有限元法及應(yīng)用總結(jié)1

1、會(huì)計(jì)學(xué)1有限元法及應(yīng)用總結(jié)有限元法及應(yīng)用總結(jié)1 里茲方法：如果微分方程具有線性和自伴隨的性質(zhì)，那么它不僅可以建立它的等效積分形式，并利用加權(quán)余量法求其近似解，而且還可以建立與之相等效的變分原理，從而得到的另一種近似求解方法。 自然變分原理：原問(wèn)題的微分方程和邊界條件的等效積分的伽遼金法等效于它的變分原理，即原問(wèn)題的微分方程和邊界條件等效于泛函的變分為零，亦即泛函取駐值。反之，如果泛函取駐值則等效于滿足問(wèn)題的微分方程和邊界條件。而泛函可以通過(guò)原問(wèn)題的等效積分的伽遼金法而得到，我們稱這樣得到的變分原理為自然變分原理。2. 里茲方法 對(duì)于具有線性、自伴隨性質(zhì)的微分方程在得到與它相等效的變分原理以后，

2、可以用來(lái)建立求近似解，這一過(guò)程即里茲方法。它的實(shí)質(zhì)是從一族假定解中尋求滿足泛函變分的“最好的”解。顯然，近似解的精度與試探函數(shù)（形函數(shù)或試函數(shù)）的選擇有關(guān)，如果知道所求解的一般性質(zhì)，那么可以通過(guò)選擇反映此性質(zhì)的試探函數(shù)來(lái)改進(jìn)近似解，提高近似解的精度。2. 里茲方法（續(xù)） 3.虛功原理 平衡方程和幾何方程的等效積分“弱”形式 虛功原理包含虛位移原理和虛應(yīng)力原理，是虛位移原理和虛應(yīng)力原理的總稱。他們都可以認(rèn)為是與某些控制方程相等效的積分“弱”形式。虛功原理：變形體中任意滿足平衡的力系在任意滿足協(xié)調(diào)條件的變形狀態(tài)上作的虛功等于零，即體系外力的虛功與內(nèi)力的虛功之和等于零。 虛位移原理是平衡方程和力的邊

3、界條件的等效積分的“弱”形式； 虛應(yīng)力原理是幾何方程和位移邊界條件的等效積分“弱”形式。 虛位移原理的力學(xué)意義：如果力系是平衡的，則它們?cè)谔撐灰坪吞搼?yīng)變上所作的功的總和為零。反之，如果力系在虛位移（及虛應(yīng)變）上所作的功的和等于零，則它們一定滿足平衡方程。所以，虛位移原理表述了力系平衡的必要而充分條件。 一般而言，虛位移原理不僅可以適用于線彈性問(wèn)題，而且可以用于非線性彈性及彈塑性等非線性問(wèn)題。 但是否適用所有的問(wèn)題呢？3.虛功原理（續(xù)） 平衡方程和幾何方程的等效積分“弱”形式 虛應(yīng)力原理的力學(xué)意義：如果位移是協(xié)調(diào)的，則虛應(yīng)力和虛邊界約束反力在他們上面所作的功的總和為零。反之，如果上述虛力系在他們

4、上面所作的功的和為零，則它們一定是滿足協(xié)調(diào)的。所以，虛應(yīng)力原理表述了位移協(xié)調(diào)的必要而充分條件。 虛應(yīng)力原理可以應(yīng)用于線彈性以及非線性彈性等不同的力學(xué)問(wèn)題。 但是必須指出，無(wú)論是虛位移原理還是虛應(yīng)力原理，他們所依賴的幾何方程和平衡方程都是基于小變形理論的，他們不能直接應(yīng)用于基于大變形理論的力學(xué)問(wèn)題。3.虛功原理（續(xù)） 平衡方程和幾何方程的等效積分“弱”形式 4.最小位能原理和最小余能原理 明確：最小位能原理是建立在虛位移原理基礎(chǔ)上的，而最小余能原理建立在虛應(yīng)力原理基礎(chǔ)上。 最小位能原理是指在所有可能位移中，真實(shí)位移使系統(tǒng)總位能取最小值。 總位能是指彈性體變形位能和外力位能之和。 最小余能原理是指

5、在所有的應(yīng)力中，真實(shí)應(yīng)力使系統(tǒng)的總余能取最小值。 總余能是指彈性體余能和外力余能總和。 一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解的彈性變形能是精確解變形能的下界，即近似的位移場(chǎng)在總體上偏小，也就是說(shuō)結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型顯得偏于剛硬；而利用最小余能原理求得的應(yīng)力近似解的彈性余能是精確解余能的上界，即近似的應(yīng)力解在總體上偏大，結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型偏于柔軟。 當(dāng)分別利用這兩個(gè)極值原理求解同一問(wèn)題時(shí)，我們將獲得這個(gè)問(wèn)題的上界和下界，可以較準(zhǔn)確地估計(jì)所得近似解的誤差，這對(duì)工程計(jì)算具有實(shí)際意義。4.最小位能原理和最小余能原理（續(xù)）*7.單元?jiǎng)澐衷瓌t是什么? 梁、桿單元?jiǎng)澐值脑瓌t梁、桿單元?jiǎng)澐值脑瓌t 兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的桿構(gòu)

