23等差數(shù)列的前n項和(1)總結

1、復習引入復習引入1. 等差數(shù)列定義：等差數(shù)列定義： 即即anan1 d (n2).2. 等差數(shù)列通項公式：等差數(shù)列通項公式： (1) ana1(n1)d (n1).(2) anam(nm)d .(3) anpnq (p、q是常數(shù)是常數(shù))復習引入復習引入11 naadnmnaadmn 1 nnaad3. 幾種計算公差幾種計算公差d的方法的方法: 復習引入復習引入4. 等差中項等差中項bAabaA,2 成等差數(shù)列成等差數(shù)列. mnpq amanapaq. (m，n，p，qN)5. 等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)復習引入復習引入6. 數(shù)列的前數(shù)列的前n項和：項和： 稱為數(shù)列稱為數(shù)列aan n 的前的前

2、n n項和，記作項和，記作S Sn n，那么，那么S Sn n1 1表示什么？表示什么？a an n，S Sn n，S Sn n1 1三者之間有什么關系？三者之間有什么關系？naaaa321 1)( 2)( 11nSnSSannn7.7.數(shù)列的通項公式能反映數(shù)列的基本特數(shù)列的通項公式能反映數(shù)列的基本特性，在實際問題中常常需要求數(shù)列的前性，在實際問題中常常需要求數(shù)列的前n n項和項和. .對于等差數(shù)列，為了方便運算，我對于等差數(shù)列，為了方便運算，我們希望有一個求和公式，這是一個有待們希望有一個求和公式，這是一個有待研究的課題研究的課題. .復習引入復習引入高斯（高斯（Gauss,17771855

3、），），德國著名數(shù)學家，他研究的內(nèi)德國著名數(shù)學家，他研究的內(nèi)容涉及數(shù)學的各個領域，被稱容涉及數(shù)學的各個領域，被稱為歷史上最偉大的三位數(shù)學家為歷史上最偉大的三位數(shù)學家之一，他與阿基米德、牛頓齊之一，他與阿基米德、牛頓齊名，是數(shù)學史上一顆光芒四射名，是數(shù)學史上一顆光芒四射的巨星，被譽為的巨星，被譽為“數(shù)學王子數(shù)學王子”. 有一次，老師與高斯去買鉛筆，在商店發(fā)有一次，老師與高斯去買鉛筆，在商店發(fā)現(xiàn)了一個堆放鉛筆的現(xiàn)了一個堆放鉛筆的V形架，形架，V形架的最下面一層放形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一都比它下面一層多放一支，最上面一層放支，最上面一層放100支

4、支.老師問：高斯，你知道這老師問：高斯，你知道這個個V形架上共放著多少支鉛筆嗎？形架上共放著多少支鉛筆嗎？創(chuàng)設情景創(chuàng)設情景問題就是：問題就是：計算計算1 2 3 99 100高斯的算法高斯的算法計算：計算： 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個數(shù)可以分為50組： 第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組； 第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組； 第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組， 每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個101就等于5050了。高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運算，迅速準確得到了結果.首尾首尾配對配對相加相加法法中間的一中間的一組數(shù)是什組數(shù)是什么呢？么呢？問題呈現(xiàn) 泰姬陵坐落于印度古都阿

5、格，是泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕。之細致令人叫絕。 傳說陵寢中有一個三角形圖案，傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有共有100100層（見左圖），奢靡之程層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。度，可見一斑。你知道這個圖案一共花了多少寶你知道這個圖案一

6、共花了多少寶石嗎？石嗎？探究發(fā)現(xiàn)問題：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？ 這是求奇數(shù)個項和的問題，不能簡單模仿偶數(shù)個項求和的辦法，需要把中間項11看成首、尾兩項1和21的等差中項。 通過前后比較得出認識：高斯“首尾配對” 的算法還得分奇、偶個項的情況求和。 有無簡單的方法？ 探究發(fā)現(xiàn)問題：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？ 借助幾何圖形之直觀性，把這個“全等三角形”倒置，與原圖補成平行四邊形。探究發(fā)現(xiàn)問題：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？ 12321212019121(121)212s獲得算法：探究了以上兩個實探究了以上兩個實際問題的求和，我際問題的求和，我們對數(shù)列求

