千題百煉——高考數(shù)學(xué)100個熱點問題(二)：第37煉-向量的數(shù)量積——坐標(biāo)化解決向量問題(共9頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第37煉 向量的數(shù)量積坐標(biāo)法 在處理向量數(shù)量積問題時，若幾何圖形特殊（如正方形，等邊三角形等），易于建系并寫出點的坐標(biāo)，則考慮將向量坐標(biāo)化，一旦所求向量用坐標(biāo)表示，其數(shù)量積等問題迎刃而解。一、基礎(chǔ)知識1、向量的坐標(biāo)表示（1）平面向量基本定理：在平面中，如果兩個向量不共線，則對于平面上的任一向量，存在，使得，且這種表示唯一。其中稱為平面向量的一組基底，而有序?qū)崝?shù)對稱為在基底下的坐標(biāo)（2）為了讓向量能夠放置在平面直角坐標(biāo)系中，我們要選擇一組特殊的基底，在方向上它們分別與軸的正方向同向，在長度上，由平面向量基本定理可得：平面上任一向量，均有，其坐標(biāo)為，從圖上可觀察到恰好是將

2、向量起點與坐標(biāo)原點重合時，終點的坐標(biāo)（3）已知平面上的兩點坐標(biāo)，也可求得以它們?yōu)槠鸾K點的向量坐標(biāo)：設(shè)，則 （可記為“終”“起”），所以只要確定了平面上點的坐標(biāo)，則向量的坐標(biāo)自然可求。另外三個坐標(biāo)知二可求一，所以當(dāng)已知向量坐標(biāo)與其中一個點的坐標(biāo)，也可求出另一個點的坐標(biāo)2、向量的坐標(biāo)運算：設(shè)，則有：（1）加減運算： （2）數(shù)乘運算： （3）數(shù)量積運算： （4）向量的模長： 3、向量位置關(guān)系的判定：（1）平行： （2）垂直： （3）向量夾角余弦值： 4、常見的可考慮建系的圖形：關(guān)于向量問題，一旦建立坐標(biāo)系并成功寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，則問題常常迎刃而解。但難點如何甄別一道題適合使用建系的方法求解。如果你遇

3、到以下圖形，則可嘗試建系的方法，看能否把問題解決（1）具備對稱性質(zhì)的圖形：長方形，正方形，等邊三角形，圓形（2）帶有直角的圖形：直角梯形，直角三角形（3）具備特殊角度的圖形（等）二、典型例題：例1：在邊長為1的正三角形中，設(shè)，則_yx思路：上周是用合適的基底表示所求向量，從而解決問題，本周仍以此題為例，從另一個角度解題，觀察到本題圖形為等邊三角形，所以考慮利用建系解決數(shù)量積問題 ，如圖建系：下面求坐標(biāo)：令由可得： 答案：例2：（2012江蘇，9）如圖，在矩形中，點為中點，點在邊上，若，則的值是_yx思路：本題的圖型為矩形，且邊長已知，故考慮建立直角坐標(biāo)系求解，以為坐標(biāo)原點如圖建系：,設(shè),由在上

4、可得,再由解出:， ，答案：例3：如圖，平行四邊形的兩條對角線相交于，點是的中點，若，且，則_思路：本題抓住這個特殊角，可以考慮建立坐標(biāo)系，同時由，可以寫出各點坐標(biāo)，從而將所求向量坐標(biāo)化后即可求解解：以為軸，過的垂線作為軸可得： 答案： 例4：已知直角梯形中，是腰上的動點，則的最小值為_思路：本題所求模長如果從幾何意義入手，則不便于作出的圖形。所以考慮從代數(shù)方面入手，結(jié)合所給的特殊圖形可想到依直角建立坐標(biāo)系，從而將問題轉(zhuǎn)為坐標(biāo)運算求解，在建系的過程中，由于梯形的高未知，為了能夠?qū)懗鲎鴺?biāo)，可先設(shè)高為。解：以為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)梯形高為 則，設(shè)動點，則 （等號成立：）答案： 小煉有話說：本題的亮

5、點在于梯形的高未知，但為了寫坐標(biāo)先用字母代替。在使用坐標(biāo)解題時有時會遇到由于某些條件未知而導(dǎo)致坐標(biāo)無法寫出的情況。要明確沒有點的坐標(biāo)，則坐標(biāo)法無法實現(xiàn)，所以“沒有條件要創(chuàng)造條件”，先設(shè)再求，先將坐標(biāo)完善，再看所設(shè)字母能否求出，是否需要求出，這個理念在解析幾何和空間向量解立體幾何中都有所應(yīng)用例5：給定平面上四點滿足，則面積的最大值為 思路：由可計算出的夾角，則可按照這個特殊角建立坐標(biāo)系，則由可知在以為圓心，半徑的圓上。 ， 若要求 的最大值，只需找到到的最大值，數(shù)形結(jié)合可得距離的最大值為，進(jìn)而可求出的最大值。解： 即 答案：例6：如圖，在直角三角形中，點分別是的中點，點是內(nèi)及邊界上的任一點，則的

