)故 |z|= 2,x y =14.若關(guān)于x、y的方程組為x y ,則該方程組的增廣矩陣為x - y = 2111一1-12一.，、 x y =1【解答】解：關(guān)于x、y的方程組為x y x _y =2一 i'111”所以該方程組的增廣矩陣為 111P-12J,111 %故答案為111H-1 2J5.設(shè)4是等差數(shù)列，且a13, a+as =18,則 an =2n +1 【解答】解: an是等差數(shù)列，且a=3, a3+%=18,d =2則 an =3+2(n 1)=2n +1 .故答案為：2n ：116.在(x+亍)6的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為 15 . x1633r【解答】解：(x

10、+；)6的二項(xiàng)展開式中，通項(xiàng)公式為Tr=C6xN,令61=0,可彳#r=4,故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 C64 =15 ,故答案為：15.7.如果圓錐的底面圓半徑為1,母線長為2,則該圓錐的側(cè)面積為 _2n_.1 11【解答】 解：由圓錐的側(cè)面積公式 S=_LR=_M(2nr)MR = _M2nM1M2 = 2n .2 22故答案為：2二8.已知集合 A=-2, 1, -, -, - , 1, 2, 3,任取kw A,則備函數(shù)f(x)=xk為偶232函數(shù)的概率為 _1_ (結(jié)果用數(shù)值表示). 4 【解答】解：集合A =二，1 , - , 1 , -,1,2, 3,任取k W A ,232基本事件總數(shù)

11、n=8,哥函數(shù)f (x) =xk為偶函數(shù)包含的基本事件個(gè)數(shù)m=2,二哥函數(shù)f(x)=xk為偶函數(shù)的概率為 P=m=-=-. n 8 4故答案為：1 .49 .在 MBC中，邊a、b、c滿足a+b=6, CC =120°,則邊c的最小值為 _3/3【解答】 解：a+b=6, /C=120：a -b 2ab, () 二92當(dāng)且僅當(dāng)a =b時(shí)取等號(hào),由余弦定理可得，c2 =a2+b2 -2abMcos120, =(a +b)2 -ab,=36 -ab- 36 -9 =27c3.3則邊c的最小值3居.故答案為：3 J3 .10 .右函數(shù)y=ax+2aJlx存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值氾圍是0,

12、二3 -【解答】解：根據(jù)題意，若函數(shù)y =ax +2a - Ji -x2存在零點(diǎn)，即方程ax + 2a-Ji -x2 =0有解， 則函數(shù)y =a(x +2)與y =4 -x2有交點(diǎn)，函數(shù)y =a(x +2),其幾何意義為直線 y =a(x +2),過點(diǎn)(0,二)，斜率為a的直線,函數(shù)y =4i -x2 ,變形可得x2 +y2 =1 , (y- 0),為圓x2 +y2 =1的上半部分，如圖：a-0必有 « | 2a |.,11 a2,解可得：0> <3 ,即a的取值范圍為0 ,;311.已知數(shù)列an, &=1, nan+=(n+1)an+1 ,若對(duì)于任意的a2, 2

13、, n=N，不等式£n土 <3強(qiáng)2t恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為 _(q - -1_.n 1【解答】 解：數(shù)列an , a1 =1 , nan + =(n +1)an +1 ,an 1n 1an 1n 11n(n 1)1n(n 1) =12115 n (n 1)a3 %y 一萬a4 a3T 一了131一4ananin n -1n -1an 1an(n 1)，3日2t2,即悖2t, 1,a 虻-2 , 2 , ,-L2 2tll1; t-1 .故答案為：（q, -1.12 .如果方程組isin x1 sin x2 , sin xn = 0112n有實(shí)數(shù)解，則正整數(shù)n的最小值是 9

14、0|sin x1 .2sin x2 - n nsin xn =2019【解答】解2244 =1936 , 45 =2025 ,二從 n =89 開始分析，當(dāng) n=89 ,(sin x12sin x2 nsin xn)max =-1 -2 -3-.- 44 45 0 46 47 . 89 =1980當(dāng) n =90 , (sin x +2sin x? + n sin 4 )max = 1 一2 3 45 +46 +47 +.一+ 90 = 2025sinx1 2sinx2 一 一 nsinxn =-1-2-3-. l 42 -43 0 -44 0 -45 - 46 0 47 0 48 49- .

