備考2022數(shù)學(xué)專(zhuān)題05 因式分解（解析版）

1、專(zhuān)題05 因式分解 專(zhuān)題知識(shí)回顧 1.分解因式：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.2.分解因式的一般方法：（1）提公共因式法.（2）運(yùn)用公式法.平方差公式： 完全平方公式：（3）十字相乘法。利用十字交叉線來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在 ，則首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法在二次三項(xiàng)式(0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即.（4）分組分解法對(duì)于一個(gè)多

2、項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解分組分解法.即先對(duì)題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.3.分解因式的步驟：(1)先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分組分解法,即通過(guò)分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來(lái)達(dá)到分解的目的;(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積,否則不是因式分解;(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.若有公因式，先提公因式；然后再考慮用公式法（平方差公式：a2b2(ab)(ab),完全平方公式：a

3、2±2abb2(a±b)2）或其它方法分解；直到每個(gè)因式都不能再分解為止. 專(zhuān)題典型題考法及解析 【例題1】（2019江蘇無(wú)錫）分解因式4x2y2的結(jié)果是（ ） a（4x+y）（4xy） b4（x+y）（xy） c（2x+y）（2xy） d2（x+y）（xy） 【答案】c 【解析】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用公式是解題關(guān)鍵直接利用平方差公式分解因式得出答案 4x2y2（2x）2y2 =（2x+y）（2xy） 【例題2】（2019貴州省畢節(jié)市） 分解因式：x416 【答案】（x2+4）（x+2）（x2）【解析】運(yùn)用公式法x416（x2+4）（x24）（x2+4）（x

4、+2）（x2）【例題3】（2019廣東深圳）分解因式：ab2a=_【答案】a（b+1）（b1）【解析】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用原式=a（b21）=a（b+1）（b1）【例題4】（2019黑龍江哈爾濱）分解因式：= 【答案】a（a3b）2【解析】先提取公因式，再用完全平方公式。a36a2b+9ab2a（a26ab+9b2）a（a3b）2【例題5】（經(jīng)典題）把下列各式分解因式：（1）； （2）【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥浚?）常數(shù)項(xiàng)15可分為3 ×(5)，且3(5)2恰為一次項(xiàng)系數(shù)。（2）將y看作常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，常數(shù)項(xiàng)可分為(2y)(3y)，而(2y)(3y)(5y)恰為

5、一次項(xiàng)系數(shù)【例題6】（2019山東東營(yíng)）因式分解：x（x3）x+3=_【答案】（x3）（x1）【解析】分組分解法x（x3）x+3= x（x3）（x3）=（x3）（x1）【例題7】（2019湖北咸寧）若整式x2+my2（m為常數(shù)，且m0）能在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式，則m的值可以多少（寫(xiě)一個(gè)即可）【答案】1【解析】令m1，整式為x2y2（x+y）（xy）故答案為：1（答案不唯一）只要m取負(fù)值，其絕對(duì)值一個(gè)有理數(shù)的平方數(shù)即可。比如：m=-4，-9，-16，-25等。【例題8】（經(jīng)典題）把a(bǔ)bab+1分解因式。 【答案】（b1）（a1）【解析】當(dāng)被分解的式子是四項(xiàng)時(shí)，應(yīng)考慮運(yùn)用分組分解法進(jìn)行分解本題可采

6、用兩兩分組的方法，一、三，二、四或一、二，三、四分組均可，然后再用提取公因式法進(jìn)行二次分解。abab+1=（aba）（b1）=a（b1）（b1）=（b1）（a1） 專(zhuān)題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1. (2019黑龍江綏化) 下列因式分解正確的是( )a.x2xx(x+1) b.a23a4(a+4)(a1)c.a2+2abb2(ab)2d.x2y2(x+y)(xy)【答案】d【解析】a.x2xx(x1),錯(cuò)誤;b.a23a4(a4)(a+1),錯(cuò)誤;c.a2+2abb2不能因式分解,故錯(cuò)誤;d.x2y2(x+y)(xy),是平方差公式;故選d2.（2019廣西賀州）把多項(xiàng)式分解因式，結(jié)果正確的是a

