1、傅立葉級數(shù)和傅立葉變換解析

1、傅立葉法國數(shù)學家及物理學家。 最早使用定積分符號，改進符號法則及根數(shù)判別方法。 傅立葉級數(shù)（三角級數(shù)）創(chuàng)始人。法國數(shù)學家、物理學家。1768年3月21日生于歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。9歲父母雙亡，被當?shù)亟烫檬震B(yǎng)。12歲由一主教送入地方軍事 學校讀書。17歲 （1785）回鄉(xiāng)教數(shù)學，1794到巴 黎，成為高等師范學校的首批 學員， 次年到巴黎綜合工科學校執(zhí)教。1798年隨拿破侖遠征埃及時任軍中文書 和埃及研究院秘書，1801年回國后任伊澤爾 省地方長官。1817年當選為科學院 院 士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學院終身秘書和理工科大學校務(wù) 委員會主席。主要 貢獻是在研究熱

2、的傳播時創(chuàng)立了一套數(shù)學理論。1807年向巴黎科 學院呈交 熱的傳播論文， 推導 出著名的熱傳導方程 ，并在求解該方程時 發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示， 從而提出任一函數(shù)都可以展成 三角函數(shù)的無窮級數(shù)。1822年在代表作熱的分析理論中解 決了熱在非均勻加熱的 固體 中分布傳播問題，成為分析學在物理中應(yīng)用的最早例證之一，對19世紀數(shù)學和 理論物理學的發(fā)展產(chǎn)生深遠影響。傅立葉級數(shù)（即三角級數(shù)）、傅立葉分析等理 論 均由此創(chuàng)始。 其他貢獻有： 最早使用定積分符號， 改進了代數(shù)方 程符號法則 的證法和實根個數(shù) 的判別法等。3-2 信號在正交函數(shù)集中的分解為了形象地說明信號的分解，首先我們復

3、習矢量的分解。一、矢量的分解（1）矢量的一維分解：用一個標準矢量Ai乘以一個標量&得到的新矢量Ai，去近似近似矢量 A , 并要求誤差盡可能小，應(yīng)該取多少？下圖通過幾何方法表示了Cl的確定方法。從幾何或者解析角度，都可以得到使誤差最小的系數(shù)為:A1AC1二A1A1其中的C1稱為矢量 A 和 A 的相似系數(shù)。如果C1=0（或A A1A A二0），則表明A和A A1相垂直（又稱為正交）。（2）矢量的二維分解用兩個標準矢量A Ai、A A2的線性組合ciA Aic2A A2，去近似近似矢量 A，并要求誤差盡可能小，C1、C2各應(yīng)該取多少？下圖通過幾何方法表示了 &、C2的確 定方法。

4、在上圖表示的情況下，G G、C C2的取值都同時與A1、A2有關(guān)，計算公式 可能比較復雜。如果標準向量A A1、A A2相互垂直（正交），計算就很簡 單了：1容易得到此時的系數(shù)計算公式為:A1Ac1:AiAi此時每一個系數(shù)只與其相關(guān)的標準矢量有關(guān)， 系數(shù)計算公式與一維情況下的 計算公式相似。上圖中表示的是用兩個矢量表示一個二維的矢量，誤差為零。如果用兩 個矢量表示一個二維以上的矢量，誤差就不一定等于0了。但是可以證 明，在這種系數(shù)情況下誤差最小。顯然，如果知道了標準矢量A Ai、A A2和相應(yīng)的系數(shù) G G、Q Q，就可以確定任意矢量。這實際上就是我們在平面幾何中見到的笛卡爾坐標系。（3）矢量

5、的多維分解：上面二維的情況可以推廣到任意維，可以將矢量表示成為一系列標準矢量 （基）的線性組合：nA ClA1C2A2CnAn二CiAii二顯然，如果知道了標準矢量A Ai和響應(yīng)的系數(shù)C Ci,就可以確定任意矢量。 如果矢量A Ai兩兩正交，可以證明相應(yīng)的最佳系數(shù)的計算公式為：如果標準矢量基A Ai的長度都為1，則A AiA Ai=1，上面的公式可以簡化為:Ci= AiAC21（4）標準矢量基的幾個限制條件:為了便于計算系數(shù)，實際使用的標準正交矢量集最好滿足以下幾個條件：1）歸一化：標準矢量Ai的模等于12）正交化：標準矢量兩兩正交3）完備性：可以不失真地組合出任意矢量其中歸一化和正交化是為了