6、成一個(gè)單元，節(jié)點(diǎn)可按以下原則劃分：1）桿件的交點(diǎn)一定要選為節(jié)點(diǎn)(梯子）；2）階梯形桿截面變化處一定取為節(jié)點(diǎn)（階梯軸）；3）支撐點(diǎn)與自由端要選為節(jié)點(diǎn)（懸臂梁）；4）集中載荷作用處最好選為節(jié)點(diǎn)；5）欲求位移的點(diǎn)要選為節(jié)點(diǎn)；6）單元長(zhǎng)度最好基本相同。 平面單元?jiǎng)澐衷瓌t 1.單元形狀：常用單元形狀有三角形單元、矩形單元和等參數(shù)單元。他們的特點(diǎn)是單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，其計(jì)算精度越高，三角形單元與等參數(shù)單元可適應(yīng)任意邊界。 2.劃分原則： 1）劃分單元的個(gè)數(shù)，視計(jì)算機(jī)要求的精度和計(jì)算機(jī)容量而定，單元分得越多，塊越小其精度越高，但需要的計(jì)算機(jī)容量越大，因此，須根據(jù)實(shí)際情況而定。 2）劃分單元的大小，可根據(jù)部位不

7、同有所不同，在位移或應(yīng)力變化大的部位取得單元要??；在位移或應(yīng)力變化小的部位取得單元要大，在邊界比較平滑的部位，單元可大。 3）劃分單元的形狀，一般均可取成三角形或等參元。對(duì)于平直邊界可取成矩形單元，有時(shí)也可以將不同單元混合使用，但要注意，必須節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)相連，切莫將節(jié)點(diǎn)與單元的邊相連。4）單元各邊的長(zhǎng)不要相差太大，否則將影響求解精度。 5）盡量把集中力或集中力偶的作用點(diǎn)選為節(jié)點(diǎn)。 6）盡量利用對(duì)稱性，以減少計(jì)算量（有限元法的最大優(yōu)點(diǎn)在于使用了矩陣的方法）。平面單元?jiǎng)澐衷瓌t（續(xù)）*8.有限元法分析過(guò)程有限元法分析過(guò)程 有限元法分析過(guò)程大體可分為：前處理、分析、后處理三大步驟。 對(duì)實(shí)際的連續(xù)體經(jīng)過(guò)離

8、散化后就建立了有限元分析模型，這一過(guò)程是有限元的前處理過(guò)程。在這一階段，要構(gòu)造計(jì)算對(duì)象的幾何模型，要?jiǎng)澐钟邢拊W(wǎng)格，要生成有限元分析的輸入數(shù)據(jù)，這一步是有限元分析的關(guān)鍵。 有限元分析過(guò)程主要包括：?jiǎn)卧治?、整體分析、載荷移置、引入約束、求解約束方程等過(guò)程。這一過(guò)程是有限元分析的核心部分，有限元理論主要體現(xiàn)在這一過(guò)程中。 有限元法包括三類：有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。 在有限元位移法中，選節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量； 在有限元力法中，選節(jié)點(diǎn)力作為未知量； 在有限元混合法中，選一部分基本未知量為節(jié)點(diǎn)位移，另一部分基本未知量為節(jié)點(diǎn)力。*8.有限元法分析過(guò)程有限元法分析過(guò)程（續(xù)） 有限元位移法

9、計(jì)算過(guò)程的系統(tǒng)性、規(guī)律性強(qiáng)，特別適宜于編程求解。一般除板殼問(wèn)題的有限元應(yīng)用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。因此，一般不做特別聲明，有限元法指的是有限元位移法。 有限元分析的后處理主要包括對(duì)計(jì)算結(jié)果的加工處理、編輯組織和圖形表示三個(gè)方面。它可以把有限元分析得到的數(shù)據(jù)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為設(shè)計(jì)人員直接需要的信息，如應(yīng)力分布狀態(tài)、結(jié)構(gòu)變形狀態(tài)等，并且繪成直觀的圖形，從而幫助設(shè)計(jì)人員迅速的評(píng)價(jià)和校核設(shè)計(jì)方案。*8.有限元法分析過(guò)程有限元法分析過(guò)程（續(xù)）9.有限元法的收斂性概念與收斂條件 有限元法是一種數(shù)值分析方法，因此應(yīng)考慮收斂性問(wèn)題。 有限元法的收斂性是指：當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元解答的序列收斂

10、到精確解；或者當(dāng)單元尺寸固定時(shí)，每個(gè)單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。 有限元的收斂條件包括如下四個(gè)方面： 1）單元內(nèi)，位移函數(shù)必須連續(xù)。多項(xiàng)式是單值連續(xù)函數(shù)，因此選擇多項(xiàng)式作為位移函數(shù)，在單元內(nèi)的連續(xù)性能夠保證。 2）在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項(xiàng)。每個(gè)單元的應(yīng)變狀態(tài)總可以分解為不依賴于單元內(nèi)各點(diǎn)位置的常應(yīng)變和由各點(diǎn)位置決定的變量應(yīng)變。當(dāng)單元的尺寸足夠小時(shí)，單元中各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等，單元的變形比較均勻，因而常應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要部分。為反映單元的應(yīng)變狀態(tài)，單元位移函數(shù)必須包括常應(yīng)變項(xiàng)。9.有限元法的收斂性概念與收斂條件（續(xù)） 3）在單元內(nèi)，位移函數(shù)必須包括剛體位移項(xiàng)。一般

11、情況下，單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移包括形變位移和剛體位移兩部分。形變位移與物體形狀及體積的改變相聯(lián)系，因而產(chǎn)生應(yīng)變；剛體位移只改變物體位置，不改變物體的形狀和體積，即剛體位移是不產(chǎn)生變形的位移。空間一個(gè)物體包括三個(gè)平動(dòng)位移和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)位移，共有六個(gè)剛體位移分量。 由于一個(gè)單元牽連在另一些單元上，其他單元發(fā)生變形時(shí)必將帶動(dòng)單元做剛體位移，由此可見(jiàn)，為模擬一個(gè)單元的真實(shí)位移，假定的單元位移函數(shù)必須包括剛體位移項(xiàng)。9.有限元法的收斂性概念與收斂條件（續(xù)） 4）位移函數(shù)在相鄰單元的公共邊界上必須協(xié)調(diào)。對(duì)一般單元而言，協(xié)調(diào)性是指相鄰單元在公共節(jié)點(diǎn)處有相同的位移，而且沿單元邊界也有相同的位移，也就是說(shuō)，要保證不發(fā)生