6、取值范圍是_思路：直角三角形直角邊已知，且為圖形內(nèi)動點，所求不便于用已知向量表示，所以考慮建系處理。設(shè)，從而可得，而所在范圍是一塊區(qū)域，所以聯(lián)想到用線性規(guī)劃求解解：以為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè) 數(shù)形結(jié)合可得：答案： 例7：平面向量滿足，則的最小值是_思路：本題條件中有，而可利用向量數(shù)量積的投影定義得到在上的投影分別為1,2，通過作圖可發(fā)現(xiàn)能夠以的起點為原點，所在直線為軸建立坐標(biāo)系，則起點在原點，終點分別在的直線上，從而可坐標(biāo)化，再求出的最值即可解：如圖建系可得： 由可得： 而，由輪換對稱式不妨設(shè)，則 答案： 例8：已知點為等邊三角形的中心，直線過點交邊于點，交邊于點，則的最大值為 . 思路：本題由

7、于為過的任一直線，所以的值不確定，從而不容易利用三邊向量將進(jìn)行表示，所以考慮依靠等邊三角形的特點，建立直角坐標(biāo)系，從而坐標(biāo)可解，再借助解析幾何的思想設(shè)出直線方程，與方程聯(lián)立解出坐標(biāo)，從而可解出最大值解：以為軸建立直角坐標(biāo)系 設(shè)直線 由可得： 解得： 解得： 若直線與相交，則 答案： 例9：如圖，四邊形是半徑為的圓的外切正方形，是圓的內(nèi)接正三角形，當(dāng)繞著圓心旋轉(zhuǎn)時，的取值范圍是（ ）A. B. C. D. yx思路：本題所給的圖形為正方形及其內(nèi)切圓，可考慮建立直角坐標(biāo)系，為了使坐標(biāo)易于計算，可以為坐標(biāo)原點如圖建系：，確定點的坐標(biāo)是一個難點，觀察兩個點之間的關(guān)系，無論如何轉(zhuǎn)動，如何從這個恒定的角度

8、去刻畫此圓上兩點坐標(biāo)的聯(lián)系呢：考慮圓的參數(shù)方程（參數(shù)的幾何意義為圓心角，與角度相聯(lián)系），設(shè)，從而，用的三角函數(shù)將兩點坐標(biāo)表示出來，從而可求出的范圍解：， 答案：選小煉有話說：在直角坐標(biāo)系中涉及到圓上的點，除了想到傳統(tǒng)坐標(biāo)之外，還應(yīng)想到圓的參數(shù)方程，尤其是題目中有關(guān)于圓心角的條件時（例如本題中的），可依靠參數(shù)的幾何意義將條件充分的利用起來。例10：在平面上， ，若，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 思路：以為入手點，考慮利用坐標(biāo)系求解，題目中和點坐標(biāo)均未知，為了能夠進(jìn)行坐標(biāo)運算，將其用字母表示：設(shè)，則 ，所求范圍即為求的范圍。下一步將題目的模長翻譯成關(guān)系，再尋找關(guān)于的不等關(guān)系即可解：如

9、圖以為軸建立坐標(biāo)系：設(shè)，則與聯(lián)系可得：，所以轉(zhuǎn)變?yōu)椋?，?另一方面： 同理，由可得： 綜上所述：，則答案：D小煉有話說：（1）本題涉及到的點與線段較多，所以難點一方面在于是否能夠想到建系去處理，還有一方面在于選擇哪兩條線作為坐標(biāo)軸。也許有同學(xué)會從入手，選擇為坐標(biāo)原點，這樣在以原點為圓心的單位圓上，且所求只需計算出的坐標(biāo)即可。但這種選法繼續(xù)做下去會發(fā)現(xiàn)，首先在圓上的位置不確定，坐標(biāo)不易寫出，其次無法定位，從而使得條件不便于使用。所以這種建系的方法在解題過程中障礙重重，不利于求解。而利用現(xiàn)有的垂直建系，會使得的坐標(biāo)易于表示，進(jìn)而求出坐標(biāo)，只剩一個不好表示的點，難度明顯低于前一種建系方法。（2）在坐標(biāo)系