7、和有了們對數(shù)列求和有了一定的認識，那么一定的認識，那么能否將能否將“倒序相加倒序相加法法”推廣到任意一推廣到任意一個等差數(shù)列呢？個等差數(shù)列呢？這種方法不需分奇、偶個項的情況就可以求這種方法不需分奇、偶個項的情況就可以求和，很有創(chuàng)意，用數(shù)學式子表示就是：和，很有創(chuàng)意，用數(shù)學式子表示就是： 1+ 2+ 3+ 4+2121+20+19+18+1對齊相加（其中下第二行的式子與第一行的對齊相加（其中下第二行的式子與第一行的式子恰好是倒序）式子恰好是倒序）這實質(zhì)上是我們數(shù)學中一種求和的重要方法這實質(zhì)上是我們數(shù)學中一種求和的重要方法倒序相加法倒序相加法 若若V形架的的最下面一層放一支鉛筆，往上每形架的的最下

8、面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層一層都比它下面一層多放一支，最上面多放一支，最上面一層有很多支鉛筆，一層有很多支鉛筆，老師說有老師說有n支。問：支。問：這個這個V形架上共放形架上共放著多少支鉛筆？著多少支鉛筆？ 創(chuàng)設情景創(chuàng)設情景問題就是：問題就是：1 2 3 (n-1) n若用首尾配對相加法，需要分類討論若用首尾配對相加法，需要分類討論.三角形三角形平行四平行四邊形邊形nn) 1(321計算：2) 1() 1(321nnnnn (n-1) (n-2) 2 1倒序相加法倒序相加法 那么，對一般的等差數(shù)列，如何求它的前前n項和項和呢？前前n項和項和) 1() 1(3212nnnn分析：這

9、分析：這其實是求其實是求一個具體一個具體的等差數(shù)的等差數(shù)列前列前n項項和和.123nnSaaaa12()nnSn aa 1213212nnnnnSaaaaaaaa121321nnnnaaaaaaaa又問題分析問題分析已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列 an 的首項為的首項為a1，項數(shù)，項數(shù)是是n，第，第n項為項為如何才能將如何才能將等式的右邊等式的右邊化簡？化簡？121nnnnSaaaa1()2nnn aaS即求和公式求和公式1()2nnn aaS等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項和的公式：項和的公式：思考：（思考：（1）公式的文字語言；）公式的文字語言；11 ,naand由于1(1)2nn nSnad故（2

10、）公式的特點；）公式的特點；不含不含d可知三可知三求一求一1(1)2nn nSnad等差數(shù)列的等差數(shù)列的前前n項和等項和等于于首末兩項首末兩項的和與項數(shù)的和與項數(shù)乘積的一半乘積的一半。 dnnnaSn2)11 （dnaan)1(1 公式的記憶公式的記憶我們可結合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)我們可結合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前列前 n 項和公式項和公式.na1an1()2nnn aaS公式的記憶公式的記憶我們可結合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)我們可結合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前列前 n 項和公式項和公式.a1(n-1)dna1an將圖形分割成一個平行四邊形和一個三角形將圖形分割成一個平行四邊

11、形和一個三角形.1(1)2nn nSnad公式應用公式應用 根據(jù)下列各題中的條件，求相應的等差數(shù)列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=505002550 1()12nnn aaS解：10 (595)2500 1(1)22nn nSnad解：50 (50 1)50 100-222550例1、計算（1） 5+6+7+79+80（2） 1+3+5+（2n-1）（3）1-2+3-4+5-6+（2n-1）-2n-n例題講解例題講解n2 135+ 21n2 解：22nn2n 135+ 212+4+6+2nn3 解：原式21nn n1212nnn 3230提