15、90 =2019時(shí)，nmin =9。,故答案為：90二.選擇題（本大題共 4題，每題5分，共20分）213 .右命題甲：x-1 =0 ,命題乙：lg xlgx=0,則命題甲是命題乙的 （）A .充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.非充分也非必要條件【解答】解：若命題甲：x _1 =0 ,命題乙：lg2xngx=0, 若命題甲：x_1=0,則 x =1 , lg2x_lgx =lg21lg1 =0, 則命題甲：x_1=0,能推出命題乙：lg2x_lgx=0,成立； 若命題乙:lg2x -lgx =0 ,則 lgx(lgx -1) =0 ,所以 lgx =0或 lgx =1 ,即 x=

16、1 或 x=10 ;命題乙：lg2x-lgx=0,不能推出命題甲：x1=0成立,根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷.命題甲是命題乙的充分非必要條件；故選：A .14.已知函數(shù)f2(x)為函數(shù)f(x)的反函數(shù)，且函數(shù)f(x1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1),則函數(shù)f,(x)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)()A. (0,1)B. (1,0)C. (1,2)D. (2,1)【解答】 解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x1)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,1),所以f (x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1),所以函數(shù)f(x)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)(1,0)點(diǎn),故選：B .15.以拋物線y2 =4x的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且長軸為4的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(22x yB. + =

17、11642x 2D. 一 + y =122x yA .C.=116 1522x y =143【解答】解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0), 二所求橢圓的右焦點(diǎn)為(1,0),即c =1,又 2a =4 ,二 a =2 ,則 b2 =a2 -c2 =4 -1 =3 .22.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為人 +上=1 .43- .22 一 一.16.動(dòng)點(diǎn)A(x,y)在圓x +y =1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)作逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間恰好是12秒，已知時(shí)間t =0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(包,1),則動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t (單位：秒)2 2的函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（）A. 0 , 3B. 3 , 6C. 6

18、, 9D. 9 , 1222【解答】解：丫動(dòng)點(diǎn)A（x,y）在圓x +y =1上繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，故TT12秒旋轉(zhuǎn)一周，故 T=12, s=,時(shí)間t =0時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是龍,1）,故平=工；226故動(dòng)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t （單位：秒）的函數(shù)為：y=sin（Hx+2）,66由 _2k 我以 x 十工 -+2kn , kWZ 得：xW-2+12k, 2 十 12k, kZ,266 2即函數(shù)y =sin（Ex十三）的單調(diào)增區(qū)間為M+12k, 2十12k , k = Z , 66.k=0, IN ,k=1, 8, 14.故選：D .三.解答題（本大題共 5題，共14+14+14+16+18

19、 =76分）17.如圖，四棱錐 SABCD的底面是正方形，SD_L平面ABCD, SD = AD=a,段SD上任意一點(diǎn).A=1 ，E是線（1）求證：AC 1 BE ;（2）試確定點(diǎn)E的位置，使BE與平面ABCD所成角的大小為30，【解答】 解：（1）證明：連結(jié)BD ,1四邊形ABCD為正方形,二 AC _L BD ,X' SD _L平面 ABCD , AC 仁平面 ABCD ,二 AC _LSD .BD SD=D, J. AC _L平面 SBD .買 BE 匚平面 SED , AC _L BE .(2)解：設(shè) DE =tSD _L平面 ABCD ,二BE與平面ABCD所成角為/EBD

20、.在 RtiEDB 中，由 tanZEBD =tan30W,解得 t=£6a. 2a3二當(dāng)ED =或a時(shí)，BE與平面ABCD所成角的大小為30 °. 318.已知函數(shù) f (x) =2cos2 x+ q'3sin 2x .(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在 MBC中%C-BA=6,若函數(shù)f (x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(B,2),求 MBC的面積.【解答】 解：(1) f(x) =cos2x+1 + J3sin2x=2sin(2x 十三)十1 , 6 一 2 ，f(x)的最小正周期為-2-=冗，解-+2k或02x + +2kn 得 一二 十kn秀Ox +

21、kn26 236，k"，f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為一4+kn,=+kn 36kWZ ；(2)-.' f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(B,2),.2sin(2B1 一+1 =2 , sin(2B +)=,且 62cc13 二.<2B :二| BC|BA|=6, 25：,，: 2B +=,解得 B =,663T二 | BC |BA|=12 ,-.AABC 的面積為 1|BC |BA| sin 二 3 3319.某貧困村共有農(nóng)戶 100戶，均從事水果種植，平均每戶年收入為1.8萬元，在當(dāng)?shù)卣罅Ψ龀趾鸵龑?dǎo)下，村委會(huì)決定2020年初抽出5x尸(xWN , x 9)從事水果銷售工作，經(jīng)測

22、算，剩下從事水果種植的農(nóng)戶平均每戶年收入比上一年提高了4x%,而從事水果銷售的1農(nóng)尸平均每尸年收入為(3 -1 x)萬元.(1)為了使從事水果種植的農(nóng)戶三年后平均每戶年收入不低于2.4萬元，那么2020年初至少應(yīng)抽出多少農(nóng)戶從事水果銷售工作？(2)若一年后，該村平均每戶白年收入為f(x)(萬元)，問f(x)的最大值是否可以達(dá)到 2.1萬元？【解答】解：(1)根據(jù)題意，經(jīng)過三年，種植戶的平均收入為1.8(1+4x%)3即 1.8(1+口32.4 ,解得 1 +-x鹿,'3 &4 所以 x 2.5161 , 25253又因?yàn)閄WZ ,所以x3,即至少抽出15戶貧困農(nóng)戶從事水果銷售工