12、單元的相互脫離開(kāi)裂和相互侵入重疊。要做到這一點(diǎn)，就要求函數(shù)在公共邊界上能由公共節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值唯一確定。對(duì)一般單元，協(xié)調(diào)性保證了相鄰單元邊界位移的連續(xù)性。 但是，在板殼的相鄰單元之間，還要求位移的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，只有這樣，才能保證結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能是有界量。9.有限元法的收斂性概念與收斂條件（續(xù)） 總的說(shuō)來(lái)，協(xié)調(diào)性是指在相鄰單元的公共邊界上滿足連續(xù)性條件。 前三條又叫完備性條件，滿足完備條件的單元叫完備單元；第四條是協(xié)調(diào)性要求，滿足協(xié)調(diào)性的單元叫協(xié)調(diào)單元；否則稱為非協(xié)調(diào)單元。完備性要求是收斂的必要條件，四條全部滿足，構(gòu)成收斂的充分必要條件。 在實(shí)際應(yīng)用中，要使選擇的位移函數(shù)全部滿足完備性和協(xié)調(diào)性要求是比較

13、困難的，在某些情況下可以放松對(duì)協(xié)調(diào)性的要求。9.有限元法的收斂性概念與收斂條件（續(xù)） 需要指出的是，有時(shí)非協(xié)調(diào)單元比與它對(duì)應(yīng)的協(xié)調(diào)單元還要好，其原因在于近似解的性質(zhì)。假定位移函數(shù)就相當(dāng)于給單元施加了約束條件，使單元變形服從所加約束，這樣的替代結(jié)構(gòu)比真實(shí)結(jié)構(gòu)更剛一些。但是，這種近似結(jié)構(gòu)由于允許單元分離、重疊，使單元的剛度變軟了，或者形成了（例如板單元在單元之間的繞度連續(xù)，而轉(zhuǎn)角不連續(xù)時(shí)，剛節(jié)點(diǎn)變?yōu)殂q接點(diǎn)）對(duì)于非協(xié)調(diào)單元，上述兩種影響有誤差相消的可能，因此利用非協(xié)調(diào)單元有時(shí)也會(huì)得到很好的結(jié)果。在工程實(shí)踐中，非協(xié)調(diào)元必須通過(guò)“小片試驗(yàn)后”才能使用。9.有限元法的收斂性概念與收斂條件（續(xù)）10.應(yīng)力的

14、單元平均或節(jié)點(diǎn)平均處理方法? 最簡(jiǎn)單的處理應(yīng)力結(jié)果的方法是取相鄰單元或圍繞節(jié)點(diǎn)各單元應(yīng)力的平均值。 1.取相鄰單元應(yīng)力的平均值 這種方法最常用于3節(jié)點(diǎn)三角形單元中。這種最簡(jiǎn)單而又相當(dāng)實(shí)用的單元得到的應(yīng)力解在單元內(nèi)是常數(shù)。可以將其看作是單元內(nèi)應(yīng)力的平均值，或是單元形心處的應(yīng)力。由于應(yīng)力近似解總是在精確解上下振蕩，可以取相鄰單元應(yīng)力的平均值作為此兩個(gè)單元合成的較大四邊形單元形心處的應(yīng)力。 如2單元的情況下，取平均應(yīng)力可以采用算術(shù)平均， 即平均應(yīng)力=（單元1的應(yīng)力+單元2的應(yīng)力）/2。 也可以采用精確一些的面積加權(quán)平均， 即平均應(yīng)力=單元1應(yīng)力 單元1的面積+單元2應(yīng)力 單元2面積/（單元1面積+單

15、元2面積） 當(dāng)相鄰兩單元面積相差不大時(shí)，兩者的結(jié)果基本相同。在單元?jiǎng)澐謺r(shí)應(yīng)避免相鄰兩單元的面積相差太多，從而使求解的誤差相近。10.應(yīng)力的單元平均或節(jié)點(diǎn)平均處理方法?（續(xù)） 一般而言，3節(jié)點(diǎn)三角形單元的最佳應(yīng)力點(diǎn)是單元的中心點(diǎn)，此點(diǎn)的應(yīng)力具有1階的精度。 2.取圍繞節(jié)點(diǎn)各單元應(yīng)力的平均值 首先計(jì)算圍繞該節(jié)點(diǎn)（i）周圍的相關(guān)單元在該節(jié)點(diǎn)出的應(yīng)力值 ，然后以他們的平均值作為該節(jié)點(diǎn)的最后應(yīng)力值 ，即 其中，1m是圍繞在i節(jié)點(diǎn)周圍的全部單元。取平均值時(shí)也可進(jìn)行面積加權(quán)。eiimeeiim1110.應(yīng)力的單元平均或節(jié)點(diǎn)平均處理方法?（續(xù)）*11.有限元法求解問(wèn)題的基本步驟有限元法求解問(wèn)題的基本步驟 )

16、11 ()()()(eeekF1.結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，將其分割成若干個(gè)單元，單元間彼此通過(guò)節(jié)點(diǎn)相連； 2.求出各單元的剛度矩陣求出各單元的剛度矩陣 )(eK 是由單元節(jié)點(diǎn)位移量 求單元節(jié)點(diǎn)力向量 的轉(zhuǎn) 移矩陣，其關(guān)系式為 )(eK )(e )(eF3.集成總體剛度矩陣K并寫(xiě)出總體平衡方程： 總體剛度矩陣K是由整體節(jié)點(diǎn)位移向量 求整體節(jié)點(diǎn)力向量 的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為 ，此即為總體平衡方程。 F KF 4.引入支撐條件，求出各節(jié)點(diǎn)的位移引入支撐條件，求出各節(jié)點(diǎn)的位移 節(jié)點(diǎn)的支撐條件有兩種：一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為零，另一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為一給定值。 5.求出

