第四篇7概率與統(tǒng)計(jì)

1、7.概率與統(tǒng)計(jì)第四篇回歸教材，糾錯(cuò)例析，幫你減少高考失分點(diǎn)要點(diǎn)回扣易錯(cuò)警示查缺補(bǔ)漏 欄目索引要點(diǎn)回扣1.隨機(jī)抽樣方法簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣的共同點(diǎn)是抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)相等，且是不放回抽樣.問題1某社區(qū)現(xiàn)有480個(gè)住戶，其中中等收入家庭200戶、低收入家庭160戶，其他為高收入家庭.在建設(shè)幸福社區(qū)的某次分層抽樣調(diào)查中，高收入家庭被抽取了6戶，則該社區(qū)本次抽取的總戶數(shù)為_.242.對(duì)于統(tǒng)計(jì)圖表問題，求解時(shí)，最重要的就是認(rèn)真觀察圖表，從中提取有用信息和數(shù)據(jù).對(duì)于頻率分布直方圖，應(yīng)注意的是圖中的每一個(gè)小矩形的面積是數(shù)據(jù)落在該區(qū)間上的頻率.莖葉圖沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，但數(shù)據(jù)很大或

2、有多組數(shù)據(jù)時(shí)，莖葉圖就不那么直觀、清晰了.問題2從某校高三年級(jí)隨機(jī)抽取一個(gè)班，對(duì)該班50名學(xué)生的高校招生體檢表中視力情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示.若某高校A專業(yè)對(duì)視力的要求在0.9以上，則該班學(xué)生中能報(bào)A專業(yè)的人數(shù)為_.203.眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小距形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之

3、和.標(biāo)準(zhǔn)差的平方就是方差，方差的計(jì)算問題3已知一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)為0.12,0.15,0.13，0.15，0.14,0.17,0.15,0.16,0.13,0.14，則該樣本的眾數(shù)、中位數(shù)分別是_.0.15、0.1454.變量間的相關(guān)關(guān)系5.獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本方法一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為x1，x2和y1，y2，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表如表：y1y2總計(jì)x1ababx2cdcd總計(jì)acbdabcd問題5為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對(duì)該班50名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到了如下的22列聯(lián)表：喜愛打籃球不喜愛打籃球合計(jì)男生20525女生101525合計(jì)302050則至少有_的把

4、握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān).(請(qǐng)用百分?jǐn)?shù)表示)P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828答案99.5%6.互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率P(AB)P(A)P(B)(1)公式適合范圍：事件A與B互斥.7.古典概型問題7連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m、n，則向量(m，n)與向量(1,1)的夾角90的概率是()解析(m，n)(1,1)mnn.基本事件總共有6636(個(gè))，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共1234515

5、(個(gè)).A8.幾何概型問題8在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()解析記“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為A，B9.解排列、組合問題的依據(jù)：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合.解排列、組合問題的規(guī)律：相鄰問題捆綁法；不相鄰問題插空法；多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；定序問題倍縮法；多元問題分類法；有序分配分步法；綜合問題先選后排法；至多至少問題間接法.(1)排列數(shù)公式(2)組合數(shù)公式(3)組合數(shù)性質(zhì)問題9(1)將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共有_種.(2)從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電

6、視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有_種.357010.二項(xiàng)式定理(2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n(組合數(shù)公式)，即特別提醒：二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與展開式系數(shù)最大項(xiàng)是兩個(gè)不同的概念，在求法上也有很大的差別，往往因?yàn)楦拍畈磺鍖?dǎo)致出錯(cuò).3626C ( 1) 2,kkkkx4111.要注意概率P(A|B)與P(AB)的區(qū)別：(1)在P(A|B)中，事件A，B發(fā)生有時(shí)間上的差異，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同時(shí)發(fā)生.(2)樣本空間不同，在P(A|B)中，事件B成為樣本空間；在P(AB)中，樣

7、本空間仍為，因而有P(A|B)P(AB).12.求分布列，要檢驗(yàn)概率的和是否為1，如果不是，要重新檢查修正.還要注意識(shí)別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)分布，然后用公式.問題12若隨機(jī)變量的分布列如下表，則E()的值為_.012345P2x3x7x2x3xxP(X)0.682 6；P(2X2)0.954 4；P(3X3)0.997 4.問題13已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2，2)，且P(4)0.8，則P(02)等于()A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2解析P(4)0.2，由題意知圖象的對(duì)稱軸為直線x2，P(4)0.2，P(04)1P(4)0.6.C易錯(cuò)點(diǎn)1統(tǒng)計(jì)圖表識(shí)圖不準(zhǔn)、概念不清易錯(cuò)警示例1如

