數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 差分方程與數(shù)值微分

1、大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Mathematical Experiments 實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)2 2 差分方程和數(shù)值微分差分方程和數(shù)值微分差分方程差分方程 離散時段上描述變化過程的數(shù)學(xué)模型離散時段上描述變化過程的數(shù)學(xué)模型 一年期存款一年期存款年利率為年利率為r，存入，存入M， 記記第第k年本息為年本息為xkMxkxrxkk01, 2 , 1 , 0,)1 (n年后本息為年后本息為Mrxnn)1 ( 污水處理廠每天將污水濃度降低比例污水處理廠每天將污水濃度降低比例q, 記第記第k天天的污水濃度為的污水濃度為ck , 2 , 1 , 0,)1 (1kcqckk離散動態(tài)過程（系統(tǒng)），實(shí)際的變化可以是連續(xù)的離散動

2、態(tài)過程（系統(tǒng)），實(shí)際的變化可以是連續(xù)的 0)1 (cqcnn)1lg(2lgqn天后污水濃度降低一半天后污水濃度降低一半 1.一階線性常系數(shù)差分方程一階線性常系數(shù)差分方程2. 高階線性常系數(shù)差分方程高階線性常系數(shù)差分方程3. 線性常系數(shù)差分方程組線性常系數(shù)差分方程組4. 非線性差分方程非線性差分方程 數(shù)值微分簡介數(shù)值微分簡介 建立離散動態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型建立離散動態(tài)過程的數(shù)學(xué)模型; ; 用用MATLAB計算數(shù)值解計算數(shù)值解; ; 作理論分析作理論分析(平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性).差分方程差分方程例例1 瀕危物種瀕危物種(Florida 沙丘鶴沙丘鶴)的自然演變的自然演變 和人工孵化和人工

3、孵化 一階線性常系數(shù)差分方程一階線性常系數(shù)差分方程 在較好自然環(huán)境下，年平均增長率為在較好自然環(huán)境下，年平均增長率為1.94% 在中等自然環(huán)境下，年平均增長率為在中等自然環(huán)境下，年平均增長率為-3.24% 在較差自然環(huán)境下，年平均增長率為在較差自然環(huán)境下，年平均增長率為-3.82%如果在某自然保護(hù)區(qū)內(nèi)開始有如果在某自然保護(hù)區(qū)內(nèi)開始有100只鶴，建立只鶴，建立描述其數(shù)量變化規(guī)律的模型，并作數(shù)值計算描述其數(shù)量變化規(guī)律的模型，并作數(shù)值計算. 生態(tài)學(xué)生態(tài)學(xué)家估計家估計 如果每年人工孵化如果每年人工孵化5只鶴放入該保護(hù)區(qū)，只鶴放入該保護(hù)區(qū)，在中等自然環(huán)境下鶴的數(shù)量將如何變化在中等自然環(huán)境下鶴的數(shù)量將如何

4、變化?模型及其求解模型及其求解 例例1 瀕危物種瀕危物種(Florida 沙丘鶴沙丘鶴)的自然演變的自然演變 和人工孵化和人工孵化 記第記第k年沙丘鶴的數(shù)量為年沙丘鶴的數(shù)量為xk，自然環(huán)境下年平均增長率為自然環(huán)境下年平均增長率為r, 2 , 1 , 0,1,1kraaxxkk05101520406080100120140160r=0.0194r=-0.0324r=-0.0382設(shè)每年人工孵化的數(shù)量為設(shè)每年人工孵化的數(shù)量為b， , 2 , 1 , 0,1kbaxxkk05101520406080100120140r=-0.0324,b=5r=-0.0324,b=0結(jié)果分析結(jié)果分析 例例1 瀕危物

5、種瀕危物種(Florida 沙丘鶴沙丘鶴)的自然演變的自然演變 和人工孵化和人工孵化 時間充分長后時間充分長后(k)沙丘鶴數(shù)量的變化趨勢沙丘鶴數(shù)量的變化趨勢 , 2 , 1 , 0,0kxaxkka1(r0)時時xk, a1(r0)時時xk0自然環(huán)境下自然環(huán)境下 ,1,1raaxxkk在中等及較差的自然環(huán)境下沙丘鶴將瀕于滅絕。在中等及較差的自然環(huán)境下沙丘鶴將瀕于滅絕。 , 2 , 1 , 0,110kaabxaxkkk人工孵化條件下人工孵化條件下 baxxkk1a1(r0)時時xkx=b/(1-a) 050100150200100110120130140150160r=-0.0324,b=5x