17、各單元內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變求出各單元內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變。 12.單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦詥卧獎(jiǎng)偠染仃嚨奶匦?單元?jiǎng)偠染仃嚐o(wú)論在局部坐標(biāo)系中還是在整體坐標(biāo)系中都具有相同的三個(gè)特性： 1） 對(duì)稱性 由材料力學(xué)中的位移互等定理可知，對(duì)一個(gè)構(gòu)件，作用在點(diǎn)j的力引起點(diǎn)i的繞度等于有同樣大小而作用于點(diǎn)i的力引起的點(diǎn)j的繞度，即 ，表明單元?jiǎng)偠染仃囀且粋€(gè)對(duì)稱矩陣。 )()(eijeijkk 2） 奇異性 無(wú)逆陣的矩陣就叫做奇異矩陣，其行列式的值為0，即 ，這一點(diǎn)可以從例題直接得到驗(yàn)證。其物理意義是引入支撐條件之前，單元可平移。 0)(ek12.單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦裕ɡm(xù)）單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦裕ɡm(xù)） 3） 分塊性 有前面所講的內(nèi)容

18、可以看出，矩陣 可以用虛線分成四塊，因此可寫(xiě)成如下的分塊形式， 式中 局部坐標(biāo)系中單元(e)按局部碼標(biāo)記的節(jié)點(diǎn)m、n之間的剛度子矩陣。 )(ek )(21)(22211211)(21eeekkkkff )(emnk12.單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦裕ɡm(xù)）單元?jiǎng)偠染仃嚨奶匦裕ɡm(xù)） *13.求圖中所示剛架中各單元在整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?1)。 設(shè)兩桿的長(zhǎng)度與截面尺寸彼此相等。（空心桿）其中，L=200cm,D=5cm,d=4cm,E=2107N/cm2。 *13：求圖所示結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量。 已知節(jié)點(diǎn)1處承受外載 ，其余條件同前例。 NcmM51105*14.剛架結(jié)構(gòu)中剛架結(jié)構(gòu)中非節(jié)點(diǎn)載荷的處理的方法

19、非節(jié)點(diǎn)載荷的處理的方法 在剛架結(jié)構(gòu)以及其他較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)上，他們所受的載荷可以直接作用在節(jié)點(diǎn)上，又可以不直接作用在節(jié)點(diǎn)上而作用于單元節(jié)點(diǎn)間的其他位置上。后一種情況下的載荷稱為非節(jié)點(diǎn)載荷。有限元分析時(shí)，總體剛度方程中所用到的力向量 是節(jié)點(diǎn)力向量。因此在進(jìn)行整體分析前應(yīng)當(dāng)進(jìn)行載荷的移植，將作用于單元上的力移植到節(jié)點(diǎn)上。移植時(shí)按靜力等效的原則進(jìn)行。 F 處理非節(jié)點(diǎn)載荷一般可直接在整體坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行，其過(guò)程為： 1）將各桿單元看成一根兩端固定的梁，分別求出兩個(gè)固定端的約束反力。其結(jié)果可直接利用材料力學(xué)的公式求得； 2）將各固定端的約束反力變號(hào)，按節(jié)點(diǎn)進(jìn)行集成，獲得各節(jié)點(diǎn)的等效載荷 *14.剛架結(jié)構(gòu)中剛架結(jié)

20、構(gòu)中非節(jié)點(diǎn)載荷的處理的方法非節(jié)點(diǎn)載荷的處理的方法（續(xù)）（續(xù)） * * *15.15.總體剛度矩陣的集成法總體剛度矩陣的集成法 使用剛度矩陣獲得的方法獲得總體剛度矩陣。在此將其擴(kuò)展到由整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚨淖泳仃嚰煽傮w剛度矩陣。步驟如下： 1）對(duì)一個(gè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)，將總體剛度矩陣K劃分為nn各子區(qū)間，然后按節(jié)點(diǎn)總碼的順序進(jìn)行編號(hào)； 2）將整體坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃嚨母髯泳仃嚫鶕?jù)其下標(biāo)的兩個(gè)總碼對(duì)號(hào)入座，寫(xiě)在總體剛度矩陣相應(yīng)的子區(qū)間； 3）同一子區(qū)間內(nèi)的子矩陣相加，成為總體剛度矩陣中的相應(yīng)的子矩陣。 * * *15.15.總體剛度矩陣的集成法（續(xù)總體剛度矩陣的集成法（續(xù)） 16.16.總體

21、剛度矩陣的特性總體剛度矩陣的特性 1）對(duì)稱性：因?yàn)橛纱颂匦?，在?jì)算機(jī)中只需存儲(chǔ)其上三角部分； 2）奇異性：物理意義仍為在無(wú)約束的情況下，整個(gè)結(jié)構(gòu)可做剛體運(yùn)動(dòng)； 3）稀疏性：K中有許多零子矩陣，而且在非零子矩陣中還有大量的零元素，這種矩陣稱為稀疏矩陣。大型結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣一般都是稀疏矩陣； 4）分塊性：這個(gè)性質(zhì)已經(jīng)利用過(guò)，在此不再敘述。 了解剛度矩陣的這些特性非常有用，它可以大大減少計(jì)算機(jī)的內(nèi)存和計(jì)算工作量。 *17.平面問(wèn)題離散化時(shí)的規(guī)定 1）單元之間只在節(jié)點(diǎn)處相連； 2）所有的節(jié)點(diǎn)都為鉸接點(diǎn)； 3）單元之間的力通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞； 4）外載荷都要移植到節(jié)點(diǎn)上； 5）在節(jié)點(diǎn)位移或某一分量可以不計(jì)之