8、圖所示是某公司(共有員工300人)2015年員工年薪情況的頻率分布直方圖，由此可知，員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之間的共有_人.錯(cuò)因分析解本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是審題不細(xì)，對(duì)所給圖形觀察不細(xì)心，認(rèn)為員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之間的頻率為1(0.020.080.10)20.60，從而得到員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之間的共有3001(0.020.080.10)2180(人)的錯(cuò)誤答案.解析由所給圖形，可知員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之間的頻率為1(0.020.080.080.100.10)20.24，所以員工中年薪在1.4萬元1.6萬元之間的共有3000.2472(人)答案72易錯(cuò)

9、點(diǎn)2誤解基本事件的等可能性例2若將一枚質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為_.錯(cuò)因分析解本題時(shí)易出現(xiàn)的錯(cuò)誤在于對(duì)等可能性事件的概率中“基本事件”以及“等可能性”等概念的理解不深刻 ， 錯(cuò) 誤 地 認(rèn) 為 基 本 事 件 總 數(shù) 為 11 ( 點(diǎn) 數(shù) 和 等 于2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)，或者將點(diǎn)數(shù)和為4的事件錯(cuò)誤地計(jì)算為(1,3)(2,2)兩種，從而導(dǎo)致出錯(cuò).解析將先后擲2次出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)記作點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)，則共可得點(diǎn)坐標(biāo)的個(gè)數(shù)為6636，而向上點(diǎn)數(shù)之和為4的點(diǎn)坐標(biāo)有(1,3)，(2,

10、2)，(3,1)，共3個(gè)，易錯(cuò)點(diǎn)3幾何概型中“測(cè)度”確定不準(zhǔn)例3在等腰直角三角形ABC中，直角頂點(diǎn)為C.(1)在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AMAC的概率；(2)在ACB的內(nèi)部，以C為端點(diǎn)任作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AMAC的概率.錯(cuò)因分析本題易出現(xiàn)的問題是混淆幾何概型中對(duì)事件的度量方式，不注意題中兩問中點(diǎn)M生成方式的差異，誤以為該題兩問中的幾何概型都是用線段的長(zhǎng)度來度量造成錯(cuò)解.由于點(diǎn)M是在斜邊AB上任取的，所以點(diǎn)M等可能分布在線段AB上，因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是線段AB.(2)由于在ABC內(nèi)作射線CM，等可能分布的是CM在ACB內(nèi)的任一位置(如圖所示)，因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是ACB，

11、易錯(cuò)點(diǎn)4互斥事件概念不清例4對(duì)飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈.設(shè)A兩次都擊中飛機(jī)，B兩次都沒擊中飛機(jī)，C恰有一彈擊中飛機(jī)，D至少有一彈擊中飛機(jī)，其中彼此互為互斥事件的是_；互為對(duì)立事件的是_.錯(cuò)因分析對(duì)事件互斥意義不明確，對(duì)事件的互斥與對(duì)立之間的關(guān)系不清楚，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的判斷.對(duì)立事件和互斥事件都不可能同時(shí)發(fā)生，但對(duì)立事件必有一個(gè)要發(fā)生，而互斥事件可能都不發(fā)生.所以兩個(gè)事件都對(duì)立，則兩個(gè)事件必是互斥事件；反之，兩事件是互斥事件，但未必是對(duì)立事件.解析因?yàn)锳B ，AC ，BC ，BD ，故A與B，A與C，B與C，B與D為彼此互斥事件，而BD ，BD，故B與D互為對(duì)立事件.答案A與B，A與C，

12、B與C，B與D；B與D易錯(cuò)點(diǎn)5排列、組合問題混淆例5如圖所示，A，B，C，D是海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)島連接起來，不同的建橋方案共有多少種？錯(cuò)因分析搞不清幾個(gè)元素之間有無順序，混淆排列與組合的區(qū)別.解由題意可能有兩種結(jié)構(gòu)，如圖：第一種： ，第二種： 易錯(cuò)點(diǎn)6事件理解不準(zhǔn)例6某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算：(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第2位)(1)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率；(2)5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率；(3)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率.錯(cuò)因分析這是一個(gè)5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率模型.解本題容易出錯(cuò)的地方，一是對(duì)“恰有2次”“至少有2次”理解錯(cuò)誤，誤用二

