第二節(jié)積分與路徑的無(wú)關(guān)性

1、 第三章 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第二節(jié)第二節(jié) 積分與路徑的無(wú)關(guān)性積分與路徑的無(wú)關(guān)性一、積分與路徑無(wú)關(guān)的條件一、積分與路徑無(wú)關(guān)的條件二、解析函數(shù)的原函數(shù)二、解析函數(shù)的原函數(shù)三、閉路變形定理和復(fù)閉路定理三、閉路變形定理和復(fù)閉路定理機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0d)(Czzf即即一、積分與路徑無(wú)關(guān)的條件一、積分與路徑無(wú)關(guān)的條件柯西柯西-古薩（古薩（Cauchy-Goursat）定理：）定理：內(nèi)解析，內(nèi)解析，D)(zf在單連通區(qū)域在單連通區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)則則的積分為的積分為C. 0內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)任一簡(jiǎn)單閉曲線D)(zf沿沿) 1 ()2()(zfD從從內(nèi)定點(diǎn)內(nèi)定點(diǎn)2z1z到到

2、的積分的積分zzfzzd)(21所取路徑無(wú)關(guān)，所取路徑無(wú)關(guān)，這個(gè)積分就記作這個(gè)積分就記作D內(nèi)內(nèi)與在與在機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1 計(jì)算復(fù)積分計(jì)算復(fù)積分1|2d65zzzzze) 1 ()2() 3(01|2dzizz1|2|2dizizzyxo213（無(wú)奇點(diǎn)）（無(wú)奇點(diǎn)）yxoi 210（無(wú)奇點(diǎn)）（無(wú)奇點(diǎn)）i2以以i 2為圓心，為圓心，1為半徑的圓周為半徑的圓周yxoi 2（有奇點(diǎn)（有奇點(diǎn) ）i 2（ 見(jiàn)書(shū)見(jiàn)書(shū) 例例2 ）73P機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、解析函數(shù)的原函數(shù)二、解析函數(shù)的原函數(shù)定義：定義：若在區(qū)域若在區(qū)域 內(nèi)，內(nèi)，D則稱(chēng)則稱(chēng))(zF),()(zfzF是是

3、的原函數(shù)的原函數(shù).)(zf,)(1zz,cos)(sinzz,)(zzee,sin)(coszz,1)(lnzz,ch)sh(zz.sh)ch(zz定理：定理：內(nèi)解析，內(nèi)解析，D)(zf在區(qū)域在區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，是是)(zF)(zf,2Dz ,1z則則zzfzzd)(21|21)(zzzF)(2zF)(1zF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2 計(jì)算復(fù)積分計(jì)算復(fù)積分iizzed) 1 ()2(0d2shzz|iizeieie02d2sh21zz02ch21z2chzzeez022221zzee02241zzee)2(4122ee機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

4、 10dcoszzz) 3(分部積分公式：分部積分公式：vuzzd21|21zzvuuvzzd2110sindzz|10sinzz10dsinzz|10sinzz|10cosz11cos1sin機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 izzz1d1) 1ln()4(試沿區(qū)域試沿區(qū)域0)Re(, 0)Im(zz內(nèi)的圓弧內(nèi)的圓弧的值的值.,1|z計(jì)算積分計(jì)算積分解：解：1) 1ln(zz積函數(shù)在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解析，積函數(shù)在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解析，被積函數(shù)被積函數(shù)且且它的一個(gè)原函數(shù)為它的一個(gè)原函數(shù)為, ) 1(ln212z所以所以izzz1d1) 1ln() 1(ln212z|1i2ln)1(ln2122i2ln)

5、42ln21(2122ii82ln2ln833222機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、閉路變形定理和復(fù)閉路定理三、閉路變形定理和復(fù)閉路定理對(duì)閉路作不經(jīng)過(guò)被積函數(shù)對(duì)閉路作不經(jīng)過(guò)被積函數(shù)奇點(diǎn)的連續(xù)變形奇點(diǎn)的連續(xù)變形)(zf變成變成1C2C1C2C3d)(Czzf1d)(Czzf3d)(Czzf2d)(Czzf3C3C1d)(Czzf2d)(Czzf0可得可得機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 閉路變形定理閉路變形定理:奇點(diǎn)的連續(xù)變形奇點(diǎn)的連續(xù)變形,對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù)的積分路徑作不經(jīng)過(guò)被積函數(shù)的積分路徑作不經(jīng)過(guò)被積函數(shù))(zf積分值不變積分值不變.Cnzzz10)(d0n0n, 0,2 i例例3 其

6、中其中是包含是包含C0z的任一閉路的任一閉路.0zr機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zzzCd422例例4 為正向圓周為正向圓周計(jì)算計(jì)算C,5|z解：解：設(shè)設(shè)422zziz 21iz 21i 2yxo5CzzzCd422zizCd21zizCd21i 21C2CzizCd211將將C的連續(xù)變形，的連續(xù)變形，作不經(jīng)過(guò)點(diǎn)作不經(jīng)過(guò)點(diǎn)iz2;1C為圓心的圓周為圓心的圓周變成以變成以iz2zizCd21將將C的連續(xù)變形，的連續(xù)變形，作不經(jīng)過(guò)點(diǎn)作不經(jīng)過(guò)點(diǎn)iz2.2C為圓心的圓周為圓心的圓周變成以變成以iz2i2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zizCd211zizCd212i2i2i4i 2yxo

7、5Ci 21C2CzizCd21zizCd212zzzCd422zizCd21zizCd21i2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 復(fù)合閉路定理復(fù)合閉路定理:閉路閉路外處處解析外處處解析,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)除奇點(diǎn)除奇點(diǎn))(zf321,zzz321,CCC分別包含著三個(gè)奇點(diǎn)，分別包含著三個(gè)奇點(diǎn)，C它們都在閉路它們都在閉路內(nèi)部，內(nèi)部，C且都與且都與同向，同向， 則則1z1CC2z3z2C3C3d)(CzzfCzzfd)(1d)(Czzf2d)(CzzfzzzCd422例例5 為正向圓周為正向圓周計(jì)算計(jì)算C,5|z解：解：設(shè)設(shè)i 2yxo5Ci 21C2C分別以分別以,2iz為圓心作圓周為圓心作圓周iz2

8、21,CC且且互不相交，互不相交，21,CCC并都包含在并都包含在內(nèi)，內(nèi)，由復(fù)合閉路定理，由復(fù)合閉路定理，zzzCd422zzzCd4212zzzCd4222zizCd211zizCd211zizCd212zizCd212機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 422zziz21iz21i2i2i400機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 zzzzd122例例6 在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線.計(jì)算計(jì)算1|z解：解：為包含圓周為包含圓周yxo1C2C的值，的值，1分別以分別以, 1z為圓心作圓周為圓心作圓周0z21,CC且且互不相交，互不相交，21,CC并都包含在并都包含在內(nèi)，內(nèi)，由復(fù)合閉路定理，由復(fù)合閉路定理，zzzzd