12、示：提示：n=76法二：法二：1212222nnnn 例例2 2 在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，中， 已知已知 ，求求S S7.7.4053 aa1777()74014022aaS+=例題講解例題講解例題講解例題講解 例例3 3、20002000年年1111月月1414日教育部下發(fā)了日教育部下發(fā)了關于在中小關于在中小學實施學實施“校校通校校通”工程的通知工程的通知，某市據(jù)此提出了實，某市據(jù)此提出了實施施“校校通校校通”工程的總目標：從工程的總目標：從20012001年起用年起用1010年的時年的時間，在全市中小學建成不同標準的校園網(wǎng)。據(jù)測算，間，在全市中小學建成不同標準的校園網(wǎng)。據(jù)測算，

13、20012001年該市用于年該市用于“校校通校校通”工程的經(jīng)費為工程的經(jīng)費為500500萬元。萬元。為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加上一年增加5050萬元。那么，從萬元。那么，從20012001年起的未來年起的未來1010年內(nèi)，年內(nèi)，該市在該市在“校校通校校通”工程中的總投入是多少？工程中的總投入是多少？分析：分析：找關鍵句；找關鍵句；求什么，如何求；求什么，如何求；解：由題意，該市在解：由題意，該市在“校校通校校通”工程中每年投入工程中每年投入的資金構成等差數(shù)列的資金構成等差數(shù)列an，且，且a1=500,d=50,n=10

14、.故，該市在未來故，該市在未來10年內(nèi)的總投入為：年內(nèi)的總投入為：101010 110 5005072502S萬元答答變式練習變式練習 一個屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪?，最一個屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪?，最上面一層鋪瓦片上面一層鋪瓦?1塊，往下每一層多鋪塊，往下每一層多鋪1塊，斜面上鋪了塊，斜面上鋪了19層，共鋪瓦片多少塊？層，共鋪瓦片多少塊？解：由題意，該屋頂斜面每層所鋪的瓦解：由題意，該屋頂斜面每層所鋪的瓦片數(shù)構成等差數(shù)列片數(shù)構成等差數(shù)列an，且，且a1=21，d=1，n=19.于是，屋頂斜面共鋪瓦片：于是，屋頂斜面共鋪瓦片：191919 119 2115702S 塊答：屋頂斜面共鋪瓦片答：屋

15、頂斜面共鋪瓦片570塊塊.100,7*mNnnmmM且1007 n72147100nnM71a9814a7352)987(14nS例例4求集合求集合 的元素個的元素個數(shù)，數(shù)，并求這些元素的和并求這些元素的和.解：解：由由 得得正整數(shù)正整數(shù) 共有共有14個即個即 中共有中共有14個元素個元素即：即：7，14，21，98 是以是以 為首項，為首項，以以 為末項的等差數(shù)列為末項的等差數(shù)列.例題講解例題講解 例例5:5: 在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，中， 已知已知 ，求求S S7.7.4053aa補補 例例練習:已知一個共有n項的等差數(shù)列前4項之和為26,末四項之和為110,且所有項的和為18

16、7，求n.課堂練習課堂練習答案答案: 27練習練習1、練習練習2、等差數(shù)列10，6，2，2，的前_項的和為54？ na在等差數(shù)列中，120,54,999,.nnaaSn求答案答案: n=9，或，或n=-3（舍去）（舍去）14,541042n ndn 提示：20+549992n提示：仍是仍是知三知三求一求一1010課堂練習課堂練習在等差數(shù)列中，求1010011010010naSSS=解：101109101002Sad=+=課堂練習課堂練習100110099100102Sad=+=19102ad+=1991210ad+=1221099,100100da= -=11011101091101102Sad=+= -知識打包 存放備用an=a1+(n-1)d對于對于Sn、an 、a1、n、d 五個量，五個量，“知三求二知三求二”.2)(1nnaanSdnnnaSn2) 1(1方程方程(組組)思想思想(待定系數(shù)法待定系數(shù)法)倒序求和法倒序求和法 掌握與應用掌握與應用課堂小結課堂小結 1 1等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和的公式；項和的公式； 2 2等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項和公式的推導方法項和公式的推導方法倒序相加法；倒序相加法； 3.3.在兩個求和公式中在兩個求和公式中,各有五個元素各有五個元素,只要只要知道其中三個元素知道其