高中數(shù)學(xué)新學(xué)案同步必修4人教B版全國通用版：第三章三角恒等變換3.1.3

1、31.3兩角和與差的正切學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能利用兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式.2.能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡、求值、證明.3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)一兩角和與差的正切思考 1怎樣由兩角和的正、余弦公式得到兩角和的正切公式？答案tan( )sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin ，分子分母同除以cos cos ，便可得到思考 2由兩角和的正切公式如何得到兩角差的正切公式？答案用 替換 tan( )中的 即可得到梳理兩角和與差的正切公式名稱簡記符號(hào)公式使用條件兩角和的正切ttan( )tan tan 1

2、tan tan ， ， 均不等于k 2(kz) 兩角差的正切ttan( )tan tan 1tan tan ， ， 均不等于k 2(kz) 知識(shí)點(diǎn)二兩角和與差的正切公式的變形(1)t的變形：tan tan tan( )(1tan tan )tan tan tan tan tan( )tan( )tan tan 1tan tan tan . (2)t的變形：tan tan tan( )(1tan tan )tan tan tan tan tan( )tan( )tan tan tan tan tan 1. 1對于任意角 ， ，總有 tan( )tan tan 1tan tan .() 提示公式成

3、立需 ， ， 均不等于 k 2，kz. 2使公式 tan( )tan tan 1?tan tan 有意義，只需 ， k 2(kz)即可 () 提示還應(yīng)使 k 2，kz. 3若 ， ， 均不等于k 2，kz，則 tan( )tan tan tan tan tan( )恒成立 () 4 k 4，且 k 2， kz 時(shí)， tan41tan 1tan .() 類型一正切公式的正用例 1(1)已知 tan 2，tan( )17，則 tan 的值為 _答案3 解析tan tan( ) tan tan 1tan tan 17 2117 23. (2)已知 ，均為銳角， tan 12，tan 13，則 _.

4、答案4解析因?yàn)?tan 12，tan 13，所以 tan( )tan tan 1tan tan 1213112131. 因?yàn)?， 均為銳角，所以 (0，)，所以 4. 反思與感悟(1)注意用已知角來表示未知角(2)利用公式t求角的步驟：計(jì)算待求角的正切值縮小待求角的范圍，特別注意隱含的信息根據(jù)角的范圍及三角函數(shù)值確定角跟蹤訓(xùn)練1已知 是第四象限角，且sin 435，則 tan 4_. 答案43解析由題意，得cos 445，tan 434. tan 4tan 421tan 443. 類型二正切公式的逆用例 2(1)1tan 151tan 15_；(2)13tan 753tan 75_. 答案(1

5、)3(2)1 解析(1)原式tan 45tan 151tan 45tan 15tan(45 15 ) tan 60 3. (2)原式33tan 75 133tan 75tan 30tan 751tan 30tan 75tan(30 75 ) tan 45 1. 反思與感悟注意正切公式的結(jié)構(gòu)特征，遇到兩角正切的和與差，構(gòu)造成與公式一致的形式，當(dāng)式子出現(xiàn)33，1，3這些特殊角的三角函數(shù)值時(shí)，往往是“由值變角 ”的提示跟蹤訓(xùn)練2求下列各式的值(1)cos 75 sin 75cos 75 sin 75；(2)1tan 27tan 33tan 27tan 33. 解(1)原式1tan 751tan 75

6、tan 45tan 751tan 45tan 75tan(45 75 )tan(30 ) tan 30 33. (2)原式1tan 27 331tan 6033. 類型三正切公式的變形使用例 3(1)化簡： tan 23 tan 37 3tan 23 tan 37 ；(2)若銳角 ， 滿足 (13tan )(13tan )4，求 的值解(1)方法一tan 23 tan 37 3tan 23 tan 37 tan(23 37 )(1tan 23 tan 37 )3tan 23 tan 37 tan 60 (1 tan 23 tan 37 )3tan 23 tan 37 3. 方法二tan(23

7、37 )tan 23tan 371tan 23tan 37，3tan 23tan 371tan 23tan 37，33tan 23 tan 37 tan 23 tan 37 ，tan 23 tan 37 3tan 23 tan 37 3. (2) (13tan )(13tan ) 13(tan tan )3tan tan 4，tan tan 3(1 tan tan )，tan( )tan tan 1 tan tan 3. 又 ， 均為銳角， 0 180 ， 60 . 反思與感悟兩角和與差的正切公式有兩種變形形式：tan tan tan( )(1?tan tan )或1?tan tan tan

8、tan tan .當(dāng) 為特殊角時(shí)，?？紤]使用變形形式，遇到 1 與正切的乘積的和(或差 )時(shí)常用變形形式.合理選用公式解題能起到快速、簡捷的效果跟蹤訓(xùn)練3在 abc 中， ab2， 且 tan atan b33tan atan b， 則角 c 的值為 () a.3b.23c.6d.4答案a 解析 tan atan b33tan atan b? tan(ab) (1tan atan b)3(tan atan b1)，若 1tan atan b0，則 cos acos bsin asin b0，即 cos(ab)0. 0ab ，ab2，與題設(shè)矛盾由得 tan(a b)3，即 tan c3. 又0c

9、 ，c3. 1若 tan 3，tan 43，則 tan( )等于 () a.13b13c 3 d 3 答案a 解析tan( )tan tan 1tan tan 343134313. 2已知 cos 45，且 2，則 tan4 等于 () a17b 7 c.17d7 答案d 解析由 cos 45，且 2，得 sin 35，所以 tan sin cos 34. 所以 tan4tan 4tan 1tan 4tan 1341347. 故選 d. 3已知 ab45 ，則 (1tan a)(1tan b)的值為 () a1 b 2 c 2 d不確定答案b 解析(1 tan a)(1tan b) 1(tan

