2020年廣東省江門市港口中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

1、2020年廣東省江門市港口中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 設(shè)雙曲線的個(gè)焦點(diǎn)為f，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為b，如果直線fb與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（）abcd參考答案：d【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；兩條直線垂直的判定【分析】先設(shè)出雙曲線方程，則f，b的坐標(biāo)可得，根據(jù)直線fb與漸近線y=垂直，得出其斜率的乘積為1，進(jìn)而求得b和a，c的關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)雙曲線方程a，b和c的關(guān)系進(jìn)而求得a和c的等式，則雙曲線的離心率可得【解答】解：設(shè)雙曲線方程為，則f（c，0），b（0，b）直線fb

2、：bx+cybc=0與漸近線y=垂直，所以，即b2=ac所以c2a2=ac，即e2e1=0，所以或（舍去）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的焦點(diǎn)、虛軸、漸近線、離心率，考查了兩條直線垂直的條件，考查了方程思想2. 已知=（x，y）|，直線y=mx+2m和曲線y=有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，它們圍成的平面區(qū)域?yàn)閙，向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn)a，點(diǎn)a落在區(qū)域m內(nèi)的概率為p（m），若p（m），1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（）a，1b0，c，1d0，1參考答案：d【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用【專題】壓軸題【分析】畫出圖形，不難發(fā)現(xiàn)直線恒過定點(diǎn)（2，0），結(jié)合概率范圍可知直線與圓的關(guān)系，直線以（2，0）點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與x軸重合，

3、從而確定直線的斜率范圍【解答】解：畫出圖形，不難發(fā)現(xiàn)直線恒過定點(diǎn)（2，0），圓是上半圓，直線過（2，0），（0，2）時(shí)，它們圍成的平面區(qū)域?yàn)閙，向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn)a，點(diǎn)a落在區(qū)域m內(nèi)的概率為p（m），此時(shí)p（m）=，當(dāng)直線與x軸重合時(shí)，p（m）=1；直線的斜率范圍是0，1故選d【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，幾何概型，直線系，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是好題，難度較大3. 將正整數(shù)依次排列如下：1     23    456   78910  111213

4、1415 161718192021 由表知第5行第3列的數(shù)是13，若第2020行第2列的數(shù)是，則的各位數(shù)字中，數(shù)字0的個(gè)數(shù)為（  ）a. 0b. 1c. 2d. 3參考答案：b【分析】已知條件說明各行數(shù)值關(guān)系即可求解【詳解】由題前n行中共有1+2+3+n個(gè)整數(shù)，故第2019行中最后一個(gè)數(shù)：，第2020行中第二列的數(shù)為：，故0的個(gè)數(shù)為1故選：b【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用歸納猜想，注意運(yùn)用假設(shè)，考查化簡(jiǎn)變形，運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題4. 已知a0，b0，且ab=1，則函數(shù)f（x）=ax與函數(shù)g（x）=logbx的圖象可能是（）abcd參考答案：b

5、【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，我們易根據(jù)ab=1，進(jìn)而化簡(jiǎn)函數(shù)g（x）的解析式，然后根據(jù)反函數(shù)的定義，判斷出函數(shù)f（x）與g（x）的關(guān)系，然后對(duì)題目中的四個(gè)答案逐一進(jìn)行比照，即可得到答案【解答】解：ab=1g（x）=logbx=logax則函數(shù)f（x）=ax（a0且a1）與g（x）=logbx（b0且b1）互為反函數(shù)故函數(shù)f（x）=ax（a0且a1）與g（x）=logbx（b0且b1）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱故選b【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反函數(shù)的圖象，其中利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，及反函數(shù)的定義，分析出函數(shù)f（x）與g

6、（x）的關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵5. 在空間中，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（    ）平行于同一直線的兩直線平行垂直于同一直線的兩直線平行平行于同一平面的兩直線平行垂直于同一平面的兩直線平行a1b2c3d4參考答案：b略6. 盒中裝有10個(gè)乒乓球，其中6個(gè)新球，4個(gè)舊球，不放回地依次取出2個(gè)球使用，在第一次取出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為（    ）a b c. d參考答案：c7. 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞減的是（）ay=by=excy=x2+1dy=lg|x|參考答案：c考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的