6、計算系數(shù)時比較方便；而完備性則是為了保證可 以完整、沒有誤差地表示任意矢量，使這種分解更有實用性。二、信號的分解與矢量分解相似，我們也可以推導出信號分解。1、單個標準信號下的分解：在時間區(qū)間魚1）內(nèi)，用qfi（t）近似任意函數(shù)f（t），并使誤差進可能小。（這里假設(shè)所有函數(shù)都是實數(shù)函數(shù)）誤差：；(t)二f(t) Gf1(t)如何衡量函數(shù)誤差的大小?-可以采用方均誤差：1t2；二t；(t)dt t2 711取什么值的時侯何時誤差最??？或者何時系數(shù)最佳?f (t) f (t)dt G二t；f1(t) f1(t)dtt1G也稱為函數(shù)f（t）和f1（t）的相似系數(shù)。最佳系數(shù)的證明:誤差：；(t)二f(t

7、) Gfjt)方均誤差:最佳系數(shù):ti21；(t)：t2-tl1t?-ti 1-t2為了求使；2(t)最小的ci，將上式對ci求偏導并令其為零，可以得到:-t2t22 n廠2f f(t)fi(t)dt +2ci (fi(t)dt=O由此可得:f f(t)fi(t)dtTiG = -12(fi(t)fi(t)dtf (t) f|(t)dt = 0如果Ci(或ti)，則稱f(t)和fi(t)正交-這個正交的含義與矢量中的正交類似。如果f(t)和fi(t)是復函數(shù)，則方均誤差的定義應(yīng)該改為：2it22it2*孑化)=卜(t)欽t)(t)dtttitittiti相應(yīng)的最佳系數(shù)計算公式為：t2*tf(t

8、)fi(t)dtTiG =*tfi(t)fi(t)dtti2、多個標準信號下的分解：將信號表示為多個標準信號的線性組合：nf (t) “ fi(t) C2f2(t) . Cnfn(t)Cjfj(t)i Tt22r(t)dtt1f f(t) - cJi(t)dt:f2(t)dt - 2ci：f (t) fi(t)dtCi2Jf(t)dt2t2這里的同樣難以確定。但是如果標準函數(shù)fi之間兩兩正交, 證明：f f(t)fi*(t)dtLit2*fi(t)fi(t)dt則可以我們實際上在高等數(shù)學等前期課程中已經(jīng)見到過幾個這樣的標準信號集了。例如：泰勒級數(shù)使用的是：1,x,.,.?在本章中將要用到的標準

9、函數(shù)集為三角函數(shù)集：1,cost,sint,cos2t,sin 2t,., coskt,sin kt,.”3、對標準信號集的要求：與矢量分解中的情況一樣，這里對于用于分解函數(shù)的標準函數(shù)集也有以下的 要求：3）完備性：可以用其線性組合表示任意信號正交性標準函數(shù)集的首要條件。只有在這種情況下系數(shù)才可以用上 美的公式計算，而且可以保證方均誤差最小。其他兩個條件都會受 到實際應(yīng)用的限制，可能難于達到。完備正交函數(shù)集一般都包含無窮多個函數(shù)，例如： 三角函數(shù)集， 沃 爾什函數(shù)集等。但在實際應(yīng)用中不可能用無窮多個，只可能用有限個函數(shù)，只能近 似表示任意函數(shù)。函數(shù)與矢量的運算與分解有很大的相似性，很多函數(shù)分解

10、中的概念（例如正 交等）也是從矢量運算中引用過來的。這里用一個表格作比較：矢量函數(shù)加法A1+ A2f1(t)+ f2(t)標乘c A2c f1(t)乘法A1A2=A1A2cosrf1(t) f2*(t)dtt1正交A1A2= 0占*fjt) t (t)dt = 0t11）歸2）正交化:t1fi(t) fj*(t)dt =0f(t) f：(t)dt =1t2歸一A= 1t2 *f(t) f (t)dt=1t1誤差名=A1- A2哄t)= f1(tf2(t)誤差代價函數(shù)忖221t22名2(t)=- /(t)dtt tt1L2L1系數(shù)A A1c1=A1A1f2f(t)f1*(t)dtt15 一t2*

