2018成都一診壓軸題深度剖析

1、2018 成都一診壓軸題深度剖析【解析】因?yàn)?PA PB 0，注意到 P在對稱軸上，所以當(dāng) PA,PB 為切線的時(shí)候， ex0 2a 0PA PB 0，即 kPA，設(shè) A x0,ex0 2a ，則 f' x0 ex0 2a 1 e 04x0 a則1 1 0 ，即x0 a 1，結(jié)合ex0 2a 1得a 1.x0 a從而 f x min f a e 1【點(diǎn)評】借助對稱性確定 kPA，從而把問題轉(zhuǎn)化為過 P 作切線，斜率為 1，進(jìn)PA 4而可以求出 a. 解方程利用整體代換的思想很重要，這在處理公切線的時(shí)候，常 常會(huì)這樣解方程組。在淘寶博約書齋（唯一正版書店） 高觀點(diǎn)下函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸 題的系統(tǒng)

2、性解讀作了分析。（ 2016全國 3卷文科第 16題）已知 f x 為偶函數(shù)，當(dāng)x 0時(shí)，f x e x1 x，則曲線 y f x 在點(diǎn) 1,2 處的切線方程是2015新課標(biāo) 1文科第 12題）設(shè)函數(shù) y f x 的圖像與 y 2x a 的圖像關(guān)于直線y x 對稱，且 f 2 f 4 1 ，則 a2016考查了奇偶性和切線； 2015 年對兩個(gè)函數(shù)的對稱性提出了較高要求。成都 一診涉及兩個(gè)函數(shù)的對稱性和由切線斜率反過來求 a ，與全國卷考查很吻合。對 直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算三個(gè)核心素養(yǎng)進(jìn)行了較好地考查。解析】由橢圓第三定義知mnb2 ，則原式可變?yōu)?aa2b 3 23 ab22ba22

3、6ln ab，baa2令x ab,x 1, ， f x 23x3 2x2 3x 6lnx，則22 6 3 x 2 x 2 2x2 4 x 3 f ' x 2x2 4x 32 x x 2 ，xx ab 2 時(shí)，達(dá)到最小值。此時(shí) e 1所以當(dāng)b23a2 2【點(diǎn)評】在淘寶博約書齋（唯一正版書店） 解析幾何的系統(tǒng)性突破一書把到 兩定點(diǎn)的斜率之積為不等于 -1 的負(fù)數(shù)視為橢圓第三定義， 全國卷兩次直接考查， 如下：22 1AG AM33 2在書中也介紹了第三定義和中點(diǎn)弦的結(jié)論是完全一致的，在即將出版的高觀點(diǎn)下高考數(shù)學(xué)壓軸題三部曲（目前只有打印版，在 新高考新思維新突 破 微店有賣給每一個(gè)近八年的

4、全國卷高考壓軸題以變式和拓展， 融入了與之相關(guān)的競賽、 自 招題。）解析】法一：設(shè) M 是 BC 中點(diǎn)，則1 55tAC AP t AQ AP AQ ，3 3935t43由P,G,Q三點(diǎn)共線，得 5t1，即t4，從而AQ3AC，9334從而 S ABC AB AC 20 .S ABC AP AQ 9 法二：（建立坐標(biāo)系）特殊化，不妨設(shè) ABC 為直角三角形，為了計(jì)算方便，不 妨設(shè) AB 5，AC 3，可以求得 AG 直線方程，從而求得 Q的坐標(biāo)?！窘馕觥糠ㄒ唬涸O(shè) M 是 BC 中點(diǎn)，則2 2 1 1 1 1 1 1AG AM AB AC AP AQ APAQ ，3 3 2 3 3 3由P,G,

