指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)總結(jié)歸納8頁

1、指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解有理指數(shù)冪的含義，掌握冪的運(yùn)算.2理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)3理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)4重點(diǎn)理解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算法則，明確算理，能對常見的指 數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)進(jìn)行變形處理.5會求以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)的定義域、單調(diào)性及值域等性質(zhì).6知道指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)(a0，a1). 【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、冪的概念及運(yùn)算性質(zhì)1.整數(shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算性質(zhì)2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算性質(zhì)為避免討論，我們約定a>0，n，mN*，且為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義：3運(yùn)算

2、法則當(dāng)a0,b0時有：（1）；（2）；（3）；（4）.要點(diǎn)詮釋：(1)根式問題常利用指數(shù)冪的意義與運(yùn)算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算；(2)根式運(yùn)算中常出現(xiàn)乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時可以交換、何時不能交換.如；(3)冪指數(shù)不能隨便約分.如.要點(diǎn)二、根式的概念和運(yùn)算法則1n次方根的定義：若xn=y(nN*，n>1，yR)，則x稱為y的n次方根，即x=.n為奇數(shù)時， y的奇次方根有一個，是負(fù)數(shù)，記為；零的奇次方根為零，記為；n為偶數(shù)時，正數(shù)y的偶次方根有兩個，記為；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為.2兩個等式（1）當(dāng)且時，；（2）要點(diǎn)詮釋：計算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)n

3、的取值，尤其當(dāng)根指數(shù)取偶數(shù)時，開方后的結(jié)果必為非負(fù)數(shù)，可先寫成的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯誤指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟有括號先算括號里的；無括號先做指數(shù)運(yùn)算 負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)(如)，先要化成假分?jǐn)?shù)（如15/4），然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)在化簡運(yùn)算中，也要注意公式：a2b2（ab）（ab），a3b3（ab）（a2abb2），a3b3（ab）（a2abb2），（a±b）2a2±2abb2，（a±b）3a3±3a2b3ab2±b3，的運(yùn)用，能夠簡化運(yùn)算.指數(shù)函數(shù)及其性

4、質(zhì)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、指數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y=ax(a>0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，a為常數(shù)，函數(shù)定義域為R.要點(diǎn)詮釋：（1）形式上的嚴(yán)格性：只有形如y=ax(a>0且a1)的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)像，等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù)（2）為什么規(guī)定底數(shù)a大于零且不等于1：如果，則對于一些函數(shù)，比如，當(dāng)時，在實數(shù)范圍內(nèi)函數(shù)值不存在如果，則是個常量，就沒研究的必要了。而a=0時y=0沒意義要點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)的圖象：y=ax0<a<1時圖象a>1時圖象-圖象要點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時，必須分“”和“”兩種情形討論。（2）指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱。要點(diǎn)三、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變

5、化與圖像分布規(guī)律 則：0ba1dc觀察可知，底數(shù)越接近1，圖象曲線越平緩，底數(shù)越遠(yuǎn)離1，圖象曲線越陡，而且指數(shù)函數(shù)都過點(diǎn)（0,1）又即：x(0,+)時， （底大冪大） x(,0)時，（底小冪小）要點(diǎn)四、指數(shù)式大小比較方法(1)單調(diào)性法：化為同底數(shù)指數(shù)式，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.(2)中間量法：(3)分類討論法(4)比較法比較法有作差比較與作商比較兩種，其原理分別為：若；當(dāng)兩個式子均為正值的情況下，可用作商法，判斷，或即可對數(shù)及對數(shù)運(yùn)算【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、對數(shù)概念1.對數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對數(shù)，記作:logaN=b.其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).要點(diǎn)詮釋：對數(shù)式log

6、aN=b中各字母的取值范圍是：a>0且a¹1， N>0， bÎR.2.對數(shù)具有下列性質(zhì)：(1)0和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)，即；(2)1的對數(shù)為0，即；(3)底的對數(shù)等于1，即.3兩種特殊的對數(shù)通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，.以e（e是一個無理數(shù)，）為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)， .要點(diǎn)二、對數(shù)的運(yùn)算法則已知(1) 正因數(shù)的積的對數(shù)等于同一底數(shù)各個因數(shù)的對數(shù)的和； (2) 兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于被乘數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)；(3) 正數(shù)的冪的對數(shù)等于冪的底數(shù)的對數(shù)乘以冪指數(shù)；要點(diǎn)詮釋：（1）利用對數(shù)的運(yùn)算法則時，要注意各個字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對數(shù)都存在時等式才能成

7、立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因為雖然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)與log2(-5)是不存在的.（2）不能將和、差、積、商、冪的對數(shù)與對數(shù)的和、差、積、商、冪混淆起來，即下面的等式是錯誤的：錯誤1：loga(M±N)=logaM±logaN， 錯誤2： (M·N)=logaM·logaN，要點(diǎn)三、對數(shù)公式1對數(shù)恒等式：2換底公式同底對數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時可考慮進(jìn)行換底，在a>0， a1， M>0的前提下有:(1) 令 logaM=b， 則有ab=M， (ab)n=Mn

8、，即， 則所以得出結(jié)論:.(2) ，令logaM=b， 則有ab=M， 則有 即， 即，即當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)(1)可由(2)推出，但在解決某些問題(1)又有它的靈活性.而且由(2)還可以得到一個重要的結(jié)論:.對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、對數(shù)函數(shù)的概念1函數(shù)y=logax(a>0，a1)叫做對數(shù)函數(shù).其中是自變量，函數(shù)的定義域是，值域為2判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數(shù)為1；（2）底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)；（3）對數(shù)的真數(shù)僅有自變量要點(diǎn)詮釋：（1）只有形如y=logax(a>0，a1)的函數(shù)才叫做對數(shù)函數(shù)，像等函數(shù)，它們是由對數(shù)函