11、! f1(t)f1(t)dtt1 3 -3 信號表示為傅利葉級數(shù)傅利葉級數(shù)是最常用的一種正交函數(shù)集。它在工程中有很廣泛的用途。一、三角函數(shù)形式的傅利葉級數(shù)1、 三角正交函數(shù)集Hcos tsin 4, cos2t,sin2 4,.,cosk 4,sin2兀2兀12 =- =-其中：Tt2 _ti或?qū)⒄缓瘮?shù)集表示為：Zos(nt),s in (nt) n =0,1,2,.；可以證明該函數(shù)集滿足正交性：函數(shù)集中的函數(shù)兩兩相正交。t2cos( nt) si n(mt)dt =0t1t2f cos(nOt)cos(m0t)dt =0m式nL2f sin(nOt)sin(m0t)dt=O丫1J2、 任意

12、信號在三角函數(shù)集中的分解可以將任意函數(shù)f(t)在這個三角函數(shù)集中展開(表示成該正交函數(shù)集函數(shù) 的線性組合)：f(t)=玄ycosjt a2cos2 4 . ancosnt .dsinxt b2sin2t . bnsinn-.4 .-ho二a0 ancosni】t bnsinnn 4其中的系數(shù)可以根據(jù)前面的公式計算出:這個公式中的an的表達不太方便。為此將分解式改寫:-bef(t)二色亠 _iancos nit bns inn 4 2n二則系數(shù)為：anf(t)cos(nt)dtt2 7屯2t2bnf (t)sin( n4)dtt2 7 %通過這種分解，可以將信號可以表示成為直流信號和一系列正弦信

13、號之 和。3、任意信號在僅余弦三角函數(shù)集中的分解在原來的信號分解公式a乂f (t)0亠 一i.ancos nt bnsin nt2心中，利用三角函數(shù)公式，令K$ 22叫=-arctan二An=n +0a.則可以將上式表達成:an =2f(t)cos(nt)dttt2f (t)cos(ni】t)dt n = 0t1f cos2(n Ct) dtt1t2t2jf(t)dtt2j f (t)sin(nQt)dt1bn=t2sin2(nt)dtt1t2f (t) sin(nCt)dtt1f (t)一 AnCOS n：n2n 4它可以看成是下列正交信號集：匕os(nt)n -0,1,2,./的平移后的線

14、性組合。從系數(shù)計算公式可以看出，如果f(t)是實數(shù)信號，貝an和A是n的偶函數(shù)；bl和是n的奇函數(shù)。上面的分解等式的左右兩邊的函數(shù)是否相等，沒有誤差？或者,是否隨著n趨向于無窮大，等式右邊的函數(shù)收斂于左邊的函數(shù)？- Direchlet證明，只要滿足下面三個條件，等式就一定收斂：Cf (t) dt =1)f(t)絕對可積，即：I2)f(t)在區(qū)間內(nèi)有有限個間斷點；3)f(t)在區(qū)間內(nèi)有有限個極值點。這個條件被稱為Direchlet條件。實際信號大都滿足這個條件，所以都可以 這樣分解。這個分解等式中，等號右邊是多個周期為T的函數(shù)的和，它仍然是周期為T的函數(shù)。顯然，如果f(t)本身也是一個周期為 T

15、 的函數(shù)，則如果它可以在一個周 期內(nèi)用上面的公式分解，則它同時也可以在整個時間區(qū)間內(nèi)分解。這種分解可以用在兩個場合：1)研究任意函數(shù)在(t1,t2)區(qū)間內(nèi)的分解2)研究周期為T的函數(shù)在整個時間區(qū)間內(nèi)的分解。本課程中討論的主要是后一種情況。如果f(t)周期為T的函數(shù),為了方便討論，一般函數(shù)的主值區(qū)間取T門 22.丿在函數(shù)的分解中:a0兀稱為信號的直流分量;aiCOSF、aisin沁或A cos（t 1）稱為信號的基波分量；Kcos zt、Ksi rm川或A1cos（n4n）稱為信號的n次諧波分量;一般情況下，n無法計算到無窮大，只能取有限。這時，這種正交展開是有 誤差的。n越大，誤差越小。下面通