7、判斷與證明  專題：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：根據(jù)偶函數(shù)的定義，可得c，d是偶函數(shù)，其中c在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞減，d在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增，可得結(jié)論解答：解：根據(jù)偶函數(shù)的定義，可得c，d是偶函數(shù)，其中c在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞減，d在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增，故選：c點(diǎn)評(píng)：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)8. 復(fù)數(shù)=().a.2+ib.2-ic.1+2id.1-2i參考答案：c9. 已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+b的圖象在點(diǎn)p （1，0）處的切線與直線3x+y=0平行則a、b的值分別為（）a3，2b3，0c3，2d3，4參考答案：a【考

8、點(diǎn)】6h：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【分析】由題目條件知，點(diǎn)p（1，0）為切點(diǎn)，且函數(shù)在改點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，由兩直線平行的條件，從而建立關(guān)于a，b的方程，可求得a，b的值【解答】解：f'（x）=3x2+2ax，依題意有：f'（1）=3+2a=3，a=3又f（1）=a+b+1=0b=2綜上：a=3，b=2故選a10. 下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(   )a                 

9、0;b   c                  d  參考答案：b略二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 過點(diǎn)并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是          .參考答案：略12. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c1和c2的參數(shù)方程分別為（為參數(shù)，）和（t為參數(shù)）

10、，則曲線c1和c2的交點(diǎn)坐標(biāo)為      參考答案：（2，1）考點(diǎn)：圓的參數(shù)方程；直線與圓相交的性質(zhì)；直線的參數(shù)方程專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程分析：先把曲線c1和c2的參數(shù)方程化為普通方程，然后聯(lián)立直線與曲線方程可求交點(diǎn)坐標(biāo)解答：解：曲線c1的普通方程為x2+y2=5（），曲線c2的普通方程為y=x1聯(lián)立方程x=2或x=1（舍去），則曲線c1和c2的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）故答案為：（2，1）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與曲線方程的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，解題的關(guān)鍵是要把參數(shù)方程化為普通方程13. 右圖是正方體平面展開圖，在這個(gè)正方體中bm與ed平行；cn與be是

11、異面直線；cn與bm成60o角；em與bn垂直.   以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_.參考答案：略14.  設(shè)x、y、z為正實(shí)數(shù)，滿足x2y3z0，則的最小值是_參考答案：315. 右圖是選修12中推理與證明一章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖, 請(qǐng)把“合情推理”，“ 類比推理”，“綜合法”，“反證法”，填入適當(dāng)?shù)姆娇騼?nèi).（填序號(hào)即可）。參考答案：略16. 已知x，y為正實(shí)數(shù)，且+=1，則x+y的最小值為         參考答案：18【考點(diǎn)】基本不等式【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用【分

12、析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出代數(shù)式的最小值即可【解答】解：若x，y為正實(shí)數(shù)，且+=1，則x+y=（x+y）（+）=+102+10=8+10=18，當(dāng)且僅當(dāng)=即x=2y時(shí)“=”成立，故答案為：18【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，注意“一正二定三相等”的條件，是一道基礎(chǔ)題17. 若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)則=_;（2分）準(zhǔn)線方程為_   _.(3分)參考答案：2 ，  略三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 設(shè)點(diǎn)m，n的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，0），直線mp，np相交于點(diǎn)p，且它們的斜率之積是（）求點(diǎn)p的軌跡

13、c的方程；（）設(shè)過定點(diǎn)e（0，2）的直線l與曲線c交于不同的兩點(diǎn)a、b，且aob為鈍角（其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線l的斜率k的取值范圍參考答案：【考點(diǎn)】j3：軌跡方程【分析】（i）設(shè)p（x，y），可得?=，（x±2），化簡(jiǎn)即可得出（ii）設(shè)a（x1，y1），b（x2，y2），直線l的方程為：y=kx+2與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+4k2）x2+16kx+12=0，0，解得k范圍aob為鈍角（其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)），可得=x1x2+y1y20，進(jìn)而得出范圍【解答】解：（i）設(shè)p（x，y），則?=，化為： +y2=1（x±2）點(diǎn)p的軌跡c的方程為： +y2=1（x±2）（i

