全等三角形之截長補短法之歐陽科創(chuàng)編

1、歐陽科創(chuàng)編2021.02.05歐陽科創(chuàng)編2021.02.05例題1創(chuàng)作：歐陽科時間：2021.02.05如圖所示，在RtAABC中，乙090。，BC二AC, AD平分乙BAC 交 BC 于 D,求證:AB二AC+CD .考點：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題分析：利用已知條件，求得ZB二乙E,乙2二乙1, AD=AD, 得出 ABD 0 AED ( AAS ),二 AE=AB .- AE二AC+CE二AC十CD,二AB二AC十CD .I /解答：f證法一：如答圖所示，延長AC,到E使CE二CD,連接 DE T 乙ACB二90。，AC二BC, CE二CD,二乙 B二乙CAB二45。，乙E二乙

2、CDE二45。，a 二乙E tAD 平分 ABAC, a A1=A2在厶ABD和厶AED中，乙B二乙E,乙2二Al, AD=AD, .* AABDAAED (AAS) . /-AE=AB . v AE二AC十CE二AC十CD,二AB二AC十CD 證法二：女口答圖所 示，在AB上截取AE=AC,連接DE, tAD平分ABAC,AZ1=A2 .在 ACD 和厶AED 中，AC二AE, 乙 1 二乙2, AD=AD, /. AACDAAED (SAS).乙AED二乙 C 二90, CD=ED,又 tAC 二 BC, a ZB=45° . a AEDB=AB=45 ° . DE=B

3、E ,二 CD=BE . v AB二AE+BE ,AB=AC+CD .點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；通過SAS的 條件證明三角形全等，利用三角形全等得出的結(jié)論來求得 三角形各邊之間的關系例題21-2<DA圖，AD是AABC中BC邊上的中線，求證(AB+AC).考點.全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形三邊關系.專題計算題 分析：可延長AD到E,使AD二DE,連BE,則厶ACDAEBD得BE=AC,進而在AABE中利用三角形三邊關系，證解答C證明：如圖延長AD至E,使AD=DE,連接 BE . TBD二DC, AD=DE, AADC=AEDBa AACD EBD.AC 二 BE 在 A

4、ABE 中，AE<AB+BE,即 2AD <AB+AC /.AD< ! （AB十AC） 點評本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形 的三邊關系問題，能夠熟練掌握 在AABC中，乙ACB=90°, AC=BC,直線MN經(jīng)過點C,且AD丄MN于D, BE丄MN于E .(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：DE二AD+BE ；(2)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DE、 怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關AD、BE具有NBB考點旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形專題:證明題 分析:(1)由已知AC二BC, AADC二乙CEB二90

5、。，利用互 余關系可證乙DAC二乙ECB,可證ACD0ACBE,得AD二CE, CD二BE,故 AD+BE二CE+CD二DE ； (2)此時，仍 有厶ACDACBE, AD二CE, CD=BE,利用線段的和差關系 得 DE=AD-BE .解答:證明：(1) VZDAC+ 乙ACD二90。，AACD+AECB二90。，:丄DAC二乙ECB,又tAC二BC,乙ADC二乙CEB二90。，/. AACDACBE, aAD=CE, CD=BE, /DE二CE+CD二AD十BE ； (2) DE=BE-AD 仿照 可證ACDACBE, .AD=CE, CD=BE, .* DE=CD-CE=BE-AD .點

6、評:本題考查了用旋轉(zhuǎn)法尋找證明三角形全等的條件， 關鍵是利用全等三角形對應線段相等，將有關線段進 如圖，點P在AAOB的內(nèi)部，點M、N分別是點P關于直 線OA、OB的對稱點，線段MN交OA、OB于點E、F,若 PEF的周長是20cm,則線段MN的長是20cm .考點軸對稱的性質(zhì)分析:根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知:EP二EM, PF二FN,所以線 段MN的長二APEF的周長.歐陽科創(chuàng)編2021.02.05解答:解：根據(jù)題意，EP=EM, PF二FN, MN二ME+EF十FN二PE+EF十PF二 APEF 的周長，二 MN=20cm .點評:主要考查了軸對稱的性質(zhì)：對稱軸上的任何一點到 兩個對應點之間的距