16、過一個實例進一步討論傅里葉級數(shù)的一些特性。例：求方波f（t）=*的傅利葉1-1十級數(shù)。0 ct2Tct cT 2/anbn.an2- bn2cos(申n)=：n2sin(n) =an *bnAn二an- jbn=2f f (t)cos(n0t)dt j2f f(t)sin(n0t)dt T JT叫f (t) Cos(rrt) - j sin(ni】t) dt f (t)eEdt兩種推導過程得到的答案應(yīng)該相同。對比兩個系數(shù)計算公式，可以得到:_ An _ Aej _an - jbncn2 2 2這個等式反映了Cn與A、n或an、bn之間的關(guān)系3-4 周期性信號的頻譜周期性函數(shù)可以在傅利葉級數(shù)中展

17、開。 如果給定了各個頻率分量的幅度 和相位，就可以確定信號。頻譜是信號的一種圖形表示方法，它將信號各個頻率分量上的系數(shù)關(guān)系 用圖形的方法表示出來。它可以說明信號的特性，而且可以給信號的變 換和處理計算帶來很多方便之處。頻譜圖有兩個組成部分：振幅頻譜：表示信號含有的各個頻率分量的幅度。 其橫坐標為頻率, 縱坐標各個對應(yīng)頻率分量的幅度。相位頻譜：表示信號含有的各個頻率分量的相位。 其橫坐標為頻率, 縱坐標各個對應(yīng)頻率分量的相位。頻譜圖有兩種形式：1、如果用正弦函數(shù)展開式形式的傅里葉級數(shù)，則相應(yīng)的表達式為：bof (t)二西、AnCOs nti：n2n則振幅為：/ 22An_,an 0相位為：二ar

18、cta n按照這種定義做出的頻譜，因為只有n（或-0）時才有意義，做出的圖只有n亠0的一邊，所以又被稱為單邊頻譜。例：周期性方波的單邊頻譜。4bn = *| n兀an =1所以:22.-4當n為偶數(shù)An =、anbn= n二0當n為奇數(shù)，廣bn -=當n為偶數(shù)屮n= _arcta n=丿2an0當n為奇數(shù)由此可以作出其頻譜圖2、如果用復數(shù)正弦函數(shù)展開式形式的傅里葉級數(shù)，則相應(yīng)的表達式為：f （t）=送CnejnnR的傅里葉級數(shù)表達式，貝U：振幅為Cn相位為an gG）。按照這種定義做出的頻譜在n大于和小于零的兩邊都有意義，做出的圖 又被稱為雙邊頻譜。當n為偶數(shù)當n為奇數(shù)由于對于實數(shù)信號而言，其

19、頻譜具有對稱性，所以一般情況下對于雙邊頻譜也只要作出門一（或-0）部分就可以了。這樣一來的頻譜與單邊 的頻譜就有些相似，但是含義不同。在頻譜形狀上，兩者的相位頻譜相 同，但是振幅頻譜的幅度大小是單邊譜的一半。單邊頻譜在物理概念上容易理解，但是雙邊頻譜對于后續(xù)的處理帶來很 大的好處在后面的內(nèi)容中，頻譜往往都是用雙邊頻譜。單邊頻譜中，對于n=（或，=）點上的幅度頻譜，有一些與其它頻率 點上的不同之處：1）如果認為幅度頻譜表示的是是信號在各個頻率上的信號分量幅度的A0大小，則信號真正的直流分量應(yīng)該為2,頻譜在=上的分量的 大小應(yīng)該減半。2）如果認為幅度頻譜表示的是A1隨頻率變化的規(guī)律，則幅度頻譜不用

20、 變化。周期性信號的頻譜有下面三個特點：1.離散性：它有不連續(xù)的線條組成；2.諧波性：線條只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍點上；3收斂性：實際信號的幅頻特性總是隨頻率趨向無窮大而趨向于零。例：周期性方波脈沖的頻譜：kT : t kT2 2其它根據(jù)上面的公式可以畫出信號的頻譜。 該例中信號的振幅頻譜和相位頻譜可 以合二為一f(t)AiCn4A .- sinn0T 2AT Tz宀a n = T2A.nM 1-sin -nOTI 2丿A弋L Tn ASac Tn = 0nJ2Sax壬其中：x，稱為抽樣函數(shù)。根據(jù)周期性方波的頻譜，我們可以得到關(guān)于信號特性的幾個一般性結(jié)論：1、T增加一一Sa()函數(shù)不變一一頻譜