10、 atan b)tan atan b1tan(ab)(1tan atan b)tan atan b11 tan atan btan atan b2. 4已知 a，b 都是銳角，且tan a13， sin b55，則 ab_. 答案4解析 b 為銳角， sin b55，cos b2 55，tan b12，tan(ab)tan atan b1tan atan b1312113121. 又0ab ， ab4. 5已知sin cos sin cos 3，tan( )2，則 tan( 2 )_. 答案43解析由條件知，sin cos sin cos tan 1tan 13，則 tan 2. tan( )

11、2， tan( ) 2. 故 tan( 2 )tan( ) tan tan 1tan tan 221 2 243. 1公式 t 的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律(1)公式 t 的右側(cè)為分式形式，其中分子為tan 與 tan 的和或差，分母為1 與 tan tan 的差或和(2)符號(hào)變化規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”2應(yīng)用公式t 時(shí)要注意的問題(1)公式的適用范圍由正切函數(shù)的定義可知， ， ， (或 )的終邊不能落在y 軸上，即不為k 2(kz)(2)公式的逆用一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換，如 tan 41， tan 633， tan 33等特別要注意tan41 tan 1 tan ，ta

12、n41 tan 1 tan . (3)公式的變形應(yīng)用只要用到tan tan ，tan tan 時(shí)，有靈活應(yīng)用公式t 的意識(shí)，就不難想到解題思路特別提醒： tan tan ， tan tan ，容易與根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)系，應(yīng)注意此類題型. 一、選擇題1若 tan 13，tan( )12，則 tan 等于 () a.17b.16c.57d.56答案a 解析tan tan( ) tan tan 1tan tan 12131121317. 2已知 tan( )25，tan 414，則 tan 4的值為 () a.322b.2213c.1318d.16答案a 解析因?yàn)?4( ) 4，所以 tan 4tan

13、 4tan tan 41tan tan 4251412514322. 3a，b，c 是 abc 的三個(gè)內(nèi)角，且tan a，tan b 是方程 3x25x10 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則abc 是() a鈍角三角形b銳角三角形c直角三角形d無法確定答案a 解析 tan atan b53，tan a tan b13，tan(ab)52，tan c tan(a b)52，c 為鈍角，即 abc 為鈍角三角形4若 tan 28tan 32a，則 tan 28 tan 32等于 () a.3ab.3(1a) c.3(a 1) d.3(a1) 答案b 解析 tan(28 32 )tan 28tan 321tan 2

14、8tan 323，tan 28 tan 32 3(1 a)5設(shè)向量 a(cos ， 1)，b(2，sin )，若 ab，則 tan 4等于 () a13b.13c 3 d3 答案b 解析由 a b 2cos sin 0，得 tan 2. tan 4tan tan 41tan tan4211213. 6在 abc 中， tan atan btan c33， tan2btan a tan c，則 b 等于 () a30b 45c120d60答案d 解析由公式變形，得tan a tan btan(ab)(1tan atan b) tan(180 c)(1 tan atan b) tan c(1tan

15、 atan b) tan ctan atan btan c. tan atan btan c tan ctan atan btan ctan ctan atan btan c 3 3. 又tan2btan atan c，tan3b3 3，tan b3，又b 為三角形的內(nèi)角， b60 . 二、填空題7.tan 75 tan 151 tan 75tan 15_. 答案3 解析原式 tan(75 15 ) tan 60 3. 8已知 ，均為銳角，且tan cos sin cos sin ，則 tan( ) _. 答案1 解析 tan cos sin cos sin 1tan 1tan ，tan ta

16、n tan 1tan ，tan tan tan tan 1，tan tan 1tan tan ，tan tan 1tan tan 1，tan( )1. 9.3tan 23tan 97tan 23tan 97的值為 _答案3 解析 tan(23 97 )tan 23tan 971tan 23tan 97tan 120 3，tan 23 tan 97 33tan 23 tan 97 ，原式3tan 23 tan 97 (33tan 23 tan 97 ) 3. 10(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)的值為 _答案4 解析tan 45 tan(21 24 )1，

17、tan 21 tan 24 1tan 21 tan 24 ，tan 21 tan 24 tan 21 tan 24 1 2，即(1tan 21 )(1tan 24 )2. 同理， (1 tan 22 )(1tan 23 )2，原式 224. 三、解答題11如果 tan ，tan 是方程 x2 3x3 0 的兩根，求sin cos 的值解sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin tan tan 1tan tan 31 332. 12已知 tan4 12. (1)求 tan 的值；(2)求2sin cos cos22cos2的值解(1)tan412，1tan

18、1tan 12，22tan 1tan ，tan 13. (2)2sin cos cos22cos2tan 12131256. 13已知 tan ，tan 是方程 6x25x10 的兩根，且0 2， 32，求 tan( )及 的值解tan ，tan 是方程 6x25x10 的兩根，tan tan 56，tan tan 16，tan( )tan tan 1 tan tan 56116 1. 0 2， 32， 2 ， 54. 四、探究與拓展14 如圖，在 abc 中， adbc， d 為垂足，ad 在 abc 的外部，且 bdcdad236，則 tanbac_. 答案17解析 adbc 且 bdcdad 236，tanbadbdad13，tan cadcdad12. tan bactan(cadbad ) tancadtanbad1tancad tanbad12131121317. 15如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy 中，以 ox 軸為始邊作兩個(gè)銳角 ，