2412垂直于弦的直徑

1、單位：王洼鎮(zhèn)第一中學(xué)單位：王洼鎮(zhèn)第一中學(xué)教師：高繼峰教師：高繼峰1、知識與技能目標(biāo)：、知識與技能目標(biāo)：理解圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直理解圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸線都是它的對稱軸掌握垂徑定理及其推論掌握垂徑定理及其推論學(xué)會運用垂徑定理及其推論解決一些有關(guān)證學(xué)會運用垂徑定理及其推論解決一些有關(guān)證明、計算和作圖問題明、計算和作圖問題2、過程與方法目標(biāo)：、過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)圓的對稱性，證明垂徑定理及其經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)圓的對稱性，證明垂徑定理及其推論的過程，鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)，學(xué)習(xí)幾何推論的過程，鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)，學(xué)習(xí)幾何證明的方法證明的方法3、情感與態(tài)度目標(biāo)：

2、、情感與態(tài)度目標(biāo)：在學(xué)生通過觀察、操作、變換和研究的在學(xué)生通過觀察、操作、變換和研究的過程中進一步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，創(chuàng)過程中進一步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，創(chuàng)新意識和良好的運用數(shù)學(xué)的習(xí)慣和意識新意識和良好的運用數(shù)學(xué)的習(xí)慣和意識教學(xué)重點：教學(xué)重點：垂徑定理及其推論的發(fā)現(xiàn)、垂徑定理及其推論的發(fā)現(xiàn)、 記憶與證明記憶與證明教學(xué)難點：教學(xué)難點：垂徑定理及其推論的運用垂徑定理及其推論的運用問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國隋代建造的石多年前我國隋代建造的石拱橋拱橋, , 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形形

3、, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.4m37.4m, , 拱高拱高( (弧的中點到弧的中點到弦的距離弦的距離) )為為7.2m7.2m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 實踐探究實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸它的對稱軸如圖，如圖，ABA

4、B是是O O的一條弦，做直徑的一條弦，做直徑CDCD，使，使CDCDABAB，垂足為，垂足為E E因為圓是軸對稱圖形，以直徑因為圓是軸對稱圖形，以直徑CDCD為對稱軸把為對稱軸把O O折疊，折疊，你能你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧？為什么？發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧？為什么？OABCDE活活 動動 二二相等線段：相等線段： AE=BEAC=BC, AD=BD把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時，折疊時，CD兩側(cè)的兩個半兩側(cè)的兩個半圓重合，點圓重合，點A與點與點B重合，線段重合，線段AE與與BE重合，重合，弧弧AC與弧與弧BC重合，弧重合，弧AD與弧與弧BD重合。重合。OABCDE垂徑定理：垂

5、徑定理：垂直于弦的直徑平分垂直于弦的直徑平分 弦，并且平分弦所對的兩條弧弦，并且平分弦所對的兩條弧 結(jié)論結(jié)論：AE=BE,AD=BD,AC=BC即直徑即直徑CD平分弦平分弦 AB，并且平分并且平分AB和和ACB.AE=BE ACBC=ADBD=在在 O中，中，CD是直徑是直徑CDAB于于E已知：在已知：在 O中，中，CD是直徑，是直徑，AB是弦，是弦，CDAB，垂，垂足為足為E（如圖）。（如圖）。求證：求證：AE=BE ，ACBC=ADBD.=,OCDEBA證明：證明：連結(jié)連結(jié)OA、OB， OAOB,CDAB直徑直徑CD所在的直線既是等腰所在的直線既是等腰 三角形三角形OAB的對稱軸，又是的對

6、稱軸，又是 O的對稱軸的對稱軸. 則則A點與點與B點重合，點重合，AE和和BE重合，重合，ACBC和和ADBD和和也重合也重合.AE=BE ，ACBC=ADBD.=,驗證垂徑定理驗證垂徑定理如圖，當(dāng)直徑平分弦時，與垂直如圖，當(dāng)直徑平分弦時，與垂直嗎？嗎？ AC=BC,AD=BDAC=BC,AD=BD嗎？如果弦也是直徑，上述嗎？如果弦也是直徑，上述結(jié)論是否成立？結(jié)論是否成立？A AB BD DE E O OC C圖圖推論推論: :平分弦平分弦( (不是直徑不是直徑) )的直徑垂的直徑垂直于弦直于弦, ,并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧. .根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個根據(jù)垂徑定理與

7、推論可知對于一個圓和一條直線來說。如果具備圓和一條直線來說。如果具備（1）過圓心）過圓心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦（）平分弦（4）平分弦所對的優(yōu)弧平分弦所對的優(yōu)弧 （5）平分弦所對的劣弧）平分弦所對的劣弧上述五個條件中的任何兩個條件都上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論。可以推出其他三個結(jié)論。注意注意問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ?它是它是13001300多年前我國隋代建造的石多年前我國隋代建造的石拱橋拱橋, , 是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧是我國古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶它的主橋是圓弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所

8、對的弦的長) )為為37.4m37.4m, , 拱高拱高( (弧的中點到弧的中點到弦的距離弦的距離) )為為7.2m7.2m，你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少趙州橋主橋拱的半徑是多少？ BODACRAB=37.4m CD=7.2m 解得：解得：R279（m）BODACR解決求趙州橋拱半徑的問題解決求趙州橋拱半徑的問題在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2趙州橋的主橋拱半徑約為趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABAD解：解：AB=37.4，CD

9、=7.2，OD=OCCD=R7.21 判斷下列說法的正誤判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對的弦（平分弧的直徑必平分弧所對的弦（ ） 在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦必平分此弦所對的弧必平分此弦所對的弧 （ ）垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 （ ）平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦( ) 弦的垂直平分線是圓的直徑弦的垂直平分線是圓的直徑 ( ) 平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦( ) D A B O5 3cm2.在直徑是20cm的O中，AB的度數(shù)是60，那么弦AB的弦心距是 。3.弓形的弦長為弓形的弦長為6cm，弓形的高為，弓形的高為2cm，則這弓形所在的圓的半徑為則這弓形所在的圓的半徑為. D C A B O134cm4如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長為的長為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離為的距離為3cm，求，求 O的半徑的半徑OABE5如圖，在如圖，在 O中，中，AB、AC為互相垂直且相等的為互相垂直且