5、Q三點(diǎn)共線，得 31 31 1，又因?yàn)?SS AABBCC AABP AACQ 1 2901131 1 2091 4 1 5觀察得 3 或 3 ，所以 3 或 31 5 1 4 4 5 3320.是對2015陜西文科或 2017全國 1卷解析幾何的改編，對此解析幾何系統(tǒng) 系突破進(jìn)行了系統(tǒng)性地歸類總結(jié)。 在高觀點(diǎn)下函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的系統(tǒng)性解讀 進(jìn)一步分析了 2017全國 1卷為什么定點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，期望一眼就能看出。21. （文）【解析】（ 2）參考答案借助鄰域來處理。令 g x f x bx b 1 exxx ln x b x 1ex1bx2ex 1g' x 1 bxex bx e 1

6、xx111（注意到 g 1 0,則 g'1 0,即b ，說明 b，函數(shù)恒單增， 說明0 b 和eeeb 0 時(shí)，存在單減區(qū)間就可以。） 在淘寶博約書齋（唯一正版書店）高觀點(diǎn)下函數(shù)導(dǎo)數(shù)壓軸題的系統(tǒng)性解讀 作為處理恒成立求參數(shù)范圍的基本方法之一。21. （理）【來源】此題改編 （2018 廣州一模）已知函數(shù) f x ax ln x 1 。（1） 討論函數(shù) f x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2） 對任意的 x 0， f x xe2 x恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍?！窘馕觥刻幜藚⒖即鸢傅姆蛛x參數(shù)法之外，還有如下方法1 x x （ 2）令 g x f x xex bx ln x 1 b x xexxx 1

7、 x 1 g'x x 1ex 1 1 b，g''x x 2ex 12 0，所以g' x單增， xxb x 1 x x 當(dāng) x 1且 x ln 時(shí)，有 g' x x 1 ex1 b 2ex 1 1 b 2ex b 02x111當(dāng) 0x1且 x1時(shí)， g ' x x1 ex11 b 2e11 b 02e 1bxx則 g ' x 有唯一零點(diǎn) x0 ，從而 g x 在 0, x0 單減，在 x0, 單增 所以 g x min g x0 x0ex0 ln x0 1 b x01 注意到 g' x0 0，即1 bx0 1 ex0x0所以 g x

8、 min g x0x02ex0 ln x0 1 1，即 x02ex0 ln x0 ，1進(jìn)而有 x0e x0ln x0 ，即 x0ex0 1 ln 1 ln 1 e x0x0x0 x0x0因?yàn)?x xex 在 0,單增，所以 x0 ln 1 ，即 1 ex0x0x0從而 1 b 1 x0 1 ex0 1 x0 1 1 1 ，即 b 2。x0x0x0【點(diǎn)評】 在淘寶的博約書齋店鋪 全國卷高考數(shù)學(xué)的分析及應(yīng)對 談到破解壓軸 題的思維說之一 思維的發(fā)散、聚焦和求變9. 破解壓軸題的思維說思維的發(fā)散、聚焦和求變思維發(fā)散， 對問題的抽象、把握其本質(zhì)和結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想處理這一類問題的基本方法。 思維 推進(jìn)的過

9、程中遇到困難，明確目標(biāo)，聚焦難點(diǎn)，再次聯(lián)想和發(fā)散，嘗試。并不一定要一種思 路或經(jīng)驗(yàn)走到底，而是針對現(xiàn)階段得到成果和目標(biāo)靈活選擇，這是思維求變。例.（2018 廣州一模）已知函數(shù) f x ax ln x 1 。（3） 討論函數(shù) f x 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；2x （4） 對任意的 x 0 ， f x xe 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍。ln x 1ln x 1解析：（ 1）法一（分離參數(shù)法）：由 f x 0得 a，令 g xxxln x 則 g' x 2 ，由 g' x 0得x 1，所以 g x 在 0,1 單減，在 1, 單增，xg x max g 11 ，作出 g x 圖像大致如下：