21、的包絡(luò)不變，收斂性不變。但是：1) 譜線幅度降低；2)譜線密度加大。信號周期加大，對振幅的收斂性沒有影響，但會使譜線密度增加。當T趨向無窮大時，信號成為非周期信號，這時，譜線幅度降低為無窮 小,譜線密度加大，信號分量出現(xiàn)在所有頻率上。2、下降一一Sa()尺度擴大一一收斂性變差，但是譜線間隔不變。信號時間寬度變小，將使信號能量向高頻擴散，信號的頻帶增加。3、 信號的頻帶：由于信號的頻譜的收斂性，一般可以在一個信號分量主要集中的頻率區(qū)間內(nèi) 研究信號的特性，而忽略信號其它部分的分量。響應(yīng)的頻率區(qū)間就是信號的頻帶。信號的頻帶有很多種定義方法：1)以信號最大幅度的1/10為限，其它部分忽略不計；2)以信

22、號振幅頻譜中的第一個過零點為限，零點以外部分忽略不計;3)以包含信號總能量的90%處為限，其余部分忽略不計；4、信號的邊沿對信號頻帶的影響 信號的邊沿變化越快，信號的頻帶越寬 例：三角脈沖函數(shù)的頻譜：AT汽4 Jj(t_rec_p.m)3-5非周期性信號的頻譜非周期性信號可以看成周期信號在周期趨向無窮大時的極限一、從周期信號到非周期信號從傅利葉級數(shù)到傅利葉變換根據(jù)周期信號傅利葉級數(shù)展開公式，其各個頻率分量的幅度為:2兀0T，此時:1)頻譜間隔趨進無窮小，信號在各個頻率點上都有信號分量一一頻率取值變成連續(xù)的1t2= f(t)eCn2)在每一個頻率點上的頻率分量大小趨向零。其中第二點給計算帶來了麻

23、煩，所以無法用傅利葉級數(shù)表示非周期信號。這時，為了消除系數(shù)公式中趨向無窮小的部分，定義：ct?F(n二TCn( = 2n) = f(t)entdtQ11這時上式可以得到一個非零的值。令T一；心，則0，而成為一個連續(xù)的變量，假設(shè)其表示為連續(xù)的變量-，則可以得到傅利葉變換公式：F(j ) f(t)edt因為該式有“單位頻帶內(nèi)信號幅度”的量綱，所以被稱為“頻譜密度函 數(shù)”。它表示信號在該頻率點上的分量的相對大小， 而信號在此頻率點 上的實際分量分量大小為零。與傅利葉級數(shù)一樣，如果f(t)是實數(shù)函數(shù)，F(xiàn)(j)的幅度是的偶函數(shù)，F(xiàn)( j* )的相位是的奇函數(shù)。、傅利葉反變換一一怎樣用F(j )計算f(t

24、)jni tF( j n； ；. )jn i tf (t)二lim % Cnelim、eTT_jpcTn n 亠11i tF(j )ejd 2二這個公式實際上也表示了將信號分解為一系列復數(shù)三角函數(shù)的子信號之和(積分)。這個公式也可以表達成為一個在物理上更容易理解的實數(shù)三角函數(shù)形式：三、正反傅利葉變換由此可以得到正反傅利葉變換公式為：FT. F3)=Ff(t)=J；f(t)e*dtf (t) = F亠忙(j叭鼻亠J：F (j灼)ej%ccIFT:2二-f(t)和F ()之間是一一對應(yīng)的，根據(jù)其中的一個可以確定另外一個。 可以認為，它們包含了相同的信息，只不過自變量不同，它們是相同信 號的不同表達

25、形式。正變換將以時間為自變量的函數(shù)變成了以頻率為變量的函數(shù)，將信號從時域變換到了頻域。所以建立在這種變換上的系統(tǒng) 分析方法稱為變換域法。這種變換通常經(jīng)過積分計算得出，所以也稱為 積分變換。傅利葉變換所牽涉的兩個函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)， 所以它完成的是從連續(xù)函 數(shù)到連續(xù)函數(shù)的變換；而傅利葉級數(shù)則是完成從連續(xù)函數(shù)到離散函數(shù)的 變換。傅利葉變換存在的條件依然是Direchlet條件，只不過這時考慮的時間這里，在頻域中我們用j作自變量，目的是為后面引入拉普拉斯變換打下伏筆四、非周期信號的頻譜這里同樣可以用圖的形式，在變換域中表示信號。響應(yīng)的頻譜圖稱為信號的 幅頻特性曲線和相頻特性曲線。五、傅利葉變換的另外幾