6、=5/0.0324=154.32 一階線性常系數(shù)差分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階線性常系數(shù)差分方程的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性差分方程的一般形式差分方程的一般形式 , 2 , 1 , 0,1kbaxxkk 差分方程的平衡點(diǎn)差分方程的平衡點(diǎn) 代數(shù)方程代數(shù)方程 x=ax+b 的根的根 x=b/(1-a) , 2 , 1 , 0),1/(kabcaxkk差分方程的解差分方程的解c= x0-b/(1-a)由初始值由初始值x0 和和a、b確定確定 若若k時時xkx, 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)x穩(wěn)定穩(wěn)定, 否則平衡點(diǎn)否則平衡點(diǎn)x不穩(wěn)定不穩(wěn)定 平衡點(diǎn)穩(wěn)定的充要條件是平衡點(diǎn)穩(wěn)定的充要條件是 a 1 , 2 , 1 , 0,110ka

7、abxaxkkk 高階線性常系數(shù)差分方程高階線性常系數(shù)差分方程 例例2 一年生植物的繁殖一年生植物的繁殖 一年生植物春季發(fā)芽，夏天開花，秋季產(chǎn)種。一年生植物春季發(fā)芽，夏天開花，秋季產(chǎn)種。沒有腐爛、風(fēng)干、被人為掠去的那些種子可以活過冬沒有腐爛、風(fēng)干、被人為掠去的那些種子可以活過冬天，其中的一部分能在第二年春季發(fā)芽，然后開花、天，其中的一部分能在第二年春季發(fā)芽，然后開花、產(chǎn)種，其中的另一部分雖未能發(fā)芽，但如又能活過一產(chǎn)種，其中的另一部分雖未能發(fā)芽，但如又能活過一個冬天，則其中一部分可在第三年春季發(fā)芽，然后開個冬天，則其中一部分可在第三年春季發(fā)芽，然后開花、產(chǎn)種，如此繼續(xù)?；āa(chǎn)種，如此繼續(xù)。 一年

8、生植物只能活一年，且近似地認(rèn)為，種子最一年生植物只能活一年，且近似地認(rèn)為，種子最多可以活過兩個冬天多可以活過兩個冬天。建立數(shù)學(xué)模型研究植物數(shù)量的變化規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型研究植物數(shù)量的變化規(guī)律，及它能夠一直繁殖下去的條件及它能夠一直繁殖下去的條件. 模型及其求解模型及其求解 例例2 一年生植物的繁殖一年生植物的繁殖 設(shè)一棵植物平均產(chǎn)種數(shù)為設(shè)一棵植物平均產(chǎn)種數(shù)為c, 種子能夠活過冬天種子能夠活過冬天的比例為的比例為b, 活過冬天的那些種子在來年春季發(fā)芽的活過冬天的那些種子在來年春季發(fā)芽的比例為比例為a1，未能發(fā)芽的那些種子又活過一個冬天的，未能發(fā)芽的那些種子又活過一個冬天的比例仍為比例仍為b, 在下

9、一年春季發(fā)芽的比例為在下一年春季發(fā)芽的比例為a2。xk第第k年的植物數(shù)量年的植物數(shù)量 設(shè)今年種下設(shè)今年種下(并成活并成活)的數(shù)量為的數(shù)量為x0 011bcxax 11kkbcxax記 p= -a1bc, q= -a2b(1-a1) bc , 3 , 2, 0, 02101kqxpxxpxxkkk, 3 , 2,)1 (212kbcxabak形如形如xk= k的解的解! xk- uxk-1=v(xk-1- uxk-2)02qp例例 c=10， a1=0.5，a2=0.25，b=0.18, 0.19, 0.20，x0=100 模型及其求解模型及其求解 例例2 一年生植物的繁殖一年生植物的繁殖 02

10、qp021kkkqxpxx特征方程特征方程 特征根特征根 2422, 1qpp, 2 , 1 , 0,2211kccxkkk差分方程差分方程 常數(shù)常數(shù)c1, c2由由x0, x1確定確定 差分方程的解差分方程的解 b23052, 1kkkxb)043. 0(36. 4)943. 0(64.95,18. 0kkkxb)0477. 0(35. 4)0477. 1 (65.95, 2 . 0 1, 2 1時時xk (k) 植物能夠一直繁殖下去植物能夠一直繁殖下去的條件為的條件為b0.191 例例3 蛛網(wǎng)模型的推廣蛛網(wǎng)模型的推廣)(00 xxyykk)(001yyxxkk)2(0102yyyxxkkk