10、當(dāng) a2 1時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng) 1 a 0時(shí)，函數(shù)有 2 個(gè)零點(diǎn)；當(dāng) a 0或 a1時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)。3法二：（直接討論法） f ' x a 1 ax 1xx當(dāng) a 0時(shí)， f ' x 0恒成立，則 f x 在 0, 單增， 若 x 0,1 且 x e a 1 時(shí)， f x a ln x 1 a 1 ln e a 1 0 ， f 1 a 1 0 ， 此時(shí)函數(shù)有唯一零點(diǎn)。a11當(dāng) a 0時(shí)，由 f' x 0得 x，所以 f x 在 0, 單增，在aaf x max f1 lna當(dāng) a 1 時(shí)，f x maxln1a0此時(shí)唯一零點(diǎn)；當(dāng) a 1 時(shí)，f x maxln10a此時(shí)

11、函數(shù)無零點(diǎn)；0 ， f e 1 ae 1 0 ，當(dāng) 1 a 0時(shí)， f x max ln 1a a取 n0 100 且 n0 ln 1 ，則有 a1 n0 1n0 11n0 11n0 1f e 0 e 0n0 1 ln 1 e 0n0 ln e 02n0a a a2 n0 1 2n0 0此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)。（2）令 h x xe2 x ax ln x 1，原不等式等價(jià)于 h x min 0 ，h'x 2x 1e2x a 1，h''x 4x 4e2x 12 0，所以h'x在 0, 單增，xx 2當(dāng) x 0 時(shí)， h' x， 當(dāng) x時(shí)， h' x ，1所

12、以 h' x 在 0, 上有唯一零點(diǎn)，記為 x0，由 h' x0 0得 a 2x0 1e2x0 1 x0當(dāng) x 0,x0 時(shí)， h' x 0 ；當(dāng) x x0,時(shí)， h' x 0；所以 h x 在 0, x0 單減，在 x0,單增，則h x min h x0x0 e2 x0 ax0 lnx0 1 2 x02 e 2x0 lnx0 0，12 x11 11ln x即 2x 0e 01ln x 01 ln 1ln 1e 0*x0x0 x0x0令 x xex，則 'x x 1ex 0, x 0，所以 xxex單增，1 1 1由* 得 2x0ln1 ，所以2x0 l

13、n1，即e2x01，所以 a 2x0 1 e2x0 1 2x0 1 1 1 2x0x0 x0點(diǎn)評： 思維發(fā)散： 不等式恒成立求參數(shù)范圍這是一類基本問題， 其處理的方法有：分離參1數(shù)法，鄰域法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值。 最值往往又是極值， 又分為兩類，如果極值點(diǎn)可解如 x0 1 ， 0a則問題又轉(zhuǎn)化為解超越不等式， 如果極值點(diǎn)不可解， 則構(gòu)建 a 關(guān)于 x0 的函數(shù)，根據(jù) f x0 0或 f x00）求出 x0的范圍，從而求得 a的范圍。思維聚焦： 把問題界定為構(gòu)建 a 關(guān)于 x0 的函數(shù)，集中精力解不等式 2x02e2x0 ln x0 0 。思維發(fā)散：解超越不等式的兩種基本方法是找根、求導(dǎo)，或構(gòu)造相同

14、的結(jié)構(gòu)找單調(diào)性，此 應(yīng)該屬于第二種。思維靈活（求變）：得到2x0 ln 1 ，知道此根絕對解不出來，放棄解不等式，放棄突 x01破就是最大的突破，再結(jié)合目標(biāo)進(jìn)行思考，發(fā)現(xiàn)都有 1 ，按照經(jīng)驗(yàn)，處理掉指對數(shù)式，即x0可得到答案?！军c(diǎn)評】處理 2x02e2x0 ln x0 0這個(gè)的關(guān)鍵思想在 2014全國 1卷理科第 21題考試中心給出的參考答案中也有此做法，值得注意 。 在即將出版的高觀點(diǎn)下高考數(shù)學(xué)壓軸題三部曲（目前只有打印版，在 新高考新思維新突破 微店有賣給每一個(gè)近八年的全國卷高考壓軸題以變式和拓展， 融入了與之相關(guān)的競賽、 自 招題。）下面是是其中的一節(jié)。5. 一解一析一境界橫看成嶺側(cè)成峰

