04第四章 期權定價理論.課件電子教案教學教程

1、第四章第四章 期權定價理論期權定價理論因其推導過程極其復雜，有人將Black和Shcoles推導的期權定價公式（B-S模型）稱為“火箭技術”；而在該公式發(fā)表時，世界上首家期權交易所芝加哥期權交易所尚未成立，在某種意義上，正是因為理論研究的成熟推動了金融衍生工具的革命。期權在復合各種形態(tài)的資產(chǎn)收益時有很高的靈活性，B-S模型的應用范圍早已超越了期權定價本身，幾乎所有形式的金融衍生證券及公司債務，都可以用B-S模型及其變形進行估價。第一節(jié)第一節(jié) 期權定價理論概述期權定價理論概述一、期權的概念和分類1、期權的概念2、期權的分類（1）根據(jù)期權持有者購入或出售標的資產(chǎn)的權利劃分，可以分為看漲期權和看跌期

2、權（2）根據(jù)期權到期日不同可以分為歐式期權和美式期權（3）根據(jù)標的物的不同，期權可以分為實物期權、股票期權、指數(shù)期權、外匯期權、期貨期權等，其中股票期權是目前在場內(nèi)交易規(guī)模和種類最多的一類期權。（4）按照期權的內(nèi)在價值劃分，可以分為實值期權、虛值期權、平價期權二、期權定價理論發(fā)展過程三、主要代表人物簡介第二節(jié)第二節(jié) B-S B-S期權定價模型期權定價模型一、Black-Scholes 期權定價模型的假設條件二、布朗運動在股票期權定價的研究中，布朗運動經(jīng)常被用來描述股票的價格運動過程。布朗運動最初是由英國生物學家Brown于1827年研究花粉粒子在液體表面做“無規(guī)則運動”的物理現(xiàn)象時提出的。布朗

3、運動是一種具有連續(xù)狀態(tài)空間和連續(xù)時間參數(shù)的一個隨機過程，具體定義如下：若一個隨機過程S(t) , t 0滿足：（1）S(t) 是獨立增量過程；（2）存在s，t 0，S(s+t)-X(s)N(0，c2t)即S(s+t)S(s)是期望為0，方差為c2t 的正態(tài)分布；（3）S(t) 是關于t 的連續(xù)函數(shù)。則稱S(t) , t 0是布朗運動或維納過程，記為B(t) ，當c = 1時稱其為標準布朗運動，記為W(t) 。若隨機過程S(t) , t 0滿足：S (t) =eB(t) ，則稱過程S(t) , t 0為幾何布朗運動，其中B(t) 為布朗運動。若隨機過程S(t) , t 0滿足：S (t) =t+

4、dB(t)， 為常數(shù)， B(t) 為布朗運動，稱過程S(t) , t 0為帶有漂移的布朗運動， 為漂移系數(shù)。將其寫成微分形式，可得：dS (t) = d t + dB(t)將其進行推廣如下：dS (t) = dt + dB(t)其中 為擴散系數(shù)。當 與 不為常數(shù)，而是時間t 與S (t) 的函數(shù)時，可得更加一般情況下的隨機微分方程：dS (t) =(t, S (t)dt+ (t, S (t)dB (t)此隨機微分方程正是用于描述股票價格變化的一類隨機方程，稱之為伊藤過程。股票價格的運動過程用隨機微分方程表示如下：設S(t) 表示股票在t 時刻的價格，則S(t+ t)S(t)為t 時間內(nèi)股票價格

5、的變化量；dS(t)表示股票價格X (t) 在t 時刻的微分，即股票價格瞬時的變化量，具體表示如下：當t0時，dS(t) =limS(t+ t)- S(t) 。在t 時間內(nèi)股票的收益率可以下式表達：)()()()(tWttWttSttS)()()(tdWdttStdSdS(t) = S(t)dt + S (t)dzdS(t) = S(t)dt + S (t)dz三、B-S微分方程假設股票價格S遵循一般的維納過程:S=St+Sz dS = Sdt + S dz 假設f是依賴于S的衍生證券的價格。變量f一定是S和t的某一函數(shù)，因此由伊藤定理可得： 式4.1、4.2的離散形式為 S=St+Sz Sd

