2021年考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析

1、2021 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、選擇題： 18 小題，每題4 分，共 32 分。以下每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上。(1) 設(shè)函數(shù)( )f x在,內(nèi)持續(xù)， 其中二階導(dǎo)數(shù)( )fx的圖形如以下圖，那么曲線( )yf x的拐點的個數(shù)為 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】C【解析】拐點出此刻二階導(dǎo)數(shù)等于0，或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點，而且在這點的左右雙側(cè)二階導(dǎo)函數(shù)異號。因此，由( )fx的圖形可得，曲線( )yf x存在兩個拐點. 應(yīng)選 C.(2) 設(shè)211()23xxyexe是二階常系數(shù)非齊次線性微分

2、方程xyaybyce的一個特解，那么( )(A) 3,2,1abc(B) 3,2,1abc(C) 3,2,1abc(D) 3,2,1abc【答案】A【分析】 此題考察二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的反問題解來確信微分方程的系數(shù)，此類題有兩種解法，一種是將特解代入原方程，然后比擬等式兩邊的系數(shù)可得待估系數(shù)值，另一種是依照二階線性微分方程解的性質(zhì)和構(gòu)造來求解，也確實是下面演示的解法.【解析】由題意可知，212xe、13xe為二階常系數(shù)齊次微分方程0yayby的解，因此2,1 為特點方程20rarb的根，從而(1 2)3a，1 22b，從而原方程變成32xyyyce，再將特解xyxe代入得1c.應(yīng)選

3、A(3) 假設(shè)級數(shù)1nna條件收斂，那么3x與3x依次為冪級數(shù)1(1)nnnnax的( )(A) 收斂點，收斂點(B) 收斂點，發(fā)散點(C) 發(fā)散點，收斂點(D) 發(fā)散點，發(fā)散點【答案】B【分析】此題考察冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間，冪級數(shù)的性質(zhì)。【解析】 因為1nna條件收斂， 即2x為冪級數(shù)1(1)nnnax的條件收斂點， 因此1(1)nnnax的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為(0,2)。而冪級數(shù)逐項求導(dǎo)不改變收斂區(qū)間，故1(1)nnnnax的收斂區(qū)間仍是(0, 2)。 因此3x與3x依次為冪級數(shù)1(1)nnnnax的收斂點， 發(fā)散點 .應(yīng)選 B 。(4) 設(shè)D是第一象限由曲線21xy，41xy與直

4、線yx，3yx圍成的平面區(qū)域，函數(shù),fx y在D上持續(xù)，那么,Dfx y dxdy( )(A) 13sin 2142sin 2cos , sindfrrrdr(B)1sin 23142sin 2cos , sindfrrrdr(C) 13sin2142sin 2cos , sindfrrdr(D) 1sin 23142sin2cos , sindfrrdr【答案】B【分析】此題考察將二重積分化成極坐標(biāo)系下的累次積分【解析】先畫出D 的圖形，因此( ,)Df x y dxdy1sin 23142sin2( cos , sin)df rrrdr，應(yīng)選 B(5) 設(shè)矩陣21111214Aaa，21b

5、dd， 假設(shè)集合1,2， 那么線性方程組Axb有無窮多解的充分必要條件為( )(A) ,ad(B) ,ad(C) ,ad(D) ,ad【答案】 D【解析】2211111111( , )1201111400(1)(2)(1)(2)A badadadaadd，由()( , )3r Ar A b，故1a或2a，同時1d或2d。應(yīng)選 D(6)設(shè)二次型123,fx xx在正交變換為xPy下的標(biāo)準(zhǔn)形為2221232yyy，其中123,Pe e e，假設(shè)132,Qee e，那么123,fx xx在正交變換xQy下的標(biāo)準(zhǔn)形為( )(A) 2221232yyy(B) 2221232yyy(C) 2221232y

6、yy(D) 2221232yyy【答案】 (A)【解析】由xPy，故222123()2TTTfx AxyP AP yyyy.且200010001TP AP.100001010QPPC200()010001TTTQ AQCP AP C因此222123()2TTTfx AxyQ AQ yyyy。選 A(7) 假設(shè) A,B 為任意兩個隨機事件，那么( )(A) P ABP A P B(B) P ABP A P B(C) ( )( )()2P AP BP AB(D) 2P A P BP AB【答案】 (C)【解析】由于,ABA ABB， 按概率的大體性質(zhì)， 咱們有()()P ABP A且()()P A