15、一個(gè)結(jié)構(gòu)的無窮演繹例. （2014全國 1 卷理科第 21題）設(shè)函數(shù)f (x) aex ln xx1bex，曲線 y f（x） 在點(diǎn)（ 1，f (1)處的切線為 y e(x 1) 2.（）求a,b； （）證明： f（x） 1分析：第（）問一個(gè)基本思路是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，但因?yàn)楹瘮?shù)極其復(fù)雜，導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不好處理，導(dǎo)致過程推進(jìn)不下去。 于是把函數(shù)進(jìn)行處理，法一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本函數(shù)，證明一個(gè)函數(shù)的最大值大于另一個(gè)函數(shù)的最小值， 法二進(jìn)行放縮。 第() 問是不等式恒成立問題，解析】： ()a 1,b 2 (略)()【分析 1】尋找難點(diǎn)：處理不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是基本思路，但此 題困難在于導(dǎo)

16、函數(shù)太復(fù)雜，復(fù)雜的原因在于ex ln x 既有指數(shù)式，又有對數(shù)式，對函數(shù)進(jìn)行處理顯得非常必要，但無論怎么變形，放在一個(gè)函數(shù)中其導(dǎo)數(shù)都是無法處理的?！痉治?2】嘗試突破：正是基于上述難點(diǎn)的分析，嘗試證明“一個(gè)函數(shù)的最小值大于另一個(gè) 函數(shù)的最大值”這個(gè)極強(qiáng)的命題，把ex ln x分開，得到兩個(gè)常見的函數(shù)，嘗試證明一個(gè)函數(shù)的最小值大于另一個(gè)函數(shù)的最小值。x2ex 12法一：由 ()知， f(x) exlnx，從而 f(x) 1等價(jià)于 xlnx xe xxe設(shè)函數(shù) g(x) xln x，則 g (x) x ln x ，所以當(dāng) xg (x) 0 ，0,1 時(shí)， g(x) 0，當(dāng) x 1, 時(shí)， ee故

17、g(x) 在 0,1 單調(diào)遞減，在 1, 單調(diào)遞增，0,e e,11 從而 g(x) 在 0, 的最小值為 g( ) .ee2x設(shè)函數(shù) h(x) xex ，則h(x) e x 1 x ，e所以當(dāng) x 0,1 時(shí)， h (x) 0，當(dāng) x 1, 時(shí)， h (x) 0 ，1 故 h(x)在 0,1 單調(diào)遞增，在 1, 單調(diào)遞減，從而 h(x) 在 0, 的最小值為 h(1) 1.e 綜上：當(dāng) x 0時(shí)， g(x) h(x)，即 f (x) 1.解題反思 1】記住一些常見函數(shù)的最值xlnx mine, xe min1 ln,x maxxeex min都用 e 來表示，我們很容易進(jìn)行改編， 比如有 x

18、ex 2 ln x ，變形得 x2ex 1 2x eln x 1： ex變式 1：已知 f x lnx ， g x x 2ex 1 2x eln xx(1)求 f x 單調(diào)區(qū)間；2)證明： g x 1x x 2 1分析 3】針對 ex ln x 難于處理，兩邊同時(shí)除以指數(shù)函數(shù) ex ，得 ln x x ，對所證式 ex ex子結(jié)構(gòu)的觀察，與常用不等式的聯(lián)系 ex ex ，找打了問題的突破口。法二：x2ex 12 1f ( x) ex ln x1 ln x x ，x ex ex 1 1 1注意到 e ex ，則 x ，若能證明 ln x 0 即可，顯然成立。e ex ex又因?yàn)?等號成立的條件不