23、作；XX5x(3 - ) 1.8 (100 -5x)(1+)13466(2) f(x)=525-=(-34x2 +6x+180)(x N*,x, 9),100100 255165對(duì)稱軸x=更N ,因而當(dāng)x=5時(shí)，f (x)max =2.12 >2.1 ,可以達(dá)到2.1萬兀.342220. (16分)已知曲線 C:x v =1,過點(diǎn)T(t,0)作直線l和曲線C交于A、B兩點(diǎn).(1)求曲線C的焦點(diǎn)到它的漸近線之間的距離；(2)若t =0 ,點(diǎn)A在第一象限， AH _Lx軸，垂足為H ,連結(jié)BH ,求直線BH傾斜角的取值范圍；(3)過點(diǎn)T作另一條直線 m , m和曲線C交于E、F兩點(diǎn)，問是否存

24、在實(shí)數(shù) t ,使得=0有力3|=|窗同時(shí)成立？如果存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)t的取值集合，如果不存在，請(qǐng)說明理由.【解答】解：(1)曲線C的焦點(diǎn)為F1(-<2,0), F2(V2,0),漸近線方程y = ±x,由對(duì)稱性，不妨計(jì)算 F2“00)到直線y =x的距離，d =|,二0| =1 .、2(2)設(shè) l :y=kx(0 <k <1), A(x1 , y1), B(-x1 , -y1) , H(x1, 0),從而 kBH =- =K . 2x12又因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象PM,所以0<k<1,，一1從而kBH匚(0，2),所以直線BH傾斜角的取值范圍是(0,arc

25、tan-),2(3)當(dāng)直線 l :y =0，直線 m: x=t |AB |=2,E(0, Jt2 -1), F(0,-Vt2 -1) , 2v't2 -1 =2= t =±/2 .當(dāng)直線l : x =t ,直線m : y =0時(shí)，t =±J2 (根據(jù)對(duì)稱性，這種不討論不扣分)不妨設(shè) l:y=k(xt)(k¥0),與雙曲線聯(lián)立可得(1k2)x2+2k2tx(1 + k2t2)=0 ,2 口一,1 k2 (t2 -1)k2 1由弦長公式，| AB尸木+k22 =22),|1 -k |1 -k |將 k 替換成1 ,可得 | EF |=2、* *ft -1&qu

26、ot; , k|k2 -1|由 |AB|=|EF |,可得(t21)k2+1=t2 1+k解得t2 =2 ,此時(shí) =4(k2t2 -k2+1)>0成立.因此滿足條件的集合為衣,.21. (18 分)定義 f (a , a2,，an) 4 a1 a21 + |a2 a31 +十 島-an |(n w N, n-3)為有限實(shí)數(shù)列an的波動(dòng)強(qiáng)度.(1)求數(shù)列1, 4, 2, 3的波動(dòng)強(qiáng)度；(2)若數(shù)列 a, b, c, d 滿足(ab)(bc)>0,判斷 f(a, b , c, d), f(a, c, b, d)是否正確，如果正確請(qǐng)證明，如果錯(cuò)誤請(qǐng)舉出反例；(3)設(shè)數(shù)列& ,a2

27、,，an是數(shù)列1+21,2+22 ,3+23,，n+2n的一個(gè)排列，求f® ,a2,，an)的最大值，并說明理由.【解答】 解：(1) f(1, 4, 2, 3)1 4|+|42|+|23|=622. f (a, b , c , d), f (a , c , b , d)是正確的；解法 1:f(a, b , c , d) - f (a , c , b , d)=|a-b| + |c-d|-|a-c|-|b-d|,'a b c 或 a ： b ： c ,.| a -b | -| a -c |=-| b -c |, |cd|一|bd|, | b -c |所以 f (a , b ,

28、 c , d)f(a, c , b , d), 0 ,即 f (a , b , c , d), f (a , c , b , d)并且當(dāng)bc時(shí)，d-b可以取等號(hào)，當(dāng)cb時(shí)，若d, b可以取等號(hào)，所以等號(hào)可以取到；解法2：不妨設(shè)a>b>c,分4種情況討論1若 d,a,則 f (a , b , c , d) - f (a , c , b , d) =(ab)十(dc)(ac)(db) =0 , f(a ,b ,c ,d)=f(a ,c, b,d)；2若 a >db ,則 f(a, b ,c ,d) - f (a,c , b , d) = (a -b) +(d-c)一(a-c) -(d -b) =0,f(a ,b ,c ,d)=f(a ,c, b,d)；3若b>d-c,則f(a,b,c,d)-f(a,c,b,d) =(a -b) +(d -c) -(a -c) -(b d)=2(d -b) <0 ,，f (a , b , c , d) < f (a , c , b , d)；4若c>d,則 f(a , b , c , d) f(a , c , b ,d) =(a -b) +(c d) _(a c) (b d) =2(c