7、BP B，從而()()()2P AP BP AB，選 (C) .(8)設(shè)隨機變量,X Y不相關(guān)，且2,1,3EXEYDX，那么2EXXY( )(A) 3(B) 3(C) 5(D) 5【答案】 (D)【解析】22(2)(2)()()2()E X XYE XXYXE XE XYE X2()()()( )2()D XEXE XE YE X2322 1225，選 (D) .二、填空題：914 小題 ,每題 4 分,共 24 分.請將答案寫在答題紙指定位置上 .(9) 20ln coslim_.xxx【答案】12【分析】此題考察00型未定式極限，可直接用洛必達(dá)法那么，也能夠用等價無窮小替換.【解析】方式

8、一：2000sinln(cos )tan1coslimlimlim.222xxxxxxxxxx羅比達(dá)法那么方式二：2222200001ln(cos )ln(1cos1)cos112limlimlimlim.2xxxxxxxxxxxx等價無窮小替換(10) 22sin()d_.1cosxxxx【答案】24【分析】此題考察定積分的計算，需要用奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的性質(zhì)化簡. 【解析】22202sin2.1cos4xx dxxdxx(11)假設(shè)函數(shù)( ,)zz x y由方程 ?+ ?+ ? + ?= 2確信，那么(0,1)d_.z【答案】dx【分析】此題考察隱函數(shù)求導(dǎo).【解析】令( , , )cos

9、2zF x y zexyzxx，那么( , , )1sin ,( , , )zxyzFx y zyzx Fxz Fx y zexy又當(dāng)0,1xy時1ze，即0z.因此(0,1)(0,1)(0,1,0)(0,1,0)1,0(0,1,0)(0,1,0)yxzzFFzzxFyF，因此(0,1).dzdx(12)設(shè)是由平面1xyz與三個坐標(biāo)平面所圍成的空間區(qū)域，那么(23 )_.xyz dxdydz【答案】14【分析】此題考察三重積分的計算，可直接計算，也能夠利用輪換對稱性化簡后再計算.【解析】由輪換對稱性，得10(23 )66zDxyz dxdydzzdxdydzzdzdxdy，其中zD為平面zz截

10、空間區(qū)域所得的截面，其面積為21(1)2z.因此112320011(23 )66(1)3(2).24xyz dxdydzzdxdydzzzdzzzz dz(13)n階行列式20021202_.00220012【答案】122n【解析】按第一行展開得1111200212022( 1)2( 1)2200220012nnnnnDDD221222(22)2222222nnnnDD122n(14)設(shè)二維隨機變量( , )x y服從正態(tài)散布(1,0;1,1,0)N，那么0_.P XYY【答案】12【解析】由題設(shè)知，(1,1),(0,1)XNYN，而且XY、彼此獨立，從而0(1)010,010,0P XYYP

11、XYP XYP XY111111 01 022222P XP YP XP Y.三、解答題：1523 小題 ,共 94 分 .請將解答寫在答題紙指定位置上 .解許諾寫出文字說明、證明進(jìn)程或演算步驟.(15)( 此題總分值10 分) 設(shè)函數(shù)ln(1)sinfxxaxbxx，3( )g xkx，假設(shè)fx與gx在0 x是等價無窮小，求, ,a b k的值 .【答案】,.abk11123【解析】法一：原式30ln 1sinlim1xxaxbxxkx泰勒展開法2333330236lim1xxxxxa xo xbx xo xkx2343301236lim1xaaba xbxxxo xkx即10,0,123a

12、aabk111,23abk(16)(此題總分值10 分) 設(shè)函數(shù)fx在概念域I 上的導(dǎo)數(shù)大于零，假設(shè)對任意的0 xI，由線=y fx在點00,x f x處的切線與直線0 xx及x軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且02f，求fx的表達(dá)式 .【答案】f xx8( )4.【解析】設(shè)fx在點00,xfx處的切線方程為：000,yfxfxxx令0y，取得000fxxxfx，故由題意，00142fxxx，即000142fxfxfx，能夠轉(zhuǎn)化為一階微分方程，即28yy，?=8?2，兩邊同時積分可得x = -8?+ ? ，將 f( 0) = 2，代入上式可得c = 4即84fxx.(17)(此題總分值10 分)函數(shù)