7、離相等(1)如圖所示，已知AABC中，乙ABC、AACB的平分線 相交于點 O 試說明 A BOC=90°+$fracl2$ A A ； (2) 如圖所示，在AABC中，BD、CD分別是乙ABC、ZACB的 外角平分線試說明AD=90°-$fracl2$乙A ； (3)如圖 所示，已知BD為AABC的角平分線，CD為AABC外角乙 ACE的平分線，且與BD交于點D,試說明ZA二2乙 D .考點：三角形的外角性質(zhì)；角平分線的定義；三角形內(nèi)角 和定理分析： 根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)可得，乙BOC十乙 OCB=90°-$fracl2$乙A,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得乙 B

8、OC=90°+$fracl2$ZA ； (2)根據(jù)三角形外角平分線 的性質(zhì)可得ABCD=$fraclX2$ (乙A十乙ABC)、乙歐陽科創(chuàng)編2021.02.05DBC=$fracl2$ （乙A+ZACB）；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理 可得乙BDC=90°-$fracl2$AA ；（3）根據(jù) BD 為 AABC的角平分線，CD為AABC外角AACE的平分線，可知，乙 A=180°-Z1-A3, AD=180°-A4=A5=180°-Z3 $fracl2$ （乙A+2乙1）,兩式聯(lián)立可得2/D二乙A . 解答：無'在AABC中，OB、OC分別是乙

9、ABC、 AACB的平分線，乙A為x°.-. ZBOC+A OCB=$fracl2$ （180°-AA） =$fracl2$x （180°-x°） =90°-$fracl2$AA故乙BOC二 180。（90°-$fracl2$A A） =90°+$fracl2$AA ； （2） v BDSABC 兩外角乙DBC、A BCE的平分線乙A為x° a A BCD=$fracl2$ （乙A十乙ABC）、/_DBC=$fracl2$ （乙A十乙ACB）由三角形內(nèi)角和定理得， ABDC=180°-ABCD-ZDBC=

10、180°-$fracl2$AA+ （Z A+AABC十乙ACB） =180°-$fracl2$ （乙A+180。）=90° $fracl2$乙A； （3）如圖:vBD為AABC的角平分 線，CD為AABC外角乙ACE的平分線/ Al=乙2,乙 5=$fracl2$（ZA+2A1）,乙3二乙4,在AABE 中，A A=180°-Al-A3-在 ACDE 中，AD=180°-乙 4-乙 5二 180。乙3-$fraclX2$ （乙A+2Z1）,即 2AD=360°-2A3-ZA-2ZA，把代入得2乙D二乙點評:此類題目比較簡單，考查的是三

11、角形內(nèi)角與外角的 關系，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，屬中學階段 的常規(guī)題如圖，直線a、b、c表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一 個貨物中轉(zhuǎn)站要求它到三條公路的距離相等，則可供選 擇的地址有處考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；直線與圓的位置關系專翅應用題分莎依題意可作四個圓分別與三條直線相切，其中三個 在三角形外部，一個在三角形內(nèi)部，其圓心就是可供選擇 的地址解答:解：可作四個圓分別與三條直線相切，其中三個在三角形外部，一個在三角形內(nèi)部故填4 點評:本題涉及圓的相關知識，難度中等.如圖甲所示，在AABC中，AB二AC,在底邊BC上有任意一 點P,則P點到兩腰的距離之和等于定長（腰上的高），即PD+

12、PE二CF,若P點在BC的延長線上，那么請你猜想PD、PE和CF之間存在怎樣的等式關系？寫出你的猜想并加以證歐陽科創(chuàng)編2021.02.05考點等腰三角形的性質(zhì)；三角形的面積專題:證明題分莎猜想：PD、PE、CF之間的關系為PD二PE十CF .根據(jù) T Sapab= 號ABPD ,Sapac= 號ACPE, Sacab=號ABCF, Sapac= 號abpe, !ab*pd= !ab-cf+ !ab-pe,即可求證.B>A1-2-cPAs解答:猜想：PD、PE、CF之間的關系為PD二PE十CF .證 明：連接 AP,則 Sapac+Sacab=Sapab, *" Sapab= 2