26、種形式：IFT:這種形式上正反傅利葉變換形式上比較對稱。但是使用時并不方便。2、一些文獻上也可以見到另一種形式的傅利葉變換公式:FT. F(2)=Ff(t) = 2H：f(t)edt f(t) =F亠9(浮)=(乍(浮)e血d國IFT : -6 常用信號的 F.T常用信號的FT見P125129表。現(xiàn)在將一些結(jié)論列舉如1、將頻域中的自變量從變成，則:FT:-beF(j2f)二J(t)e_2ftdt1亠.f(t)F(j2：f)ejftd 2二fIFT: 或:2:二F(j2：f)ej2ftdfF(f)_：f(t)ejdtf(t) = _.：；F(f)ej2ftdfFT:區(qū)間為以上兩個信號的FT只在:

27、0時存在4、門函數(shù)：G (tKSa(f)名(t)兀石() +5、階躍信號：廠6、直流：12二)階躍信號和直流信號并不滿足絕對可積條件，嚴格地說不 存在傅里葉變換。但是通過引入沖激函數(shù)，也可以找到其 傅里葉變換的表達式，從而也可以用傅里葉變換的方法進 行分析；3-7 周期性信號的傅利葉變換周期信號只是一個相對的概念。如果忽略其周期性，它應(yīng)該也可以被看成是 非周期信號處理，進行傅里葉變換。但周期信號是功率信號，不滿足絕對可積條 件。但是通過引入沖激函數(shù)，一樣可以找到傅里葉變換。1、復正弦信號的傅里葉變換：el 2二c)根據(jù)這個變換以及后面要證明的傅里葉變換的線性特性，可以推導出：cos(ct) I

28、 菽(:c)、G；-：c)丨2、周期性信號的傅里葉變換周期性信號可以展開成傅里葉級數(shù)：f (t)= _討沁n = ：:由此可以得到周期性信號的傅里葉變換為下:1、2、3、沖激函數(shù)：川八1單邊指數(shù)信號:雙邊指數(shù)信號:e；(t)，-boF（ j J = 2二Cn、.（，-n）n二 3可見，周期性信號的傅里葉變換是一系列間隔均勻的沖激序列。3、脈沖信號f（t）（FT為F（j）按照周期T進行周期化后信號 匸的FT:（這里假設(shè)周期化后各個脈沖沒有重疊）f（t）周期化后可以表示成為傅利葉級數(shù)：命=Cn川1n =:所以：-bofT（t） i 2二vCn（，-n1）1n二二:其中：Cn二丄匚仃“也二丄,（t）

29、ejdt二F（jn）T=T所以：fT（th -F（jn）、（ 一n）】Tnjoo-boF （jn1）、（ -n1）1n =.：:通過查表，可以很方便地得到：1）非周期信號的FT2）周期信號的FT3）周期信號的傅利葉級數(shù)對照傅利葉級數(shù)和傅利葉變換的定義，可以得到：3-8傅利葉變換的性質(zhì)1、 線性特性：a （t） b f-（t），a F!（j ） b F-（j ）2、 延時特性：f（t to），F(xiàn)（）ej t03、 移頻特性：f （t）ej cFj（ 一c）1移頻特性與延時特性互成對偶。推論：1d.nf(t)cos( ct)Fj(門亠 Lc) h：；Fj (；-：；%) P24、尺度變換：f(at

30、)1 2F j-a 1-信號的寬度沿時間軸壓縮-倍，信號的頻率寬度B沿頻 率軸擴展-倍。脈沖信號的寬度和頻帶寬度B的乘積等 于常數(shù)。數(shù)據(jù)傳輸中總希望信號的脈沖寬度盡可能小，占用的信號頻帶同時也盡可能小。但從該性質(zhì)可以看出，信號脈沖寬度 的頻帶寬度是一對矛盾。5、奇偶虛實性假設(shè)：F(j )二.；：f(t)ej也= f (t)cos，t dt j f (t) sin t dt二R( ) - jX ()二F(j)其中：Rd) =Uf(t)cotdt，為Fj)的實部;X(滬：f(t)sintdt，為F()的虛部;F(冋，為F(冋的幅度;1-f(-t)F(-)b、f*( F*(-j )c、f*( F*(