14、i）設(shè)a（x1，y1），b（x2，y2），直線l的方程為：y=kx+2聯(lián)立，化為：（1+4k2）x2+16kx+12=0，=256k248（1+4k2）0，解得：或kx1+x2=，x1x2=aob為鈍角（其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)），=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）0，即k2x1x2+2k（x1+x2）+40，k2?+2k?+40，化為：k21，與或k聯(lián)立，解得k1或k1（不經(jīng)過點(diǎn)（±2，0）直線l的斜率k的取值范圍是（，1）（1，+）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、不等式的解法、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題19. 設(shè)函數(shù)f(x)2c

15、os2xsin2xa(ar)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)當(dāng)x0，時(shí)，f(x)的最大值為2，求a的值。參考答案：略20. 已知，若是的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解:由題意 p:    4分q：8分又是的必要而不充分條件  12分14分 21. 已知函數(shù)f（x）（xr），f（x）存在，記g（x）=f（x），且g（x）也存在，g（x）0（1）求證：f（x）f（x0）+f（x0）（xx0）；（x0r）（2）設(shè)n），且1+2+n=1，xir（i=1，n）（nn+）求證：1f（x1）+2f（x2）+nf（xn）f（1x1+2x2+nx

16、n）（3）已知a，f（a），ff（a），ff（f（a）是正項(xiàng)的等比數(shù)列，求證：f（a）=a參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【分析】（1）構(gòu)造輔助函數(shù)?（x）=f（x）f（x0）f'（x0）（xx0），求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得?（x）的極大值，?（x）?（x0）=0，即可得f（x）f（x0）+f'（x0）（xx0）；（2）由（1）可知，兩邊分別同乘以1，2，3，n，采用累加法，得1f（x1）+2f（x2）+nf（xn）（1+2+n）f（x0）+f'（x0）?1（x1x0）+2（x2x0）+n（xnx0），由1+2+n=1，設(shè)x0=1x1+2x2+nxn，則1（x

17、1x0）+2（x2x0）+n（xnx0）=0，即可證明1f（x1）+2f（x2）+nf（xn）f（1x1+2x2+nxn）；（3）分別求得f（a）=aq，ff（a）=aq2，ffff（a=aq3，x1+（1）x2=aq，fx1+（1）x2=f（aq）=ff（a）=aq2，可得： =fx1+（1）x2，由n=2，1=，2=1，即f（x1）+（1）f（x2）fx1+（1）x2，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時(shí)成立，即a=aq2?a=1，可得f（a）=a【解答】解：（1）證明：設(shè)?（x）=f（x）f（x0）f'（x0）（xx0），則?'（x）=f'（x）f'（x0）g'（

18、x）0故g（x）=f'（x）為減函數(shù)，則x=x0為?（x）的極大值點(diǎn)?（x）?（x0）=0，即f（x）f（x0）+f'（x0）（xx0）（當(dāng)且僅當(dāng)在x=x0取到）（2）證明：由（1）可知：f（x1）f（x0）+f'（x0）（x1x0），兩邊同乘以1得1f（x1）1f（x0）+1f'（x0）（x1x0），2f（x2）2f（x0）+2f'（x0）（x2x0），nf（xn）nf（x0）+nf'（x0）（xnx0），上式各式相加，得1f（x1）+2f（x2）+nf（xn）（1+2+n）f（x0）+f'（x0）?1（x1x0）+2（x2x0）+n（

19、xnx0），因?yàn)?+2+n=1，設(shè)x0=1x1+2x2+nxn，則1（x1x0）+2（x2x0）+n（xnx0）=0，由此，1f（x1）+2f（x2）+nf（xn）f（1x1+2x2+nxn）等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)在x1=x2=xn時(shí)成立，（3）證明：記公比為q，q0，則f（a）=aq，ff（a）=aq2，ffff（a=aq3，取x1=a，=（0，1），則x1+（1）x2=aq，fx1+（1）x2=f（aq）=ff（a）=aq2，又f（x1）+（1）f（x2）=f（a）+（1）f（aq2），=f（a）+（1）fff（a），=aq+（1）aq3，=aq3+aqaq3，=aq3+aq（1q2），=aq3+aq（1q2），=aq2，即aq3+aq（1q2）=aq2=fx1+（1）x2，在（2）中取n=2，1=，2=1，即f（x1）+（1）f（x