7、bcd【答案】b【解析】運(yùn)用公式法，故選：b3.（2019四川瀘州）把2a28分解因式，結(jié)果正確的是（）a2（a24） b2（a2）2c2（a+2）（a2） d2（a+2）2【答案】c【解析】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用原式2（a24）2（a+2）（a2），故選：c4.（2018山東濰坊）下列因式分解正確的是（）a x24=（x+4）（x4） b x2+2x+1=x（x+2）+1c 3mx6my=3m（x6y） d 2x+4=2（x+2）【答案】d 【解析】a.原式利用平方差公式分解得到結(jié)果，即可做出判斷；原式=（x+2）（x2），錯(cuò)誤；b.原式利用完全平方公式分解得到結(jié)果，即可做出判斷；原式

8、=（x+1）2，錯(cuò)誤；c.原式提取公因式得到結(jié)果，即可做出判斷；原式=2m（x2y），錯(cuò)誤；d.原式提取公因式得到結(jié)果，即可做出判斷原式=2（x+2），正確。5.（2018四川南充）下列因式分解正確的是（）a a4b6a3b+9a2b=a2b（a26a+9） b x2x+=（x）2c x22x+4=（x2）2 d 4x2y2=（4x+y）（4xy）【答案】b 【解析】原式各項(xiàng)分解得到結(jié)果，即可做出判斷a.原式=a2b（a26a+9）=a2b（a3）2，錯(cuò)誤；b.原式=（x）2，正確；c.原式不能分解，錯(cuò)誤；d.原式=（2x+y）（2xy），錯(cuò)誤。6.（2018黑龍江齊齊哈爾）把多項(xiàng)式x26x+

9、9分解因式，結(jié)果正確的是（）a（x3）2 b（x9）2 c（x+3）（x3） d（x+9）（x9）【答案】a【解析】原式利用完全平方公式分解即可x26x+9=（x3）27.（2018湖北荊州）把多項(xiàng)式4x22xy2y用分組分解法分解因式，正確的分組方法應(yīng)該是（） a. （4x2y）（2x+y2）     b. （4x2y2）（2x+y）c. 4x2（2x+y2+y）        d. （4x22x）（y2+y）【答案】b 【解析】把第

10、一、三項(xiàng)為一組，利用平方差公式分解因式，二四項(xiàng)為一組，整理后再利用提公因式法分解因式即可原式=4x22xy2y，=（4x2y2）（2x+y），=（2xy）（2x+y）（2x+y），=（2x+y）（2xy1）二、填空題9.(2019海南)因式分解:aba_.【答案】a(b1)【解析】用提公因式法進(jìn)行因式分解,abaa(b1).10.（2019廣西北部灣）因式分解:3ax2-3ay2= 【答案】3a(x+y)(x-y).【解析】3ax2-3ay2=3a(x2-y2)=3a(x+y)(x-y)11.（2019貴州黔西南州）分解因式：9x2y2 【答案】（3x+y）（3xy）【解析】運(yùn)用公式法原式(3

11、x)2y2 =（3x+y）（3xy）12.（2019·湖南張家界）因式分解：x2yy 【答案】y(x1)(x1)【解析】x2yyy(x21)y(x1)(x1) 13.（2019湖北十堰）分解因式：a2+2a 【答案】a（a+2）【解析】觀察原式，找到公因式a，提出即可解：a2+2aa（a+2）14.（2019湖北仙桃）分解因式：x44x2 【答案】x2（x+2）（x2）【解析】x44x2x2（x24）x2（x+2）（x2）15.（2019湖南湘西）因式分解：ab7a 【答案】a（b7）【解析】原式a（b7），故答案為：a（b7）16.（2019寧夏）分解因式： 【答案】【解析】17.