31、j )2如果信號f(t)是實數(shù)信號，貝U:aR(j是的偶函數(shù)；X()是的奇函數(shù); 或：F(j F*(-j )()=-rct-nlR)丿,為F(2)的相角;b、T（j如 是的偶函數(shù)；申）是的奇函數(shù);3） 如果f（t）是實偶函數(shù)，則F（）也是實偶函數(shù);如果f（t）是實奇函數(shù)，則F（j）是虛奇函數(shù)；4） 思考：如果f（t）是虛函數(shù)，情況怎樣？5） 對稱特性如果f（t）i F（j ），則:F（jt） 2計（- ）7、微分特性&積分特性t1.f( ) -F (0)、( )F(j )-j 1F(j ) j 9、頻域微積分d-jtf （t）F（j ）do二f（0）、（t）jp，F(xiàn)（r）dt一-（1）

32、灼:;（t） j- f（t）_F（r）d門it）或：、n0(t) jj f(t).；F(j)d.dndnF(j )如果dtf(t)存在并且滿足Direchlet條件，則:dn推廣:dtnf(t)，j 、(j )lim如果F（0） =0，或畀F（ ） 存tJ(.)d 10、卷積定理fl（t）* f2（t），F(xiàn)i（j ）F2（j ）1fi（t）f2（t）Fi（j .）*F2（j .）2二利用這十個性質(zhì)，結(jié)合傅利葉變換表，可以求解很多工程 上的信號的傅利葉變換。-9 能量頻譜與功率頻譜能量頻譜和功率頻譜從能量或功率的角度研究信號在各個頻率分量上的能 量或功率，以頻譜的形式表達出。這種頻譜對確定性信號

33、意義不大， 對于隨機信 號有很大意義。但為了方便討論，這里我們從確定性信號的角度進行研究。一、周期性信號的功率譜周期性信號的能量無窮大，無法從能量上進行研究。但是它的功率有限, 可以從功率上進行研究。1、周期性信號的功率譜：將周期性信號在各個頻率上的分量的功率大小用圖的方法表示出。橫坐標: 頻率；縱坐標：信號分量的功率。對于單邊功率譜，在每個不等于零（非直流）頻率上子信號功率1212AA2。直流信號的功率為4對于雙邊功率譜，在每個頻率點上子信號功率2=Cn功率譜只有大?。ǚ龋?，沒有相位。2、Parseval定理：周期信號的功率等于該信號在完備正交函數(shù)集中分解后各個子信號功 率的和。二、 能量

34、信號（脈沖信號）的能量譜1、能量譜1） 能量信號的功率為零，能量為有限，只可以從能量角度研 究其分布；2） 信號在各個頻譜上的實際分量大小為無窮小， 只能用能量 密度譜描述G（）描述單位頻帶內(nèi)的信號能量。信號總能量：:2: *W f (t)dt f(t)f (t)dtT，(j). jtLdtd_(r )F*(r )d -He21址2fJF()血=-j0 F(j砒do由此定義單位頻帶內(nèi)信號的(2)如果信號是實數(shù)信號，則還可以得到其單邊能量譜為:“單位頻帶”指的是什么頻率:a般情況下指角頻率b、也可以用一般頻率f(單位Hz)2由此可以得到雙邊能量譜：G(f) =F(j2f和單邊能量譜：G(f2F(

35、j2Tf)能量譜同樣只有大小(幅度)，沒有相位2、Rayleigh定理：1 W f(t)dt&12n1 :.?Wf(t) dtj0即：信號在時域和頻域的能量相等脈沖信號的脈沖寬度和頻帶寬度對于一般的信號，可以通過其頻譜密度函數(shù)或功率譜函數(shù)定義其頻帶寬度, 其定義方法與3.4節(jié)中討論的相似F(j )ej td dt*F(j ) f (t)ejt.dtdjt.dtd(1)雙邊能量譜為:1G()二2F(jo)G( ) =1JtF(j )2此時:咨.2W= J*F(j2兀f). df2I 2j) d(0f)df- 2F(jw) d國=2 J F( j2斗)df12二11、 脈沖寬度：脈沖的絕大