22、處，就必須在該節(jié)點(diǎn)安置一個(gè)鉸支座或相應(yīng)的連桿支座。 通過(guò)以上的規(guī)定來(lái)建立平面有限元分析模型。*18.平面離散化的一些定性的規(guī)律 1）結(jié)構(gòu)對(duì)稱性的利用 2）對(duì)稱結(jié)構(gòu)的網(wǎng)格布局 3）劃分網(wǎng)格要兼顧精度和經(jīng)濟(jì)性 4）不連續(xù)出的自然分割 5）幾何形狀的近似與過(guò)渡圓角的處理 6）單元形態(tài)的選擇 7）邊界條件的確定 8）單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)19.結(jié)構(gòu)對(duì)稱性的利用規(guī)律 一般來(lái)說(shuō)，作用在對(duì)稱結(jié)構(gòu)上的載荷系統(tǒng)分為對(duì)稱的、反對(duì)稱的和一般的三種情況。 1.結(jié)構(gòu)對(duì)稱，載荷對(duì)稱或反對(duì)稱 這種情況下，對(duì)稱面上的邊界條件可按一下規(guī)則確定： A.在不同的對(duì)稱面上，將位移分量區(qū)分為對(duì)稱分量和反對(duì)稱分量； B.將載荷也按不同的對(duì)稱面分

23、別區(qū)分為對(duì)稱分量和反對(duì)稱分量； C.對(duì)于同一個(gè)對(duì)稱面，如載荷是對(duì)稱的，則對(duì)稱面上位移的反對(duì)稱分量為零，如載荷是反對(duì)稱的，則對(duì)稱面上位移的對(duì)稱分量為零。結(jié)構(gòu)對(duì)稱，載荷一般的情況如果所分析的結(jié)構(gòu)對(duì)稱，但載荷是不對(duì)稱的，也不是反對(duì)稱的，這時(shí)可以將這種結(jié)構(gòu)系統(tǒng)簡(jiǎn)化成載荷為對(duì)稱和/或反對(duì)稱情況的組合，仍可以簡(jiǎn)化分析過(guò)程，提高分析的綜合效率。如圖a所示，結(jié)構(gòu)對(duì)稱，載荷一般，可將其載荷分解為圖b和圖c的組合。圖b為對(duì)稱結(jié)構(gòu)，載荷對(duì)x、y軸均為對(duì)稱，圖c為結(jié)構(gòu)對(duì)稱，載荷對(duì)x軸反對(duì)稱、對(duì)y軸對(duì)稱，此時(shí)可取相同的四分之一進(jìn)行研究，分別施加對(duì)稱面上節(jié)點(diǎn)的邊界條件，進(jìn)行兩次分析計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果迭加起來(lái)，即可得到原結(jié)

24、構(gòu)四分之一的解答，進(jìn)而得出整個(gè)結(jié)構(gòu)的解答。對(duì)稱性利用中的特殊問(wèn)題 利用結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性取某一部分建立有限元模型時(shí)，往往會(huì)產(chǎn)生約束不足現(xiàn)象。 例如，若取上例中圖c的四分之一建立有限元時(shí)，根據(jù)上述分析，在兩對(duì)稱面上應(yīng)加水平放置的滾動(dòng)鉸支座，因此模型在垂直方向存在剛體位移。對(duì)這種約束不足問(wèn)題，利用有限元分析時(shí)，必須增加附加約束，以消除模型的剛體位移。在本例中，垂直方向可以用剛度很小的桿單元或邊界彈簧單元連接到模型某節(jié)點(diǎn)上，使得既消除了模型的剛體位移，又不致于因附加的桿單元或邊界彈簧單元?jiǎng)偠忍蠖绊懡Y(jié)構(gòu)原有的變形狀態(tài)。20.單元形態(tài)的選擇原則 單元形態(tài)包括單元形狀、邊中節(jié)點(diǎn)的位置、細(xì)長(zhǎng)比等，在結(jié)構(gòu)離散化

25、過(guò)程中必須合理選擇。一般來(lái)說(shuō)，為了保證有限元分析的精度，必須是單元的形態(tài)盡可能的規(guī)則。 對(duì)于三角形單元，三條邊長(zhǎng)盡量接近，不應(yīng)出現(xiàn)大的鈍角、大的邊長(zhǎng)。這是因?yàn)楦鶕?jù)誤差分析，應(yīng)力和位移的誤差都和單元的最小內(nèi)角的正弦成反比。因而，等邊三角形單元的形態(tài)最好，它與等腰直角三角形單元的誤差之比為sin45:sin60=1:1.23。但是為了適應(yīng)彈性體邊界，以及單元由小到大逐漸過(guò)渡，不可能是所有的三角形單元都接近等邊三角形。實(shí)際上，常常使用等腰直角三角形。 對(duì)于矩形單元來(lái)說(shuō)，細(xì)長(zhǎng)比不宜過(guò)大。細(xì)長(zhǎng)比是指單元最大尺寸和最小尺寸之比。最優(yōu)細(xì)長(zhǎng)比在很大程度上取決于不同方向上位移梯度的差別。梯度較大的方向，單元尺寸

26、要小些，梯度小的方向，單元尺寸可以大一些；如果各方向上位移梯度大致相同，則細(xì)長(zhǎng)比越接近1，精度越高。有文獻(xiàn)推薦，一般情況下，為了得到較好的位移結(jié)果，細(xì)長(zhǎng)比不應(yīng)超過(guò)7；為了獲得較好的應(yīng)力結(jié)果，細(xì)長(zhǎng)比不應(yīng)超過(guò)3。一般情況下，正方形單元的形態(tài)最好。 對(duì)于一般的四邊形單元應(yīng)避免過(guò)大的邊長(zhǎng)比，過(guò)大的邊長(zhǎng)比會(huì)導(dǎo)致病態(tài)的方程組。20.單元形態(tài)的選擇原則（續(xù)）*21.邊界條件的確定 確定邊界條件是建立有限元模型的重要一環(huán)，合理確定有限元模型的邊界條件是成功地進(jìn)行結(jié)構(gòu)有限元分析的基本要求。 一般情況下，建模對(duì)象的邊界條件是明確的。根據(jù)力學(xué)模型的邊界條件可以很容易確定其有限元模型的邊界條件。例如電線桿插入地基的一

