蘭州大學(xué)2005年數(shù)學(xué)分析考研試題及解答(2)

1、蘭州大學(xué)2005 年數(shù)學(xué)分析考研試題及解答一、判定題1 設(shè)數(shù)列數(shù)nx知足：對任意正整數(shù)p，0)(limnpnnxx，那么nx收斂。解 錯(cuò)。例如：對11knkx，對任意正整數(shù)p，就有0)1.11(lim)(limpnnxxnnpnn，但nx發(fā)散。2 設(shè))(xf在,ba上 Riemann 可積，那么)(xf在,ba上必然有原函數(shù)。解 錯(cuò)。例如：01, 110 , 1)(xxxf，顯然)(xf在 1 ,1上可積，但不存在)(xF在1 , 1上可導(dǎo)，且)()(xfxF， 1 , 1x，的函數(shù))(xF，即)(xf在1 , 1上不存在原函數(shù)。3 設(shè))(xf在區(qū)間,ba上處處可導(dǎo)，那么)(xf在,ba上必然

2、 Riemann 可積。解 錯(cuò)。例如：0, 010 ,1sin)(22xxxxxf，顯然)(xf在 1 , 0上持續(xù)，)(xf在 1 ,0上可積，)(xf在 1 ,0上處處可導(dǎo)，0, 010 ,1cos21sin2)(22xxxxxxxf，但)(xf在1 ,0上無界，)(xf在1 ,0上不可積。4 假設(shè)二元函數(shù)),(yxf在),(00yx點(diǎn)可微，那么),(yxf在),(00yx點(diǎn)的所有方向?qū)?shù)都存在。解 正確。已有的定理結(jié)論。5 設(shè)積分adxxf)(收斂，)(xg是),a上的單調(diào)有界函數(shù)，那么adxxgxf)()(收斂。解 正確。這確實(shí)是聞名的Abel 判別法。二 計(jì)算題。1 求nknknnk

3、12lim。解 由nknknkknnknnkknnn121212111，2)1(112)1(212122nnnnknnknnnnnk，及夾逼定理，知21lim12nknknnk。2 求10ln xdx。解101)ln(ln10 xxxxdx。3 求級(jí)數(shù)1212)1(nnnxnn的收斂域與和函數(shù)。解 記nnnxnnxu212)1()(，那么21)()(limxxuxunnn，)0(x，當(dāng)1x時(shí) ，原級(jí)數(shù)絕對收斂；當(dāng)1x時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)1x時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。因此該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1 , 1(，121212)()(212) 1(nnnnnnnnxxxnn0022212nxndttxx2002212

4、xnndttxx20221112xdttxx)1ln(12222xxx，) 1( x4 級(jí)數(shù)積分CyxydxxdyI2243，其中C為橢圓13222yx沿逆時(shí)針方向。解222243),(,43),(yxxyxQyxyyxP，yPxQ，)0,0(),(yx取0任意小，22243:yxC，那么CyxydxxdyI2243Cyxydxxdy2243Cydxxdy2122243221yxdxdy432123。5 求zdxdyydzdxxdydz， 其中是yoz平面中的曲線2zy線繞y軸所生成的旋轉(zhuǎn)曲面在10y的部份的外側(cè)。解1:),(22yzxzyx，1, 1:),(221yzxzyx，由高斯公式，得

5、)( )(11zdxdyydzdxxdydzzdxdyydzdxxdydz1223zxdzdxdxdydz102)(3dyy21321。3 表達(dá)函數(shù)列)(xfn在I上不一致收斂到)(xf的分析概念，并用概念證明nnxxf)(在1 ,0上不一致收斂。解函數(shù)列)(xfn在I上不一致收斂到)(xf的分析概念：存在00，對任意正整數(shù)N，存在,NNnnN xI,使得0)()(NNNnnnxfxf，nnxxf)(在1 ,0上不一致收斂。事實(shí)上，1, 110, 0)(lim)(xxxfxfnn，而1)11()11()11(ennfnfnn，因此nnxxf)(在1 ,0上不一致收斂。4 設(shè))(xf在),a上一

6、致持續(xù)，)(x在),a上持續(xù)，且0)()(limxxfn。證明：)(x在),a上一致持續(xù)。證明令)()()(xxfxF，那么)(xF在),a上持續(xù)， 又)(limxFx存在， 因此)(xF在),a上一致持續(xù)，故)()()(xFxfx在),a上一致持續(xù)。5 設(shè)平面3zyx截三軸于CBA,三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，),(zyxP是三角形ABC上一點(diǎn)，以O(shè)P為對角線，三坐標(biāo)平面為三面作一長方體，試求其最大體積。解 以O(shè)P為對角線，三坐標(biāo)平面為三面的長方體體積133333zyxxyzV，其中等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)1zyx，1最大V。6 設(shè))(xf是閉區(qū)間,ba上的持續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，記0)(:,)0(1xfbaxf，假

7、設(shè),)0(1f且對)0(1fx，成立0)(xf，證明： 1)0(1f是有限集； 2)0(1f中使0)(xf的點(diǎn)的個(gè)數(shù)與0)(xf的點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多相差1，即成立1)(sgn)0(1fxxf。證明1斷言對)0(1fx，存在0 x，使得,bayxxy0時(shí)，0)(yf，事實(shí)上，由0)(xf，知，存在0 x，使得,),(baxUx時(shí)，有0)(f，而0)()()()(xyfxfyfyfyx，)0(1f是有界閉集，有界是必然的。因?yàn)?)0(1baf，閉性亦顯然，因?yàn)閷?0(1fx，存在)0(1fxn，xxnnlim，0)(nxf，0)(lim)(nnxfxf，于是有)0(1fx，上述的開集族),(xxU就覆蓋

8、了有界閉集)0(1f。依 照 有 限 覆 蓋 定 理 ， 存 在 有 限 個(gè) 開 集),.,2,1(),(mixUixi， 使 得),()0(11iximixUf，而),()0()0(111iimixUff1imix；2 不妨 設(shè) 1 中 構(gòu)造 的ix單 增， 即mxxx.21， 斷 言1,.,2 ,1,0)()(1mixfxfii，事實(shí)上，不妨設(shè)0)(ixf，那么因)(xf在),(1iixx內(nèi)無零點(diǎn)，而0)(xf，任意),(1iixxx， 不然，由持續(xù)函數(shù)介值定理，即導(dǎo)出矛盾。明顯的，0)()(lim)()(11111iixxiixxxfxfxfxfi， 又0)(1ixf， 因此0)(1ixf。如此，咱們從第一個(gè)零點(diǎn)開場討論，明白)(sgnixf是交替等于1 或-1 的，故1)(sgn)0(1fxxf。7解常微分方程2()0ydxx yx dy；函數(shù)( )y x二次可導(dǎo)，且知足20( )() ( )xxy xext y t dt，求( )y x。解 1由2()0ydxx yx dy，2xdyydxx ydy，2xdyydxydyx，22yyddx，于是22yycx，212yxycx，2由200( )( )( )xxxy xexy t dtty t dt，得20( )2( )xxy xey t dt，(0)1y，(0)2y，2( )4( )xyxey x，2( )( )4xyx