11、生產(chǎn)者的管理水平和素質(zhì)提高生產(chǎn)者的管理水平和素質(zhì)提高蛛網(wǎng)模型蛛網(wǎng)模型產(chǎn)量由前兩時段平均價格決定產(chǎn)量由前兩時段平均價格決定 , 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk02248)(22, 1平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) x=x0 xk x0（k）的條件是的條件是 1, 2 0)例例5 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 模型及其求解模型及其求解 例例5 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 )() 1(kLxkx)0()(xLkxkTnkxkxkxkx)(),(),()(21按年齡組的分布向量按年齡組的分布向量000000121121nnnsssbbbbLLeslie矩陣矩陣(L矩陣矩陣)模型

12、及其求解模型及其求解 1, 2 , 1),() 1(1nikxskxiii)() 1(11kxbkxiniiniikxkxkx1)(/ )()(歸一化歸一化:例例5 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 模型及其求解模型及其求解 設(shè)一種群分成設(shè)一種群分成 n=5個年齡組個年齡組, 繁殖率繁殖率 b1b5= 0, 0.2, 1.8, 0.8, 0.2, 存活率存活率s1s4= 0.5, 0.8, 0.8, 0.1, 各年各年齡組現(xiàn)有數(shù)量均為齡組現(xiàn)有數(shù)量均為100 05101520253000.20.40.60.80510152025300100200300400500 x1(k)x5(k)

13、的圖形的圖形（自上而下（自上而下)的圖形的圖形（自上而下（自上而下)()(51kxkx)0()(xLkxk結(jié)果分析結(jié)果分析 例例5 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 nkk, 3 , 2,1 L矩陣存在正單特征根矩陣存在正單特征根 1， 若若L矩陣存在矩陣存在bi, bi+10, 則則 nkk, 3 ,2,1Tnnssssssx11121212111*, 1特征向量特征向量*1)(limcxkxkk, c是由是由bi, si, x(0)決定的常數(shù)決定的常數(shù) 且且時間充分長后時間充分長后 x(k), 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性)(kx)0()(xLkxkLeslie矩陣的性質(zhì)矩陣的性質(zhì) 結(jié)果分析結(jié)

14、果分析 例例5 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 時間充分長后時間充分長后 x(k), 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性)(kx按年齡組的分布向量按年齡組的分布向量趨向穩(wěn)定分布趨向穩(wěn)定分布 (與與x(0)無關(guān)無關(guān)) *1)(limcxkxkk)() 1()2kxkx各年齡組種群數(shù)量按同一各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)倍數(shù) (固有增長率固有增長率) 增減增減 )() 1(kLxkx與基本模型與基本模型比較比較3） =1時時*)() 1(cxkxkx 各年齡組各年齡組種種群群數(shù)量不變數(shù)量不變*xxkx)() 1(歸一化的特征向量歸一化的特征向量 ) *x 1個個體在整個存活個個體在整個存活期內(nèi)的繁殖數(shù)量為期內(nèi)

15、的繁殖數(shù)量為11121121nnsssbsbb3） =1時時*xLx Tnssssssx121211*, 1000000121121nnnsssbbbbL結(jié)果分析結(jié)果分析 例例5 按年齡分組的種群增長按年齡分組的種群增長 Tnssssx, 1 1211*,)(,1,) 4*cxkxk大時存活率存活率 si是同一時段的是同一時段的 xi+1與與 xi之比之比（與（與si 的定義的定義 比較）比較） )()1(1kxskxiii1,2, 1),()(1nikxskxiii 非線性差分方程非線性差分方程 例例6 離散形式的阻滯增長模型離散形式的阻滯增長模型(Logistic模型模型) )1()(Nx

16、rxtxt, xN (與與r大小無關(guān)大小無關(guān))離散形式離散形式xk 某種群第某種群第k代的數(shù)量代的數(shù)量(k=0,1,2,)指數(shù)指數(shù)增長增長模型模型連續(xù)形式連續(xù)形式阻滯阻滯增長增長模型模型rxtx)( kkkrxxx1kkkkxNxrxx)1 (1對于不同的對于不同的r，研究，研究k 時時xk的趨勢的趨勢線性方程線性方程非線性方程非線性方程01020304000.20.40.60.811.2r=0.301020304000.20.40.60.811.21.4r=1.801020304000.20.40.60.811.21.4r=2.5設(shè)設(shè)N=1，取，取r=0.3, 1.8, 2.5, 初值初值x

17、0=0.1， 例例6 離散形式的阻滯增長模型離散形式的阻滯增長模型(Logistic模型模型) kkkkxNxrxx)1 (1xk 某種群第某種群第k代的數(shù)量代的數(shù)量xk單調(diào)地趨向單調(diào)地趨向N xk振蕩地趨向振蕩地趨向N xk不收斂不收斂 結(jié)果分析結(jié)果分析 例例6 離散形式的阻滯增長模型離散形式的阻滯增長模型, 2 , 1 , 0,)1 (1kxNxrxxkkkkkkkkxNxrxx)1 (1xNxrxx)1 ( 差分方程的平衡點(diǎn)差分方程的平衡點(diǎn) x=N, x=0 的根的根: 若若xk x (k) , 則則平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)x穩(wěn)定穩(wěn)定; 否則，否則，x不穩(wěn)定不穩(wěn)定. 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) x=0 不穩(wěn)定不穩(wěn)