27、端為固定端，橋梁一端為固定鉸支座，另一端為滾動(dòng)較支座。 但是，在機(jī)械工程中，建模對(duì)象往往是整個(gè)結(jié)構(gòu)中的一部分，在建立有限元模型，確定其邊界條件時(shí)，必須考慮其余部分的影響。這方面主要考慮如下兩類問(wèn)題。 1.邊界位置的確定 在建立連續(xù)彈性體局部區(qū)域的有限元模型時(shí)，往往取該局部區(qū)域?yàn)楦綦x體，取其隔離邊界條件為零位移約束，并通過(guò)試探校正確定零位移邊界條件的位置。例如，進(jìn)行齒輪齒有限元分析時(shí)，取一個(gè)輪齒的局部區(qū)域?yàn)楦綦x體，如圖所示，設(shè)定PQRS的邊界條件為零位移約束，通過(guò)改變邊界深度PQ和邊界寬度PS研究邊界位置對(duì)齒根最大拉應(yīng)力的影響，最后確定合理的邊界條件。 2.邊界條件的確定 有些分析對(duì)象的邊界位置

28、是零部件的連接部位。在建立有限元模型時(shí)，必須研究如何給定邊界位置上的邊界條件，以反映相連接結(jié)構(gòu)的影響。確定這種問(wèn)題的邊界條件是用簡(jiǎn)單支撐連桿替代相連接結(jié)構(gòu)的作用，使替代后結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)剛度等價(jià)于原結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)剛度。如分析機(jī)床主軸和傳動(dòng)軸時(shí)，可以利用等剛度的桿單元替代軸承和支座的作用，使軸的分析中包含有軸承和支座的影響。*22.單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)規(guī)則 當(dāng)利用整體剛度矩陣的帶狀特征進(jìn)行存貯和求解方程組時(shí)，單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)直接影響系統(tǒng)整體剛度矩陣的半帶寬，也就是影響在計(jì)算機(jī)中存貯信息的多少、計(jì)算時(shí)間和計(jì)算費(fèi)用。因而，要求合理的節(jié)點(diǎn)編號(hào)使帶寬極小化。半帶寬的計(jì)算公式： 半帶寬d=（單元節(jié)點(diǎn)號(hào)的最大差值+1）節(jié)點(diǎn)自由

29、度 由此，進(jìn)行網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)編號(hào)時(shí)應(yīng)使網(wǎng)格中單元節(jié)點(diǎn)號(hào)的最大差值最小，這樣才能保證半帶寬最小。試比較下圖。 圖所示網(wǎng)格的四種編號(hào)方案中，單元節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)的最大差值分別為5，3，5，9。顯然，圖2方案要合理。由此得出結(jié)論：沿著短邊方向按列-列-列-列地順序編號(hào)比沿著長(zhǎng)度方向按行-行-行-行地順序要合理（半帶寬?。?22.單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)規(guī)則（續(xù)） 然而，對(duì)于具有中間節(jié)點(diǎn)的單元或空間問(wèn)題，須借助于帶寬極小化的優(yōu)化程序來(lái)對(duì)節(jié)點(diǎn)重新編號(hào)，先進(jìn)的有限元程序包一般都配備有這樣的程序。 對(duì)單元的編號(hào)只影響整體剛度矩陣的裝配時(shí)間。由于這一時(shí)間在有限元運(yùn)算時(shí)間中只占很小的比例，因而對(duì)于單元的編號(hào)并無(wú)特殊的要求。*22.單元

30、和節(jié)點(diǎn)編號(hào)規(guī)則（續(xù)）*23.掌握分析三角形單元的位移模式求解方法 如圖所示，在局部坐標(biāo)系中，三角形平面單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)分別為1、2、3，其編號(hào)按逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)分別為 332211,yxyxyx、24.求解平面問(wèn)題中求解平面問(wèn)題中局部坐標(biāo)局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃囅抵械膯卧獎(jiǎng)偠染仃?將幾何方程和彈性方程代入虛功方程經(jīng)整理后得：局部坐標(biāo)系中 式中 單元?jiǎng)偠染仃?其中t三角形單元平板的厚度， 三角形單元的面積 ek eeekf ek tBDBtdxdyBDBtdxdyBDBkTTTe25.平面問(wèn)題中平面問(wèn)題中非節(jié)點(diǎn)載荷轉(zhuǎn)換為等效非節(jié)點(diǎn)載荷轉(zhuǎn)換為等效節(jié)點(diǎn)載荷節(jié)點(diǎn)載荷 由于三角形單元復(fù)雜的力學(xué)性

31、質(zhì)，不能像分析剛架時(shí)那樣簡(jiǎn)單地利用材料力學(xué)公式來(lái)求解，而要用虛功方程將加在結(jié)構(gòu)上的非節(jié)點(diǎn)載荷轉(zhuǎn)換為等效節(jié)點(diǎn)載荷。 掌握以下兩種常見(jiàn)的非節(jié)點(diǎn)載荷的移植結(jié)果。 設(shè)Q平行于x方向，如圖4-14所示，則 等效節(jié)點(diǎn)載荷為 若Q平行于y方向，結(jié)果與此相仿。 1）作用在單元一條側(cè)邊上的集中力0, 0, 0, 0,kyjyiykxijxjixFFFFQllFQllF1）作用在單元一條側(cè)邊上的集中力2）作用在單元一條側(cè)邊上呈三角形 分布的載荷 設(shè)載荷平行于x方向，如圖4-15所示，則等效節(jié)點(diǎn)載荷為 若分布載荷為集度是q的均布載荷，則 其余分量為零。 0, 0, 0, 0,3,6kyjyiykxjxixFFFFq