6、zSfdtSsftfSSfdf)21(2222選擇某種股票和衍生證券的證券組合就可以消除維納過程恰當?shù)淖C券組合應該是： -1： 衍生證券 股票zSSftSsftfSSff)21(2222SfSSffSSfftSsftf)21(2222=r=rt t tSSffrtSsftf)()21(2222rfSsfSfrStf222221四、B-S定價公式在風險中性世界里，歐式看漲期權到期日的期望價值為：Emax(ST一X，0),則歐式看漲期權的價格C為：C=eC=e-r(T-t)-r(T-t)Emax(SEmax(ST T一一X X，0) 0) tTtTrS),)(2(ln2C=SN(d1)-Xe-r(

7、T-t)N(d2) 4.11 tTtTrXSd)(2/()/ln(21tTdtTtTrXSd122)(2/()/ln(五、風險中性定價 公式4.11有一個關鍵的性質(zhì)，即方程中不包含任何受投資者風險偏好影響的因素，出現(xiàn)在方程中的變量為股票當前價格、時間、股票價格方差和無風險利率，這些變量均獨立于風險偏好。 因為若B-S方程中不存在風險偏好，則在對衍生工具進行定價時，可以采用任何一種偏好類型，進一步而言，可以假設所有投資者都是風險中性的。在一個所有投資者都是風險中性的世界中，所有證券的預期收益率均可視為無風險利率r，因為風險中性的投資者并不要求對其所承擔的風險予以補償；且其期望值是用無風險利率貼現(xiàn)

8、可獲得的任何現(xiàn)金流的現(xiàn)值。所以，風險中性的假設在很大程度上簡化了衍生證券的價格分析過程。式4.11可變形為：C= e-r(T-t)SN(d1)er(T-t)-XN(d2)N(d2)表示在風險中性世界中期權執(zhí)行的概率，所以XN(d2)是執(zhí)行價格乘以支付執(zhí)行價格的概率。SN(d1)er(T-t)是如下變量的期望值：即在風險中性世界中，當STX時，該變量為ST，其他情況下該變量均為0。這說明了B-S定價公式中各項目的含義，并說明其與風險中性估值一致。第三節(jié)第三節(jié) 二叉樹定價方法二叉樹定價方法一、二叉樹模型的假設二、單期二叉樹模型股票期初價格為S，歐式買權的初始價格為C；在第一期結束時，當股票價格上漲

9、至Su時，歐式買權價格上漲至Cu；當股票價格下跌至Sd時，歐式買權的價格下跌為Cd，如圖4-1所示。圖圖4-1 4-1 單期二叉樹中的股票價格和衍生證券價格單期二叉樹中的股票價格和衍生證券價格歐式買權到期(第一期期末)的價值為：Cu=max(0，Su一X)Cd=max(0，Sd一X)在S、u、d、x已知的情況下，就可以計算出Cu、Cd。構建一個投資組合，包含H股的股票多頭及一個衍生證券空頭。H是為了構造一個無風險對沖，對每一個賣空的期權頭寸投資者所應持有的股票數(shù)目，該數(shù)據(jù)隨時間變化，這意味著利用期權和標的股票來保持一個無風險對沖時，需要定期調(diào)整所持有的股票數(shù)量。投資組合在期初0時價值為：HS一

10、C；當股價上漲到Su時，一期后，即t時組合價值為：HSu一Cu；當股價下跌到Sd時，一期后，即t時組合價值為：HSd一Cd;依據(jù)無風險套利原則，當該組合無風險時，即到期時無論股價如何變動，投資組合的價值不變，則有HSu一Cu= HSd一Cd，可以推出4.12duduSSCCH以r表示無風險利率，則必存在式4.13：將式4.12帶入式4.13得到4.14:CHSeCHStruu)()1 (dutrCppCeCdudeptr三、N期二叉樹模型當期權的有效期為Nt（N2）時，歐式買權的二叉樹模型的定價公式為：NiNiiNNiirXdSuppiNiNC)1 (, 0max)1 ()!( !0圖圖4- 2 N4- 2 N期二叉樹中的股票價格和衍生證券價格期二叉樹中的股票價格和衍生證券價格四、風險中性估值四、風險中性估值在推導公式4.14時，并未對股票價格上升和下降的概率做出任何假設，但是會很自然地將該公式中的p理解為股票價格上升的概率，于是1-p則為股票價格下降的概率。進而，可看做是衍生證券的預期收益。依照這種對p的理解，公式4.14可以表達為：當前衍生證券的價值是其未來預期值，以無風險率貼現(xiàn)的值。當股票價格上升的概率為p時，在時刻T股票的預期價格S