18、定; 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) x=N 的的穩(wěn)定性與穩(wěn)定性與 r 有關(guān)有關(guān).研究非線性差分方程平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件研究非線性差分方程平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件 , 2 , 1 , 0),(1kyfykk非線性差分方程平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件非線性差分方程平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)代數(shù)方程代數(shù)方程 y=f(y) 的根的根 y* 非線性差分方程非線性差分方程:, 2 , 1 , 0,)(*1kyyyyfykkf 在在y*點(diǎn)作點(diǎn)作Taylor展開，保留線性項(xiàng)展開，保留線性項(xiàng) 近似線性方程近似線性方程: 1)(* yfy* 對對近似線性方程是近似線性方程是穩(wěn)定穩(wěn)定平衡點(diǎn)平衡點(diǎn), 對非線性方程也是穩(wěn)定平衡點(diǎn)對非線性方程也是穩(wěn)定平衡點(diǎn)

19、.1)(* yfy* 對對近似線性方程是不近似線性方程是不穩(wěn)定穩(wěn)定平衡點(diǎn)平衡點(diǎn), 對非線性方程也是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)對非線性方程也是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)1,) 1(rbxNrrykk例例6 離散形式的阻滯增長模型離散形式的阻滯增長模型kkkkxNxrxx)1 (1變量和變量和參數(shù)代換參數(shù)代換 )1 (1kkkybyy平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) x=N, x=0 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) y=1-1/b, y=0 )1 ()(ybyyf)21 ()(ybyfbbf2)/ 11 (1)0(bfy=0不穩(wěn)定不穩(wěn)定 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) y*=1-1/b穩(wěn)定的條件穩(wěn)定的條件: )2(31rb若若b3 (即即r2), 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn) y*不穩(wěn)定不穩(wěn)定

20、1)(* yf 例例7 寄主寄主寄生模型寄生模型 寄主靠自然資源為生，假定其數(shù)量用離散形式的寄主靠自然資源為生，假定其數(shù)量用離散形式的阻滯增長模型描述阻滯增長模型描述; 寄生物的存在會減少其增長，寄生物數(shù)量越多，寄生物的存在會減少其增長，寄生物數(shù)量越多，寄主的增長率減少得越多，假設(shè)寄主的減少率與寄主的增長率減少得越多，假設(shè)寄主的減少率與寄生物數(shù)量成正比寄生物數(shù)量成正比 ; 寄生物完全靠寄主為生，假定其寄生物完全靠寄主為生，假定其相鄰兩代數(shù)量之相鄰兩代數(shù)量之比比與寄主數(shù)量成正比與寄主數(shù)量成正比. 建立寄主建立寄主寄生模型研究二者數(shù)量變化的規(guī)寄生模型研究二者數(shù)量變化的規(guī)律，討論時間充分長以后的趨勢

21、律，討論時間充分長以后的趨勢. 例例7 寄主寄主寄生模型寄生模型模型及其求解模型及其求解 xk第第k代寄主的種群數(shù)量代寄主的種群數(shù)量 (最大容量最大容量N，固有增長率，固有增長率r);yk 第第k代代寄生物的種群數(shù)量（寄生物的種群數(shù)量（k=0, 1, 2, ）. kkkkxNxrxx)1 (1kkkybxy1a寄生物由寄主處攫取營養(yǎng)，阻滯寄主增長的能力寄生物由寄主處攫取營養(yǎng)，阻滯寄主增長的能力 b寄主供養(yǎng)寄生物，使寄生物增長寄主供養(yǎng)寄生物，使寄生物增長(或減少或減少)的能力的能力 非線性差分方程組非線性差分方程組kkyax 例例7 寄主寄主寄生模型寄生模型模型及其求解模型及其求解 kkkkkkyaxxNxrxx)1 (1kkkybxy1設(shè)設(shè)N=100，r=1.5 寄生物在最好的條件下每代的數(shù)量可以翻一番，寄生物在最好的條件下每代的數(shù)量可以翻一番，即即xk=N時時yk+1=2yk，bN=2，b=2/N=0.02; 設(shè)設(shè)a=0.025。 020406080100020406080100 xkyk 50 30 例例7 寄主寄主寄生模型寄生模型模型及其求解模型及其求解