9、數(shù)變化得到的，都不是對數(shù)函數(shù)。（2）求對數(shù)函數(shù)的定義域時應(yīng)注意：對數(shù)函數(shù)的真數(shù)要求大于零，底數(shù)大于零且不等于1；對含有字母的式子要注意分類討論。要點(diǎn)二、對數(shù)函數(shù)的圖象0a1a1圖象要點(diǎn)詮釋：（1）關(guān)于對數(shù)式logaN的符號問題，既受a的制約又受N的制約，兩種因素交織在一起，應(yīng)用時經(jīng)常出錯.下面介紹一種簡單記憶方法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考.（2）以1為分界點(diǎn)，當(dāng)a，N同側(cè)時，logaN>0；當(dāng)a，N異側(cè)時，logaN<0.（3）由于底數(shù)的取值范圍制約著對數(shù)函數(shù)圖象的升降（即函數(shù)的單調(diào)性），因此在解與對數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題時，必須考慮底數(shù)是大于1還是小于1，不要忽略2底數(shù)變化與圖象變化的

10、規(guī)律在同一坐標(biāo)系內(nèi)，a越接近1，圖象越陡，a越遠(yuǎn)離1，圖象越平緩。這剛好和指數(shù)函數(shù)的規(guī)律相反 所以可以總結(jié)出一句話，指數(shù)近一緩，對數(shù)近一陡。要點(diǎn)四、反函數(shù)1反函數(shù)的定義一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)(xA)的值域是B，根據(jù)這個函數(shù)中x、 y 的關(guān)系，用y把x表示出，得到x= g(y)。若對于y在B中的任何一個值，通過x= g(y) （這時候x= g(y)里面的y是自變量，x是因變量），x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么這個函數(shù)x= g(y)(xB)叫做函數(shù)y=f(x)(xA)的反函數(shù)，記作y=f -1 (x) 。反函數(shù)y=f -1  (x)的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的

11、值域、定義域由定義可以看出，函數(shù)y=f(x)的定義域A正好是它的反函數(shù)y=f-1 (x)的值域；函數(shù)y=f(x)的值域B正好是它的反函數(shù)y=f-1 (x)的定義域由定義可知:對數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對數(shù)函數(shù)是和它底數(shù)相同的指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。變化關(guān)系如右圖： 要點(diǎn)詮釋： 不是每個函數(shù)都有反函數(shù)，有些函數(shù)沒有反函數(shù)，如y=x2一般說來，單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)2反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱（2）若函數(shù)圖象上有一點(diǎn)，則必在其反函數(shù)圖象上，反之，若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上冪函數(shù)及圖象變換【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中x是自變量， 為常數(shù).要

12、點(diǎn)詮釋：冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量x，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù).例如：等都不是冪函數(shù).要點(diǎn)二、冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)各種冪函數(shù)的圖象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)要點(diǎn)詮釋：冪函數(shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：(1)所有的冪函數(shù)在(0，+)都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1，1)；(2)時，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)特別地，當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象上凸；(3)時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸2.

13、作冪函數(shù)圖象的步驟如下:(1)先作出第一象限內(nèi)的圖象；(2)若冪函數(shù)的定義域為(0，+)或0，+)，作圖已完成；若在(-，0)或(-，0上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)y軸對稱作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點(diǎn)對稱作出第三象限的圖象.3.冪函數(shù)解析式的確定(1)借助冪函數(shù)的定義，設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值(2)結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征(3)如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達(dá)式，就應(yīng)由定義知必有，即4.冪函數(shù)值大小的比較(1)比較函數(shù)值的大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便于利用單調(diào)性時，可與0和1進(jìn)行比較常稱為“搭橋”法(2)比較冪函數(shù)值的大小，一般

14、先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大小(3)常用的步驟是：構(gòu)造冪函數(shù)；比較底的大?。挥蓡握{(diào)性確定函數(shù)值的大小要點(diǎn)三、初等函數(shù)圖象變換基本初等函數(shù)包含以下九種函數(shù)：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、耐克函數(shù)。由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算以及簡單復(fù)合所得的函數(shù)叫初等函數(shù)如：的圖象變換，（1）平移變換y=f(x)y=f(xa) 圖象左（）、右（）平移y=f(x)y=f(x)b 圖象上（）、下（）平移（2）對稱變換y=f(x) y=f(x), 圖象關(guān)于y軸對稱y=f(x) y=f(x) , 圖象關(guān)于x軸對稱y=f(x) y=f(x) 圖象關(guān)于

15、原點(diǎn)對稱y=f(x) 圖象關(guān)于直線y=x對稱（3）翻折變換： y=f(x) y=f(|x|),把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸左邊部分關(guān)于y軸對稱（注意：它是一個偶函數(shù)） y=f(x) y=|f(x)| 把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱要點(diǎn)詮釋：（1）函數(shù)圖象是由基本初等函數(shù)的圖象經(jīng)過以上變換變化而來。（2）若f(ax)f(ax)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱。指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)配置習(xí)題指數(shù)冪的概念與運(yùn)算1.求下列各式的值：（1）.2. 求下列各式的值=3.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式表示下列各式（式中）：（1）；（2）；（3）；4.計算指數(shù)函數(shù)的概念5函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，求的值6求下列函數(shù)的定義域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a為大于1的常數(shù))指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用7討論函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的奇偶性8判斷下列函數(shù)的奇偶性：9.請做出的圖象10.將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；利用對數(shù)恒等式化簡求值11求值： 積、商、冪的對數(shù)12.表示下列各式換底公式的運(yùn)用13.已知，求對數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用14.求值(1) (2) (3)(4)對數(shù)函數(shù)的概念15.下列函數(shù)中，哪些是對數(shù)