32、ltFqltF3qltFFjxix2）作用在單元一條側(cè)邊上呈三角形 分布的載荷 *26.例：求例4-7圖所示結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)的位移量。 已知0,/102,10 ,100,60 ,40,/1 . 0 ,10025212ummNEmmtmmammLmmLmmNqNQ有關(guān)軟件的幾個(gè)問(wèn)題的處理1.載荷與載荷分類ANSYS中的載荷可分為:自由度DOF - 定義節(jié)點(diǎn)的自由度（ DOF ） 值 (結(jié)構(gòu)分析_位移、熱分析_ 溫度、電磁分析_磁勢(shì)等) 集中載荷 - 點(diǎn)載荷 (結(jié)構(gòu)分析_力、熱分析_ 熱導(dǎo)率、電磁分析_ magnetic current segments) 面載荷 - 作用在表面的分布載荷 (結(jié)構(gòu)分析_壓

33、力、熱分析_熱對(duì)流、電磁分析_magnetic Maxwell surfaces等) 體積載荷 - 作用在體積或場(chǎng)域內(nèi) (熱分析_ 體積膨脹、內(nèi)生成熱、電磁分析_ magnetic current density等) 慣性載荷 - 結(jié)構(gòu)質(zhì)量或慣性引起的載荷 (重力、角速度等)2.添加載荷應(yīng)遵循的原則 簡(jiǎn)化假定越少越好。 使施加的載荷與結(jié)構(gòu)的實(shí)際承載狀態(tài)保持吻合； 如果沒(méi)法做得更好，只要其它位置結(jié)果正確也是可以認(rèn)為是正確的，但是你必須忽略“不合理”邊界的附近一定區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力。 加載時(shí)，必須十分清楚各個(gè)載荷的施加對(duì)象及定義載荷。 除了對(duì)稱邊界外，實(shí)際上不存在真正的剛性邊界。 不要忘記泊松效應(yīng)； 添

34、加剛體運(yùn)動(dòng)約束, 但不能添加過(guò)多的（其它）約束。 實(shí)際上，集中載荷是不存在的； 軸對(duì)稱模型具有一些獨(dú)一無(wú)二的邊界特性 。3.求解時(shí)模型是否準(zhǔn)備就緒?在求解初始化前，應(yīng)進(jìn)行分析數(shù)據(jù)檢查，包括下面內(nèi)容: 1.統(tǒng)一的單位;2.單元類型和選項(xiàng);3.材料性質(zhì)參數(shù):考慮慣性時(shí)應(yīng)輸入材料密度;熱應(yīng)力分析時(shí)應(yīng)輸入材料的熱膨脹系數(shù);4.實(shí)常數(shù) (單元特性);5.單元實(shí)常數(shù)和材料類型的設(shè)置;6.實(shí)體模型的質(zhì)量特性 (Preprocessor Operate Calc Geom Items);7.模型中不應(yīng)存在的縫隙;8.殼單元的法向;9.節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)系;10.集中、體積載荷面力方向;11.溫度場(chǎng)的分布和范圍;12.熱

35、膨脹分析的參考溫度。在求解過(guò)程中，應(yīng)將OUTPUT窗口提到最前面。 ANSYS 求解過(guò)程中的一系列信息都將顯示在此窗口中，主要信息包括: 模型的質(zhì)量特性- 模型質(zhì)量是精確的 - 質(zhì)心和 質(zhì)量矩的值有一定誤差。 單元矩陣系數(shù) - 當(dāng)單元矩陣系數(shù)最大/最小值的比率 1.0E8 時(shí)將預(yù)示模型中的材料性質(zhì)、實(shí)常數(shù)或幾何模型可能存在問(wèn)題。當(dāng)比值過(guò)高時(shí)，求解可能中途退出。 模型尺寸和求解統(tǒng)計(jì)信息。 匯總文件和大小。有必要注意： 往往是求解輸入的模型不完整或存在錯(cuò)誤，典型原因有: 約束不夠! (通常出現(xiàn)的問(wèn)題)。 當(dāng)模型中有非線性單元 (如縫隙 gaps、滑塊sliders、鉸hinges、索cables等

36、），整體或部分結(jié)構(gòu)出現(xiàn)崩潰或“松脫”。 材料性質(zhì)參數(shù)有負(fù)值, 如密度或瞬態(tài)熱分析時(shí)的比熱值。 未約束鉸接結(jié)構(gòu)，如兩個(gè)水平運(yùn)動(dòng)的梁?jiǎn)卧谪Q直方向沒(méi)有約束。 屈曲 - 當(dāng)應(yīng)力剛化效應(yīng)為負(fù)（壓）時(shí)，在載荷作用下整個(gè)結(jié)構(gòu)剛度弱化。如果剛度減小到零或更小時(shí)，求解存在奇異性，因?yàn)檎麄€(gè)結(jié)構(gòu)已發(fā)生屈曲。4.沒(méi)有獲得結(jié)果的原因是什么沒(méi)有獲得結(jié)果的原因是什么?5.應(yīng)力奇異應(yīng)力奇異應(yīng)力奇異 是有限元模型中由于幾何構(gòu)造或載荷引起彈性理是有限元模型中由于幾何構(gòu)造或載荷引起彈性理論計(jì)算應(yīng)力值無(wú)限大。即使是奇異點(diǎn)，材料的非線性特性論計(jì)算應(yīng)力值無(wú)限大。即使是奇異點(diǎn)，材料的非線性特性不可能允許應(yīng)力值出現(xiàn)無(wú)限增大情況，在理論上總