13、AB*PD, Sa pac= 3AOPE, Sacab= 2ABeCF,又 t AB二AC,PE, 丄ABPD二舟ABCF十舟ABPE,即號AB (PE+CF)二號ABPD, a PD=PE+PF .點z字本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的面積，難 度適中，關鍵是先猜想出PD、PE、CF之間的關系為 PD二PE+CF再證明.女口圖，AABC是等邊三角形，BD是AC邊上的中線，延長 BC到E使CE二CD,試判斷ABDE的形狀.考點:等腰三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)分析:因為AABC是等邊三角形，所以乙ABC二乙ACB二60。，BD是AC邊上的中線，則乙DBC二30。，再由題 中條件求出AE=

14、30°,即可判斷ABDE的形狀.懈答證明：ABC是等邊三角形.-AABC=AACB=60°丁 AD二CD° ADBC=1-2乙ABC二30。TCE二CD.乙CDE=AEv乙 ACB二乙CDE+ 乙 E 乙 E=30° 二 /_ DBE= /_E 二 BD=DE 二BDE是等腰三角形.點評:本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形 的性質(zhì)；此題把等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定結(jié) 合求解考查了學生綜合運用數(shù)學知識的能力，得到乙 E二30。是正確解答本題的關鍵（2007-吉林）某家電商場經(jīng)銷A, B, C三種品牌的彩電， 五月份共獲利48 000元已知

15、A種品牌彩電每臺可獲利 100元，B種品牌彩電每臺可獲利144元，C種品牌彩電每 臺可獲利360元.請你根據(jù)相關信息，補全彩電銷售臺數(shù) 的條形圖和所獲利潤的百分數(shù)的扇形臺數(shù)各品牌彩電銷售臺數(shù)含品牌彩電所獲利潤的百分數(shù) 卜Q A水 Q 品牌圖.圖圖考點/扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖專題:圖表型分析:根據(jù)獲利總數(shù)與扇形圖，可計算出B型彩電的獲 利，進而求出B型彩電的數(shù)目；接著可求出C型彩電的獲 利和臺數(shù)；利用A、C型的獲利和獲利總數(shù)分別求出它們所 獲利潤的百分數(shù)，進而補全彩電銷售臺數(shù)的條形圖和所獲 利潤的百分數(shù)的扇形圖即可解答：鶴根據(jù)題意可得：五月份共獲利48000元，B種品 牌彩電獲利占3096,即獲

16、利48000x30%=14400元，故B種 品牌彩電的臺數(shù)為14400-144=100臺，則C種品牌彩的臺 數(shù)為(48000-120x100-14400) -360=60 臺；據(jù)此可補全(120+100+60)二280臺，其中A種品牌彩電120臺，占 獲利的25也B種品牌彩100臺占獲利的30也C種品牌彩 電60臺，占獲利的45%,據(jù)此可補全扇形答品牌彩電所獲利潤的百分數(shù)（6分）說明：條形圖中每畫對1圖個條形圖得（2分）扇形圖中每填對1個扇形得（1分）扇形圖中若標成表示A, C計算的百分數(shù)正確，填圖不正確，扣（1） 如另畫扇形圖正確也得分點評:本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用讀懂統(tǒng)

17、計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解 決問題的關鍵條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù) 據(jù)；扇形統(tǒng)計圖中各部分占總體的百分比之和為1,能直接 反映部分占總體的百分比大小.如圖所示，已知EA丄AB于點A, CD丄DF于點D, ABCD,請判斷EA與DF的位置關系，并說明理由.考點:平行線的判定；垂線；平行線的性質(zhì) 專題/探究型分析：首先由ABCD,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得到乙BAD二乙ADC,再根據(jù)垂直的定義得到乙EAB二乙CDF二90。，貝IJ A EAB+ A BAD= A CDF+ A ADC,即乙 EAD二乙 ADF,滿足關于EADF的條件：內(nèi)錯角相等，兩直線平 行.解答：除:

18、EADF .理由女口下：tEA丄AB于點A, CD丄 DF 于點 D （已知），a AEAB=90°, ZCDF=90° （垂直定 義） tABCD （已知），:丄BAD二乙ADC （兩直線平 行，內(nèi)錯角相等）， ZEAB十乙BAD二乙CDF十乙ADC,即 AEAD二乙ADF, .EADF （內(nèi)錯角相等，兩直線平行）. 點評:本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義以及平行線 的判定定理（2002-河南）如圖，ABCD,直線EF分別交AB、CD于 E、F, EG 平分 ABEF,若乙 1=72°,則乙2二54度考點平行線的性質(zhì)；角平分線的定義專題計算題分析:兩直線平行，

19、同旁內(nèi)角互補，可求出A FEB,再根據(jù) 角平分線的性質(zhì)，可得到A BEG,然后用兩直線平行，內(nèi)錯 角相等求出乙2 解答您:ABCD, / ABEF=180°-Al=180°-72° = 108°,乙2二乙BEG,又 tEG 平分乙BEF, / ZBEG=2A BEF=hlO8°=54°> 故乙2二乙BEG=54° .點Z乎本題應用的知識點為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等； 同旁內(nèi)角互補.（2006-大連）在圍棋盒中有x顆黑色棋子和y顆白色棋子，從盒中隨機地取出一個棋子，如果它是黑色棋子的概3-8 是 率再放進10顆黑色棋子,

20、 和y的值與x的函數(shù)關系式 （2）若往盒中 則取得黑色棋子的概率變?yōu)樘?，求x考點.概率公式；二元一次方程組的應用分析： 根據(jù)概率的求法：在圍棋盒中有x顆黑色棋子 和y顆白色棋子，共x+y顆棋子，如果它是黑色棋子的概 率是訂有希三成立化簡可得y與x的函數(shù)關系式；（2）若往盒中再放進10顆黑色棋子，在盒中有10+x十y顆棋子,可得 解答則取得黑色棋子的概率變?yōu)榉医Y(jié)合（1）a+y J 4-10解可得x二15,解：（1）根據(jù)題意得:y=25希三，（3分）的條件，整理，得8x=3x+3y,（4 分）.雪滅二彳丫,法一:根據(jù)題意,1-2-得z二討；（5分）（2）解（7分）整理，得2x+20=x-ny+10

21、, *.y=x+10,(8 分)5x=3 (x+10)X二 15, y=25 .解法二：（2）根據(jù)題思,力+y j+103-OW1（5%3?二0fj = 15T,整理得血=為+山，解得個=25可得（8分）點評:此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能， 而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)R1種結(jié)果， 那么事件A的概率P (A)二贄.如圖，在等腰AABC中，CH是底邊上的高線，點P是線段 CH上不與端點重合的任意一點，連接AP交BC于點E,連 接BP交AC于點F. (1)證明：乙CAE二乙CBF； (2)證 明:AE=BF.考點:全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì) 專題:證明題分析

22、根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CH平分乙 ACB,再證明AACE和ABCF全等，然后根據(jù)全等三角形對 應角相等和全等三角形對應邊相等即可證明.解答： 證明：在等腰AABC中，tCH是底邊上的高 線，乙ACH二乙BCH,在AACE和ABCF中，(AC = BC£咬加日=BOHcf=cf , /. AACEABCF (SAS) , a ACAE=A CBF (全等三角形對應角相等)； v AACEABCF(SAS),.AE二BF (全等三角形對應邊相等)點評:本題主要考查全等三角形的判定和全等三角形的性 質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握定理和性如圖，在等腰 ABC 中，AB二AC,乙BAC二 120。，A