12、（2019年陜西?。┮蚴椒纸猓?【答案】【解析】18. (2019黑龍江大慶)分解因式:a2b+ab2ab_.【答案】(a+b)(ab1)【解析】a2b+ab2abab(a+b)(a+b)(a+b)(ab1).19.（2019吉林長(zhǎng)春）分解因式：ab+2b= .【答案】b(a+2)【解析】ab+2b=b(a+2)20.（2019吉林?。┓纸庖蚴剑篴2-1= 【答案】(a+1)(a-1)【解析】平方差公式：兩數(shù)和與這兩數(shù)的差的積a2-1=(a+1)(a-1)21.（2019·江蘇常州）分解因式：ax24a_【答案】a(x2)(x-2)【解析】本題考查了因式分解的常用方法，根據(jù)因式分解的

13、步驟，先提公因式，再運(yùn)用公式法進(jìn)行分解，ax24aa(x24)a(x2)(x-2)，因此本題答案為a(x2)(x-2)22.（2019廣西桂林）若，則【答案】【解析】，故答案為：23.（2019內(nèi)蒙古赤峰）因式分解：x32x2y+xy2 【答案】x（xy）2【解析】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用原式x（x22xy+y2）x（xy）2，故答案為：x（xy）224.（2018河南）因式分解：x3yxy= 【答案】xy（x+1）（x1）【解析】本題考查用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解的能力，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止首先提取公因

14、式xy，再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行二次分解x3yxy，=xy（x21）=xy（x+1）（x1）25.（2018云南麗江）分解因式：x2+3x（x3）9=_ 【答案】（x3）（4x+3） 【解析】x2+3x（x3）9=x29+3x（x3）=（x3）（x+3）+3x（x3）=（x3）（x+3+3x）=（x3）（4x+3）.26.（2018河南鄭州）分解因式：3a2b+6ab2= 【答案】3ab（a+2b）。【解析】觀察可得此題的公因式為：3ab，提取公因式即可求得答案：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）。27.（2018海南）分解因式：x2y-y=_ 【答案】y（x+1）（x-1） 【解析】提公因式

15、法與公式法的綜合運(yùn)用 x2y-y，=y（x2-1），=y（x+1）（x-1）.28.（2018黑龍江大慶）分解因式：9a3ab2= 【答案】a（3ab）（3a+b）【解析】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用觀察原式9a3ab2，找到公因式a，提取公因式a后發(fā)現(xiàn)9a2b2是平方差公式，再利用平方差公式繼續(xù)分解9a3ab2，=a（9a2b2），=a（3ab）（3a+b）29.（2018遼寧錦州）分解因式x39x= 【答案】?！窘馕觥恳獙⒁粋€(gè)多項(xiàng)式分解因式的一般步驟是首先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有公因式，則把它提取出來(lái)，之后再觀察是否是完全平方式或平方差式，若是就考慮用公式法繼續(xù)分解因式。因此，。30.（2

16、018江西）因式分解：a26a+9= 【答案】（a3）2【解析】本題是一個(gè)二次三項(xiàng)式，且a2和9分別是a和3的平方，6a是它們二者積的兩倍，符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因此可用完全平方公式進(jìn)行因式分解a26a+9=（a3）231.（2018遼寧沈陽(yáng)）分解因式：2x28y2= 【答案】2（x+2y）（x2y）【解析】觀察原式2x28y2，找到公因式2，提出公因式后發(fā)現(xiàn)x24y2符合平方差公式，所以利用平方差公式繼續(xù)分解可得2x28y2=2（x24y2）=2（x+2y）（x2y）32（2019吉林）把多項(xiàng)式ax2+2a2x+a3分解因式的結(jié)果是 【答案】a（x+a）2【解析】首先提取公因式a，然后

17、將二次三項(xiàng)式利用完全平方公式進(jìn)行分解即可ax2+2a2x+a3=a（x2+2ax+a2）=a（x+a）233.（2018重慶）分解因式： =_. 【答案】【解析】因式分解-運(yùn)用公式法 原式= = 三、解答題34.（2019廣西河池）分解因式：【答案】見(jiàn)解析?！窘馕觥恐苯永猛耆椒焦交?jiǎn)，進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可原式35.（2018河南）若|m4|與n28n+16互為相反數(shù)，把多項(xiàng)式a2+4b2mabn因式分解 【答案】見(jiàn)解析。【解析】|m4|與n28n+16互為相反數(shù)，|m4|+n28n+16=0，|m4|+（n4）2=0，m4=0，n4=0，m=4，n=4，a2+4b2mabn=a2+4b24ab4=（a2+4b24ab）4=（a2b）22