37、體應(yīng)變不可能允許應(yīng)力值出現(xiàn)無(wú)限增大情況，在理論上總體應(yīng)變也是有限的（許多設(shè)計(jì)準(zhǔn)則都是根據(jù)應(yīng)力制訂的，例如設(shè)也是有限的（許多設(shè)計(jì)準(zhǔn)則都是根據(jù)應(yīng)力制訂的，例如設(shè)計(jì)疲勞曲線，但實(shí)際上是基于應(yīng)變制訂的）。計(jì)疲勞曲線，但實(shí)際上是基于應(yīng)變制訂的）。在應(yīng)力奇異處在應(yīng)力奇異處:.單元網(wǎng)格越是細(xì)化，越引起計(jì)算應(yīng)力無(wú)限增加，并且單元網(wǎng)格越是細(xì)化，越引起計(jì)算應(yīng)力無(wú)限增加，并且不再收斂。不再收斂。.網(wǎng)格疏密不均勻時(shí)網(wǎng)格離散誤差也大小不一（自適應(yīng)網(wǎng)格疏密不均勻時(shí)網(wǎng)格離散誤差也大小不一（自適應(yīng)網(wǎng)格劃分結(jié)果是失敗的或者網(wǎng)格錯(cuò)誤）。網(wǎng)格劃分結(jié)果是失敗的或者網(wǎng)格錯(cuò)誤）。*6.結(jié)果后處理結(jié)果的繪圖和列表ANSYS 有兩個(gè)后處理器

38、有兩個(gè)后處理器: 通用后處理器通用后處理器 (即即 “POST1”) 只能觀看整個(gè)模型在某只能觀看整個(gè)模型在某一時(shí)刻的結(jié)果一時(shí)刻的結(jié)果 (如：結(jié)果的照相如：結(jié)果的照相 “snapshot”). 時(shí)間歷程后處理器時(shí)間歷程后處理器 (即即 “POST26”) 可觀看模型在不可觀看模型在不同時(shí)間的結(jié)果。同時(shí)間的結(jié)果。 但此后處理器只能用于處理瞬態(tài)和但此后處理器只能用于處理瞬態(tài)和/或動(dòng)力分析結(jié)果。或動(dòng)力分析結(jié)果。7.誤差估計(jì) ANSYS 對(duì)平均應(yīng)力和非平均應(yīng)力采用幾種不同的誤差計(jì)算方法，誤差估計(jì)只在進(jìn)入后處理前PowerGraphics 被關(guān)閉的情況下進(jìn)行。 (如果進(jìn)入后處理后關(guān)閉 PowerGrap

39、hics則ANSYS將重新計(jì)算誤差因子。) 關(guān)閉關(guān)閉 PowerGraphics，應(yīng)力等值線圖可顯示應(yīng)力分布和最大最小值，應(yīng)力等值線圖可顯示應(yīng)力分布和最大最小值范圍，這可表明誤差的大小。范圍，這可表明誤差的大小。通過(guò)畫(huà)出結(jié)構(gòu)誤差的等值線圖，可顯示誤差較大的區(qū)域通過(guò)畫(huà)出結(jié)構(gòu)誤差的等值線圖，可顯示誤差較大的區(qū)域 - 這些區(qū)域這些區(qū)域需要網(wǎng)格加密。需要網(wǎng)格加密。畫(huà)出所有單元的應(yīng)力偏差圖，可給出每個(gè)單元的應(yīng)力誤差值。畫(huà)出所有單元的應(yīng)力偏差圖，可給出每個(gè)單元的應(yīng)力誤差值。 (平均平均應(yīng)力和非平均應(yīng)力不同應(yīng)力和非平均應(yīng)力不同)8.結(jié)果驗(yàn)證 驗(yàn)證分析的結(jié)果，在任何有限元分析中無(wú)疑是最為重要驗(yàn)證分析的結(jié)果，在

40、任何有限元分析中無(wú)疑是最為重要的步驟的步驟. 在開(kāi)始任何分析以前，應(yīng)該至少對(duì)分析的結(jié)果有粗略的在開(kāi)始任何分析以前，應(yīng)該至少對(duì)分析的結(jié)果有粗略的估計(jì)（來(lái)自經(jīng)驗(yàn)、試驗(yàn)、標(biāo)準(zhǔn)等）估計(jì)（來(lái)自經(jīng)驗(yàn)、試驗(yàn)、標(biāo)準(zhǔn)等）. 如果結(jié)果與預(yù)期的不一樣，應(yīng)該研究差別的原因如果結(jié)果與預(yù)期的不一樣，應(yīng)該研究差別的原因.9.識(shí)別無(wú)效的結(jié)果認(rèn)識(shí)分析的對(duì)象的一些基本行為: 重力方向總是豎直向下的； 離心力總是沿徑向向外的； 物體受熱一般要膨脹； 沒(méi)有一種材料能抵抗 1,000,000 N 的應(yīng)力； 軸對(duì)稱的物體幾乎沒(méi)有為零的環(huán)向應(yīng)力； 彎曲載荷造成的應(yīng)力使一側(cè)受壓，另一側(cè)受拉；如果只有一個(gè)載荷施加在結(jié)構(gòu)上，檢驗(yàn)結(jié)果比較容易. 如果有多個(gè)載荷，可單獨(dú)施加一個(gè)或幾個(gè)載荷分別檢驗(yàn)，然后施加所有載荷檢驗(yàn)分析結(jié)果.10.調(diào)試可疑的分析結(jié)果尋找到底是什么導(dǎo)致分析結(jié)果與預(yù)期的不一樣尋找到底是什么導(dǎo)致分析結(jié)果與預(yù)期的不一樣.1. 找到一個(gè)類似的問(wèn)題及其分析結(jié)果