13、,fx yxyxy，曲線 C：223xyxy，求,fxy在曲線 C上的最大方向?qū)?shù). 【答案】 3【解析】因為,fx y沿著梯度的方向的方向?qū)?shù)最大，且最大值為梯度的模.,1,1xyfx yy fx yx，故,1,1gradfx yyx，模為2211yx，此題目轉(zhuǎn)化為對函數(shù)22,11g x yyx在約束條件22:3Cxyxy下的最大值 .即為條件極值問題.為了計算簡單， 能夠轉(zhuǎn)化為對22( , )11d x yyx在約束條件22:3C xyxy下的最大值 .構(gòu)造函數(shù)：2222, ,113F x yyxxyxy222 1202 12030 xyFxxyFyyxFxyxy，取得12341,1 ,1

14、, 1 ,2, 1 ,1,2MMMM.12348,0,9,9d Md Md Md M因此最大值為93.(18)(此題總分值10 分 )I設(shè)函數(shù)( )( )u x ,v x可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)概念證明u x v xu x v xu x v x ()()()()() ()II 設(shè)函數(shù)( )( )( )12nux ,ux , ux可導(dǎo)，nf xux u xux12()() ()( )，寫出()f x的求導(dǎo)公式.【解析】I0() ()( ) ( ) ( ) ( )limhu xh v xhu x v xu x v xh0() ()() ( )() ( )( ) ( )limhu xh v xhu xh v

15、xu xh v xu x v xh00()( )()( )lim()lim( )hhv xhv xu xhu xu xhv xhh( )( )( ) ( )u x v xu x v xII 由題意得12( )( )( )( )nfxu x uxux121212( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnux uxuxux uxuxux uxux(19)(此題總分值10 分) 曲線 L 的方程為222,zxyzx起點為0,2,0A，終點為0,2,0B，計算曲線積分2222dd()dLIyzxzxyyxyz.【答案】22【解析】由題意假設(shè)參數(shù)方程cos2sincosxyz，:222

16、22 ( 2sincos )sin2sincos(1 sin)sind22222sinsincos(1 sin)sind22022 2sind2(20) ( 此題滿 11 分 ) 設(shè)向量組1,23, 內(nèi)3R的一個基，113=2+2k，22=2，313=+1k .I證明向量組123為3R的一個基 ;II 當(dāng) k 為何值時， 存在非 0 向量在基1,23, 與基123下的坐標(biāo)一樣，并求所有的.【答案】【解析】 (I)證明：12313213123,2+2,2,+1201,020201kkkk2012102024021201kkkk故123, 為3R的一個基 .II 由題意知，112233112233

17、,0kkkkkk即1112223330,0,1,2,3ikkkki11312223133113223132+22+10+2+0kkkkkkkkkk有非零解即13213+2,+0kk即101010020kk，得 k=0 11223121300,0kkkkkk11131,0kkk(21) ( 此題總分值11 分) 設(shè)矩陣02313312aA相似于矩陣12000031bB =. (I)求,a b的值；II 求可逆矩陣P，使1PAP為對角矩陣 . .【解析】 (I) AB ，可得 a + 3 = b + 20231201330012031ABba14235abaabb(II) 023100123133

18、010123123001123AEC123112311231231CC的特點值1230,40時(0)0EC x的根底解系為12(2,1,0) ;( 3,0,1)TT5時(4)0EC x的根底解系為3( 1, 1,1)TA 的特點值1:1,1,5AC令123231(,)101011P，1115PAP(22) ( 此題總分值11 分) 設(shè)隨機變量X的概率密度為2ln 2,0,0,0.xxfxx對 X 進(jìn)展獨立重復(fù)的觀測,直到 2 個大于 3的觀測值顯現(xiàn)的停頓.記 Y 為觀測次數(shù)。(I) 求 Y 的概率散布；(II)求 EY【解析】 (I) 記 p 為觀測值大于3 的概率，那么313228()lnxpP Xdx，從而Y的概率散布為：12221171188nnnP YnCpppn()()() ( )，2 3, ,n(II)：E(Y) = ? ? ( ?= ? )?=2= ?(?-1) ?(18)2?(78)?-2?=2=164 ?(?- 1) ?(78)?-2?=2令：S ( x) = ?(?- 1) ?-2?=2 -1 ? 1S(x) = ? ?(?- 1) ?-2?=2= ( ?=2)= (?21 -?)= (-1-? +11 -?)=2(1 - ?)3因此： E( Y) =16