ch函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1ch函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算函數(shù)的連續(xù)性與連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算01010( )lim( ).( )xxxxexxx其其中中推廣推廣v 將 換成 , 及 , , 該法則仍然成立。 0 xx0 xx0 xxx x x 第1頁/共49頁v v v .0, )0, 0(lim0階無窮小階無窮小的的是是時時就說當(dāng)就說當(dāng)如果如果kxxkCCxkx v 第2頁/共49頁定理定理( (等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理) ).limlim,lim, 則則存在存在且且設(shè)設(shè)注注: :對于對于代數(shù)和代數(shù)和中各中各無窮小不能分別替換無窮小不能分別替換. .v v 1cosx2;2x1xa ln ;xa(1)1

2、x; x11nx1xn3300tansinlimlimsin 2(2 )xxxxxxxx 第3頁/共49頁用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:, 1lim lim0, ( ),o即即( ).o 于于是是有有例如例如,),(sinxoxx 221cos1().2xxo x,( ). o =+設(shè)設(shè)是是同同一一過過程程中中的的兩兩個個無無窮窮小小 則則 的的充充要要條條件件是是().是是的的主主要要部部分分 主主部部稱稱22()(), 0oxo xkk第4頁/共49頁例例5 5.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解55t ta an n x xx x

3、o o( (x x) ), ,),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 可用函數(shù)的近似表達(dá)來解決可用函數(shù)的近似表達(dá)來解決第5頁/共49頁一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、四則運(yùn)算的連續(xù)性三、四則運(yùn)算的連續(xù)性四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性四、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性五、初等函數(shù)的連續(xù)性五、初等函數(shù)的連續(xù)性 新課新課 第一章第一章 第6頁/共49頁第7頁/共49頁xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x

4、y y )(xfy 第8頁/共49頁定義定義1 1 設(shè)設(shè) 函數(shù)函數(shù)在在 內(nèi)內(nèi)有定義有定義，如，如果當(dāng)自變量的增量果當(dāng)自變量的增量 趨向于零時，對應(yīng)的函趨向于零時，對應(yīng)的函數(shù)的增量數(shù)的增量 也趨向于零，即也趨向于零，即 或或 ，那末就稱函數(shù)，那末就稱函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)連續(xù)， 稱為稱為 的連續(xù)點(diǎn)。的連續(xù)點(diǎn)。)(xf),(0 xUx y 0lim0 yx0)()(lim000 xfxxfx)(xf)(xf2.2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是0 x0 x0,xxx 設(shè)設(shè)第9頁/共49頁:定義定義 .)()(, 0, 000

5、xfxfxx恒有恒有時時使當(dāng)使當(dāng)定義定義2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 內(nèi)有定義內(nèi)有定義,如果如果函數(shù)函數(shù) 當(dāng)當(dāng) 時的極限存在時的極限存在,且等于它在且等于它在點(diǎn)點(diǎn) 處的函數(shù)值處的函數(shù)值 ,即即 那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)連續(xù). )(xf),(0 xU)(xf0 xx 0 x)(0 xf)()(lim00 xfxfxx )(xf0 x定義定義3設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 內(nèi)有定義內(nèi)有定義 )(xf),(0 xU稱函數(shù)稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)連續(xù). )(xf0 x第10頁/共49頁例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證)(lim0 xfx,

6、 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx xxx1sinlim0 , 0 .)(,)( 00處連續(xù)處連續(xù)在在也也它的絕對值它的絕對值處連續(xù)時處連續(xù)時在在當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)xxfxxf由定義由定義 2或或3 可推得：可推得：反之呢？反之呢？2( )fx第11頁/共49頁解解)(xf在在0 x連續(xù)，連續(xù)，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且00lim( )() ,xxf xf x )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都

7、連續(xù)都連續(xù).但但反之不成立反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不連連續(xù)續(xù)但但| )(|xf、)(2xf在在00 x連連續(xù)續(xù)思考題思考題夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則00()xx第12頁/共49頁3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理00函函數(shù)數(shù)f(x)f(x)在在 x x 處處連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)f(x)f(x)在在 x x處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù) . .)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxf

8、xfxfbxxf 00lim( )()xxf xf x即000lim( )lim( )()xxxxf xf xf x第13頁/共49頁:)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個個在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx .)(,0處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)要要有有一一個個不不滿滿足足如如果果上上述述三三個個條條件件中中只只xxf0(, )x (1) f(x)在在 內(nèi)有定義；內(nèi)有定義；第14頁/共49頁例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(l

9、im00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf第15頁/共49頁4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 如如果果函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )在在區(qū)區(qū)間間( (a a, ,b b) )內(nèi)內(nèi)有有定定義義，且且對對( (a a, ,b b) )內(nèi)內(nèi)每每一一點(diǎn)點(diǎn)f f( (x x) )連連續(xù)續(xù), ,則則稱稱函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )在在( (a a, ,b b) )內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù), ,( (a a, ,b b) )叫叫做做f f( (x x) )的的連連開開續(xù)續(xù)

10、區(qū)區(qū)間間. .如如果果函函數(shù)數(shù)在在開開區(qū)區(qū)間間( (a a, ,b b) )內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù), , 并并且且在在左左端端點(diǎn)點(diǎn)x xa a處處右右連連續(xù)續(xù), ,在在右右端端點(diǎn)點(diǎn)x xb b處處左左連連續(xù)續(xù), , 則則稱稱函函數(shù)數(shù)f f( (x x) )在在區(qū)區(qū)間間 a a, ,b b續(xù)續(xù). .閉閉 上上連連在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),稱函數(shù)在該區(qū)間稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，或者叫做在該區(qū)間上的上連續(xù)，或者叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷連續(xù)而不間斷的曲線的曲線.第16頁/共49頁.0, 0, 0, 0 , 2,sin)(,2

11、處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當(dāng)當(dāng) xxxaxxxbxxfba解解xbxxfxxsinlim)(lim00 , b )(lim)(lim200 xaxfxx , a , 2)0( f),0()00()00(fff 要使要使,2時時故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) ba.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 2 ba例例3第17頁/共49頁(但但在點(diǎn)在點(diǎn)x0的去心領(lǐng)域內(nèi)有定義的去心領(lǐng)域內(nèi)有定義 )第18頁/共49頁2243( )xf xxxx 函數(shù)函數(shù)的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)思考思考(但但在點(diǎn)在點(diǎn) x= 0 的去心領(lǐng)域內(nèi)有定義的去心領(lǐng)域內(nèi)有定義 )-1第19頁/共49頁.跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),

12、0()0(,)(0000的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)但但存在存在右極限都右極限都處左處左在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxfxfxxf 例例5 5.0, 0,1, 0,)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解00()f00()f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x1.第一類間斷第一類間斷點(diǎn)點(diǎn)oxy10,1,第20頁/共49頁.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)義則稱點(diǎn)義則稱點(diǎn)處無定處無定在點(diǎn)在點(diǎn)或或但但處的極限存在處的極限存在在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfxfAxfx

13、xfxx 例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解1 02(),f, 2)01( f11( ),f2)(lim1 xfx),1(f x = 1為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)第21頁/共49頁如例如例6中中,12( ),f若若令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn). .特特點(diǎn)點(diǎn).0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) xoxy112注意注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷

14、點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).第22頁/共49頁2.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(,)(00的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)在在右極限至少有一個不存右極限至少有一個不存處的左、處的左、在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxf例例7 7.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy00()f00()f.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間0, x = 0為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn).第23頁/共49頁例例8 8.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin

15、 ,0處沒有定義處沒有定義在在 x001x x且且當(dāng)當(dāng)x x時時, ,函函數(shù)數(shù)值值在在-1-1和和+1+1之之間間無無限限次次變變動動, ,故故limsinlimsin不不存存在在. .x x.0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間第24頁/共49頁o1x2x3xyx xfy 判斷下列間斷點(diǎn)類型判斷下列間斷點(diǎn)類型:第25頁/共49頁有幾個間斷點(diǎn)？有幾個間斷點(diǎn)？練練 習(xí)習(xí)( (書習(xí)題書習(xí)題P70 3(2) )跳躍跳躍可去可去無窮無窮1011, ( ), , xxf xxxx2211( )limnnnxf xxx第26頁/共49頁定理定理1 1.)0)