13、項(xiàng)分布；二是對(duì)隨機(jī)事件“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”的意義理解錯(cuò)誤，不能把問題歸結(jié)為只要在第1,2,4,5次預(yù)報(bào)中預(yù)報(bào)1次準(zhǔn)確即可，出現(xiàn)仍然用5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ徒鉀Q問題的錯(cuò)誤.(1)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”的概率為(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確”的概率為P(X2)1P(X0)P(X1)10.000 320.006 40.99.易錯(cuò)點(diǎn)7隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)用錯(cuò)例7已知隨機(jī)變量X的概率只能取三個(gè)值a，b，c，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是_.錯(cuò)因分析本題將隨機(jī)變量的分布列與等差數(shù)列聯(lián)系起來，知識(shí)跨度大，考生往往審題不清，不能從分布列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的性質(zhì)入手解

14、題，或者考慮問題不全面而導(dǎo)致錯(cuò)解.解析由已知，得abc1，而2bac，查缺補(bǔ)漏1.如圖是2015年某大學(xué)自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評(píng)委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)依次為()A.85,84 B.84,85C.86,84 D.84,8解析由圖可知，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)為84,84,84,86,87.答案A2.一組數(shù)據(jù)3,4,5，s，t的平均數(shù)是4，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是m，對(duì)于任意實(shí)數(shù)s，t，從3,4,5，s，t，m這組數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，取到數(shù)字4的概率的最大值為()D3.(2014湖北)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.5

15、0.50.52.03.0解析作出散點(diǎn)圖如下：答案B4.某電視臺(tái)節(jié)目開展親子闖關(guān)游戲，其規(guī)則是：父母兩人蒙上眼睛在流水滑板上相互扶持爬過，并將水中的7個(gè)粉色氣球與3個(gè)藍(lán)色氣球隨意用身體擠破(這些氣球的形狀都相同，隨意漂浮在身旁，且都在父母所觸及的范圍內(nèi)).已知小光的父母參加游戲，并在第1次擠破一個(gè)藍(lán)色氣球，則他們第2次擠破的是粉色氣球的概率為()解析方法一設(shè)事件A為“第1次擠破的是藍(lán)色氣球”，事件B為“第2次擠破的是粉色氣球”，方法二第1次擠破的是藍(lán)色氣球，則還剩下2個(gè)藍(lán)色氣球和7個(gè)粉色氣球，答案D5.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上任意一點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自A

16、BE內(nèi)部的概率等于()解析這是一道幾何概型的概率問題，故選C.C6.某企業(yè)三個(gè)分廠生產(chǎn)同一種電子產(chǎn)品，三個(gè)分廠產(chǎn)量分布如圖所示，現(xiàn)在用分層抽樣方法從三個(gè)分廠生產(chǎn)的該產(chǎn)品中共抽取100件做使用壽命的測(cè)試，則第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為_；由所得樣品的測(cè)試結(jié)果計(jì)算出一、二、三分廠取出的產(chǎn)品的使用壽命平均值分別為1 020小時(shí)、980小時(shí)、1 030小時(shí)，估計(jì)這個(gè)企業(yè)所生產(chǎn)的該產(chǎn)品的平均使用壽命為_小時(shí).解析第一分廠應(yīng)抽取的件數(shù)為10050%50；該產(chǎn)品的平均使用壽命為1 0200.59800.21 0300.31 015小時(shí).答案501 015424C ( 1),kkkx6解析該人投籃4次，命中3次的概率為9.某路段檢查站監(jiān)控錄像顯示，在某時(shí)段內(nèi)，有1 000輛汽車通過該站，現(xiàn)在隨機(jī)抽取其中的200輛汽車進(jìn)行車速分析，分析的結(jié)果表示為如圖所示的頻率分布直方圖，則估計(jì)在這一時(shí)段內(nèi)通過該站的汽車中車速不小于90 km/h的約有_輛.(注：分析時(shí)車速均取整數(shù))解析由圖可知，車速大于等于90 km/h的車輛未標(biāo)出頻率，而小于90 km/h的都標(biāo)出了，故考慮對(duì)立事件.由題圖知車速小于90 km/h的汽車總數(shù)的頻率之和為(0.010.020.04)100.7，所以車速不小于9