36、部分能量集中的時間區(qū)間to .2(f(t) dt=W2、 頻帶寬度：脈沖的絕大部分能量集中的頻率區(qū)間丄F(念)2血=HWn 03、 對于一種脈沖而言，B =常數(shù)Matlab 函數(shù)1、產(chǎn)生信號sincos sinesquarechirp(t,fO,t1,f1)x = square(t)產(chǎn)生周期為2 n的方波信號x = square(t,duty)，占空比為duty的方波x = sawtooth(t)產(chǎn)生周期為2 n的鋸齒波或三角波x = sawtooth(t,width) 2、FFT和ifft,fftshift,ifftshiftNX(k)=$/)唏 47Nx(j) = (1/N)乞X噸丿k =

37、 l這里Y = fft(X)使用快速傅立葉算法計算，返回序列X的DFT(離散傅立葉變換) 如果X是矩陣，則按列求傅立葉變換。Y = fft(X, n)返回X的n點DFT。如果X的長度比n小，則自動在X末尾補零；如果X長度比n大, 操作。如果X是矩陣，則對其列長度進行自動調(diào)整。Y = fft(X,dim)Y = fft(X, n, dim)對X的第dim維進行DFTy= ifft(X)*y= ifft(X, n)y= ifft(X,dim)y= ifft(X,n ,dim)舉例：1、一個頻率為50Hz的正弦信號求其FFT。不截斷和截斷的情況f=50; fs=10*f; t=0:1/fs:1; x

38、=si n( 2*pi*f*t); y=fft(x); y2=fft(x,256); figure;subplot(3,1,1) plot(t,x); subplot(3,1,2) plot(abs(y); subplot(3,1,3)plot(abs(y2);則進行截短-130002001000100200300400500600100501001502002503000.20.30.40.50.60.70.80.90.150若畫圖改成用stem函數(shù)0-100.10.20.30.40.50.60.70.80.91frrrr1.顯 4J. H J.* J *工上*-k- J 4 J丄J.*血乩

39、出扯鼻丿rtf30405060708090100110Lk 1ipi樸豐吶.J;.二.Mi) 111lib.806040200501001502002502、分析截短對fft結(jié)果的影響-1300對連續(xù)的單一頻率周期信號按采樣頻率1,-；.：采樣，截取長度N分別選N =20和N=16，觀察其DFT結(jié)果的幅度譜。解此時離散序列二一二匕二二二二，即k=8。用MATLAB計算并作圖，函數(shù)fft用于計算離散傅里葉變換DFT程序如下：k=8;n1= 0:1:19;xa1=si n(2*pi* n1/k);subplot(2,2,1)plot( n1,xa1)xlabel(t/T);ylabel(x( n)

40、;xk1=fft(xa1);xk1=abs(xk1);subplot(2,2,2)stem( n1,xk1)xlabel(k);ylabel(X(k);n 2=0:1:15;xa2=s in( 2*pi* n2/k);subplot(2,2,3)plot( n2,xa2)xlabel(t/T);ylabel(x( n);xk2=fft(xa2);xk2=abs(xk2);subplot(2,2,4)stem( n2,xk2) xlabel(k);ylabel(X(k);圖2 1不同載駅長度的正弦信號蜃其DFT結(jié)果計算結(jié)果示于圖2.1,(a)和(b)分別是N=20時的截取信號和DFT結(jié)果，由 于截取了兩個半周期，頻譜出現(xiàn)泄漏；(c)和(d)分別是N=16時的截取信號和DFT結(jié)果，由于截取了兩個整周期，得到單一譜線的頻譜。上述頻譜的誤差主要 是由于時域中對信號的非整周期截斷產(chǎn)生的頻譜泄漏。3、分析FFT所求結(jié)果的對稱性例：序列x1=1 2 3 4 5 6 7 ,x2=1 2 3 4 5 6 7 8,分別求其fft，看結(jié)果如何x1=1 2 3 4 5 6 7 ;x2=1 2 3 4 5 6 7 8; y1=fft(x1); y2=fft(x2);z仁fftshift(yl);