16、()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)故故xxxx.),()()(0處也連續(xù)處也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)為常數(shù)為常數(shù)xxgxf 三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).第27頁/共49頁取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg由右由右圖可圖可知知,max)(2xxxf 220011xxxxx

17、x xyo2xy xy 122 例例 補(bǔ)充補(bǔ)充第28頁/共49頁例例.)(),(min)( ),(),(max)( ,)(),(00處也連續(xù)處也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)那么函數(shù)那么函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxgxfxxgxfxxxgxf )()()()(21)(),(maxxgxfxgxfxgxf )()()()(21)(),(minxgxfxgxfxgxf 第29頁/共49頁,自變量自變量x,中間變量中間變量u,因變量因變量y,uy 設(shè)設(shè),12xu 21xy 例：例： fDR 注意注意: :1. 復(fù)合條件：復(fù)合條件：2.不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)的不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一

18、個復(fù)合函數(shù)的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 補(bǔ)充補(bǔ)充第30頁/共49頁2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成復(fù)合函數(shù)可以由兩個以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.cot2xy 可可復(fù)復(fù)合合成成. .,yu 例例如如由由,cotvu 2xv 3.函數(shù)復(fù)合應(yīng)注意其定義域函數(shù)復(fù)合應(yīng)注意其定義域.f xxxxfx( )arcsin, ( )2, ( ) 則的例定義域是：.1,322x22x第31頁/共49頁定理定理2 2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)續(xù)反函數(shù). .例如例如,2,2sin上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連續(xù)在在 x

19、y.1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上單調(diào)減少且連續(xù)上單調(diào)減少且連續(xù)在在同理同理 xy.,cot,arctan上單調(diào)且連續(xù)上單調(diào)且連續(xù)在在 xarcyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).第32頁/共49頁例如例如,), 0()0,(1內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xy.)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxx

20、u 定理定理3 3uuf u(x)00lim ( )()xxu xu x 00lim ( ) ()xxf u xf u x 00lim( )()uuf uf u 0,u 0lim ( )xxfu x 意義意義極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;第33頁/共49頁000 0 01x xx xx xa ax xa al li imm x xx xx xx xx xl li imml ln nx xlln nlliimmx xlln na a ( (a a) )l li imm a aa aa a( (a a, ,a a) )連續(xù)函數(shù)時連續(xù)函數(shù)時例如：例如：第34頁/共49頁三角函

21、數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的是連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在 定理定理5 5 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )第35頁/共49頁定理定理6 6 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是內(nèi)都是 連續(xù)的連續(xù)的. . 定義區(qū)間

22、是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .1. 初等函數(shù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)其定義域內(nèi)不一定連續(xù);注注意意例如例如, 1cos xy,4,2,0: xD這些這些孤立點(diǎn)孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義的鄰域內(nèi)沒有定義.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在點(diǎn)在點(diǎn)x= 0的鄰域內(nèi)沒有定義的鄰域內(nèi)沒有定義.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間第36頁/共49頁2. 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)求極限的方法代入法代入法.)()()(lim000定定義義區(qū)區(qū)間間 xxfxfxx211cos()limarctanxxxx 10

23、1cosarctan .4 例：例：3. 分段函數(shù)的連續(xù)性：各段內(nèi)部的連續(xù)性及各分段函數(shù)的連續(xù)性：各段內(nèi)部的連續(xù)性及各分段點(diǎn)處的連續(xù)性分段點(diǎn)處的連續(xù)性.練練習(xí)習(xí)1sin,0,( )ln(1),10,axxf xxxbx 求使函數(shù)求使函數(shù)連續(xù)的連續(xù)的 a, b 值值. (即即 作業(yè)本作業(yè)本P P1717 二二2)2)第37頁/共49頁1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)(見下圖見下圖)第38頁/共49頁可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x第39頁/共49頁連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法求極限的又一種方法.兩個定理兩個定理; 兩點(diǎn)意義兩點(diǎn)意義.反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性.第40頁/共49頁練練 習(xí)習(xí) 題題 一一第41頁/共49頁第42頁/共49頁一、一、1