從一道模擬題探究數(shù)列求和問題中∑ni=1an≤fn型不等式

1、    從一道模擬題探究數(shù)列求和問題中ni=1anfn型不等式    摘要：浙江省高考數(shù)學(xué)最后一道壓軸題由原來的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移到數(shù)列部分，它結(jié)合了不等式的性質(zhì)及證明等知識，包含數(shù)列放縮的思想方法；對不等式的理解掌握要求高，要求考生有較高的探究發(fā)現(xiàn)、運(yùn)算求解能力，試題難度大。其中關(guān)于數(shù)列求和的相關(guān)問題是重要的考查方向，本文通過一到模擬題歸納總結(jié)數(shù)列求和問題中ni=1anf（n）不等式的常規(guī)解法。關(guān)鍵詞：ni=1anf（n）型數(shù)列不等式；分析法；數(shù)學(xué)歸納法；構(gòu)造法課程改革以來，浙江省數(shù)學(xué)高考卷就以全面深入考查基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法的命題原則，多層次、多角

2、度的考查考生的思維能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng)，充分體現(xiàn)了考基礎(chǔ)、考能力、考素質(zhì)、考潛能和以考生發(fā)展為本的考試目標(biāo)；試題靈活，立意新穎，區(qū)分度高，選拔功能強(qiáng)。自2015年，浙江省高考數(shù)學(xué)最后一道壓軸題由原來的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)移到數(shù)列部分，它結(jié)合了不等式的性質(zhì)及證明等知識，包含數(shù)列放縮的思想方法；對不等式的理解掌握要求高，要求考生有較高的探究發(fā)現(xiàn)、運(yùn)算求解能力，試題難度大。其中關(guān)于數(shù)列求和的相關(guān)問題是重要的考查方向，數(shù)列求和問題常見的基本結(jié)構(gòu)形式有如下2種：ni=1ank（k為常數(shù)）；ni=1anf（n）；對于第種類型可根據(jù)題目特點(diǎn)利用等差模型、等比模型、錯位相減模型、裂項(xiàng)相消模型等進(jìn)行放縮證明，在本文不做研究。本文主

3、要探究ni=1anf（n）型數(shù)列不等式涉及的方法和技巧，現(xiàn)從一道模擬題開始探討：例已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=an+1an（nn*）。（）求證：2a2n+1-a2n3；（）求證：1a1+1a2+1an2n-1。解析：（）由題易知an是正項(xiàng)數(shù)列；由遞推公式an+1=an+1anan+1-an=1an>0所以an是遞增數(shù)列即an1。an+1=an+1an兩邊平方得：a2n+1=a2n+1a2n+2a2n+1-a2n=1a2n+22，3。（）題是典型的ni=1anf（n）型數(shù)列不等式先通過下面三種方法解決這一問題：方法1：利用分析法選擇切入點(diǎn)：（）中不等式累加可得：a2n2n-1，所以

4、1an12n-1，利用裂項(xiàng)的技巧當(dāng)n2時1an12n-1=222n-122n-1+2n-3=2n-1-2n-3經(jīng)過累加可證明結(jié)論。詳細(xì)解答如下：由（）可得：a2n-a2n-12，a2n-1-a2n-22，a23-a222，a22-a212，累加可得：a2n2n-1；開方后取倒數(shù)1an12n-1=222n-122n-1+2n-3=2n-1-2n-3；所以當(dāng)n2時從第二項(xiàng)開始放縮1a1+1a2+1an1+2×2-1-2×2-3+2n-3-2n-5+2n-1-2n-3=2n-1；當(dāng)n=1時顯然成立；綜上所述1a1+1a2+1an2n-1。證畢點(diǎn)評：數(shù)學(xué)問題是環(huán)環(huán)相扣的要善于發(fā)現(xiàn)題

5、目中的內(nèi)在聯(lián)系，難點(diǎn)是不等式1an12n-1=222n-122n-1+2n-3=2n-1-2n-3放縮，對不等式放縮技巧要求高，難度較大，我們是否可以在回歸到題目中所給的條件，從另外的角度去尋找思路？下面所給的方法2和方法3就是從全新的角度去思考和探究：方法2：數(shù)學(xué)歸納法利用題目中條件可得1an=an+1-an，所以 1a1+1a2+1an=an+1-a1，只需用數(shù)歸證an+12n-1+1，此時可用歸納等法法進(jìn)行證明。詳細(xì)解答如下：由an+1=an+1an可知1an=an+1-an，所以求證1a1+1a2+1an=a2-a1+a3-a2+an+1-an=an+1-12n-1，即證明：an+12

6、n-1+1，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時，a2=22×1-1+1；假設(shè)當(dāng)n=k時，ak+12k-1+1；當(dāng)n=k+1時，ak+2=ak+1+1ak+12k-1+1+12k-1+1。ak+2=ak+1+1ak+12k-1+1+12k-1+1下面證明： 2k-1+1+12k-1+12k+1+112k-1+12k+1-2k-1=22k+1+2k-1，2k+1+2k-122k-1+222k+1-2k-1=22k+1+2k-12k+1+2k-11因?yàn)?k+1+2k-11（k2）恒成立，所以2k-1+1+12k-1+12k+1+1，所以ak+22k+1+1；綜上由數(shù)學(xué)歸納法可得：an+12n

7、-1+1，所以1a1+1a2+1an2n-1。證畢方法3：構(gòu)造新的數(shù)列我們都知道數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的函數(shù)，反之對于f（n）我們可以把它看做是新數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，驗(yàn)證bn1an，那么此結(jié)論不攻自破。詳細(xì)解答如下：由（）可得：a2n-a2n-12，a2n-1-a2n-22，a23-a222，a22-a212，累加可得：a2n2n-1；開方后取倒數(shù)1an12n-1；構(gòu)造新的數(shù)列bn滿足：bn=1n=12n-1-2n-3n2，易知數(shù)列bn前n項(xiàng)和是2n-1；當(dāng)n=1時，b1=1a1；當(dāng)n2時，bn=2n-1-2n-3=22n-1+2n-322n-1+2n-1=12n-11an；綜上所述bn1an；所以1a1+1a2+1anb1+b2+bn=12n-1。證畢方法3是形如ni=1ai< p>設(shè)sn和tn分別為數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和，顯然，若an<bn（nn*），利用不等式的“同向可加性”這一基本性質(zhì)，則有sn< p>本題中方法1和方法2都是用數(shù)列求和中常規(guī)的方法去解決問題，方法3是利用數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特點(diǎn)構(gòu)造新數(shù)列進(jìn)行解題，對于同一道題目從多角度去思考感受數(shù)學(xué)的奧妙，感知探究的樂趣。數(shù)學(xué)是一門靈活開放的學(xué)科，它的思想方法