19、同，所以原不等式成立?！窘忸}反思 2】在變形的過程中隨時(shí)對式子結(jié)構(gòu)進(jìn)行觀察，聯(lián)想與之相關(guān)的結(jié)論，這應(yīng)該是 一種思維習(xí)慣。 蘇霍姆林斯基說思維培養(yǎng)最好的方式是“一邊思考、一邊觀察，在觀察中思 考、在思考中觀察?！贝祟}給出了觀察和思考的對象。分析 4】受法二的影響，重新觀察ex ln x 2e1 結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到 e1，由此把要證xx明的式子分成兩部分ex lnx exex 11 0 ，嘗試證明x1xe ex ln x0 。x即證 ex 1 e ln x0 ，易證。x法三：（略）【解題反思 3】觀察不僅限于較復(fù)雜的代數(shù)式之間，與常數(shù)的聯(lián)系常常也是重要的突破口。 【分析 5】法三和法二分別在未變形之前和

20、變形之后，對式子進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn)了不同的結(jié)構(gòu)，2 那在其它變形中是否也蘊(yùn)含著一些有價(jià)值的結(jié)構(gòu)，再來觀察法一中的 xln x xe x 2 ，e 如果把 xln x中的x變成e x ，得到e x ln e x xe x，驚訝地發(fā)現(xiàn)兩個(gè)形式大相徑庭的式 子 xln x, xe x 只是同一個(gè)函數(shù)在不同代數(shù)式下的函數(shù)值。法四：令 g x xlnx，則g ex exlnex xe xx 2 x 2 x 2 原不等式等價(jià)于 xln x xe xx ln xxe x ，即 g x g e x ，e e e 11容易證明 g x 1，則 g e x1 ，且等號不能同時(shí)取到，證畢。ee11 1ln x【解題反思

21、4】令 g x xlnx，則 g ex exlne xex,g 1 1ln 1 lnx。xx xx在此題中， 相同的結(jié)構(gòu)得到再一次拓展。 指對數(shù)運(yùn)算法則及互逆性， 使得整式的乘積結(jié)構(gòu)變 為分式結(jié)構(gòu)，含指數(shù)式可以變?yōu)楹瑢?shù)式?？荚囍行慕o出的參考答案之一是：f x 1 ex ln x 1 ex 1 1 ex 1 -1 ex ln x 11 ex 1 - xxx ex xx11令 g x x ln x ，則 g ex ex 1 x,g 1 1 ln x ，容易證明 g x 0。ex ex世間萬物看似差別極大的東西， 有可能受著同一個(gè)簡單法則支配。 阿蘭圖靈使用了一個(gè)在天文學(xué)和原子物理學(xué)中很常見的一種

22、數(shù)學(xué)方程式來描述生命的過程， 描述了一個(gè)生物系統(tǒng) 的自我組織的過程， 這解釋了即使簡單的， 毫無自然界事物特性的東西也可以演繹出栩栩如 生的東西。 自然界充滿了生長、 發(fā)展和混亂， 其中到處都是離奇的形狀和雜亂的斑點(diǎn)， 自然 界的圖案從來都不會(huì)固定不變， 從來都不會(huì)重復(fù)， 阿蘭圖靈告訴我們這一切看上去混亂的現(xiàn) 象都受到數(shù)學(xué)方程式的影響，事實(shí)上，他們完全被數(shù)學(xué)規(guī)則所支配?！痉治?6】針對 ex ln x難于處理，嘗試選擇常用不等式 ex ex或ex 1 x進(jìn)行放縮直接消 掉了指數(shù)函數(shù)。2e x 12法五： f ( x) ex ln x 2eex 1 eln x 2 1 ，xx2e2ex2令 g( x) eln x， g '(x )2 2 ，xxxx2222所以 g x 在 0,2 單減，在 2, 單增，則 g x g 2eln 2 e eln 2 0 ，eee