華東師大版九年級下冊：二次函數(shù)應(yīng)用題

1、二次函數(shù)應(yīng)用題教學(xué)目標(biāo)L掌握二次函數(shù)應(yīng)用題的幾類解法2 .掌握二次函數(shù)最值問題自習(xí)內(nèi)容號知識梳理題目分析及題目對學(xué)生的要求1 .求解析式：要求學(xué)生能夠根據(jù)題意建立相應(yīng)坐標(biāo)系，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題。需要注意的是：(1)不能忘記寫自變量的取值范圍(2)在考慮自變量的取值范圍時要結(jié)合它所代表的實(shí)際意義。2 .求最值：實(shí)際生活中的最值能夠指導(dǎo)人們進(jìn)行決策，這一問要求學(xué)生能夠熟練地對二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方， 利用解析式探討實(shí)際問題中的最值問題。最值的求法：(1) 一次函數(shù)和反比例函數(shù)中求最值是根據(jù)函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)的增減性來確定的,(2)二次函數(shù)求最值是將解析式配方后，結(jié)合自變量取值范用來確定的。3

2、.求范圍，要求學(xué)生利用解析式求實(shí)際問題中的范圍問題，主要是將函數(shù)與不等式結(jié)合起來。推薦思路：畫出不等式左右兩邊的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象求出x的取值范圍。備選思路一：先將不等號看做等號，求出x的取值，再結(jié)合圖象考慮將等號還原為不等號后x的取值范圍; 備選思路二：通過分類討論或者其它方法，直接解出這個不等式。這一問里需要注意的是在注意：最后下 結(jié)論時一定要結(jié)合它的實(shí)際意義和前而所求得的自變量取值范圍進(jìn)行判斷。，鴛例題講解一求利潤的最值 例L某賓館有50個房間供游客住宿，當(dāng)每個房間的房價為每天180元時，房間會全部住滿。當(dāng)每個房間每天的房價每增加10元時，就會有一個房間空閑。賓館需對游客居住的每個房間每

3、天支出20元的各種費(fèi) 用。根據(jù)規(guī)定，每個房間每天的房價不得高于340元。設(shè)每個房間的房價每天增加x元（x為10的正整數(shù)倍）。（1）設(shè)一天訂住的房間數(shù)為y,直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量工的取值范圍；（2）設(shè)賓館一天的利潤為卬元，求卬與x的函數(shù)關(guān)系式：（3） 一天訂住多少個房間時，賓館的利潤最大？最大利潤是多少元?解：（1）產(chǎn)50-5乂（0幺區(qū)160,且x是10的整數(shù)倍）。(2) W=(50-2 x)(180+x-20)=x2+34x+8000;(3) W= - - x2+34x+8000= - (x-170)2+10890,當(dāng) x<170 時，W 隨 x 增大而增大，但 0小160,

4、1010匚當(dāng)x=160時，W破大 =10880,當(dāng)x=160時，y=50-5x=34c答：一天訂住34個房間時，賓館每天利潤最大,最大利潤是10880元。二、求面積例2.星光中學(xué)課外活動小組準(zhǔn)備圍建一個矩形生物苗圃向其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆用 成.己知墻長為18米（如圖所示），設(shè)這個苗圃園垂直于墻的一邊的長為“米.（1）若平行于增的一邊的長為y米，直接寫出了與工之間的函數(shù)關(guān)系式及其自變量x的取值范圍： （2）垂直于塔的一邊的長為多少米時，這個苗圃園的面積最大，并求出這個最大值;（3）當(dāng)這個苗圃園的面枳不小于88平方米時，試結(jié)合函數(shù)圖像，直接寫出x的取值范圍.答案：2 3 .解：

5、（1）設(shè) y=30 2x （ 6x<l 5 ）（2 ）設(shè)矩形苗圃園的面積為S,則S=xy = x （ 3 0 - 2 x ） =- 2 x 2 + 3 0 xAS=-2 （X-7 . 5） 2+1 1 2. 5 由（1 ）知，6Wn<15二當(dāng)n = 7 . 5時，S最大值=1 12.5即當(dāng)矩形苗圃園垂直于墻的TS.的長為7.5米時，這個苗圃園的面積最大， 這個最大值為1 L 2 . 5.例3.如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE, ED, DB組成，己知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，拋物線的頂點(diǎn)C到ED的距離是11米，以E

6、D所 在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平而直角坐標(biāo)系.（1）求拋物線的解析式：（2）已知從某時刻開始的40小時內(nèi)，水而與河底ED的距離力（單位：米）隨時間，（單位：時）的變化滿足函數(shù)關(guān)系/一百M(fèi)延w。），且當(dāng)水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時，需禁止船只通行, 請通過計算說明：在這一時段內(nèi)，需多少小時禁止船只通行?解：（1）設(shè)拋物線的為？=ax：-ll,由題意得B （S, S）, 節(jié)人-11=8，解寫a=-工，64（2）水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時，即水面與河底ED的距高h(yuǎn)至多為6,.*6= -（t- 19） ?-S，128四.方案設(shè)計類問題 例4.宜萬鐵路開通后，給恩施州帶來了很大方便

7、.恩施某工廠擬用一節(jié)容積是90立方米、最大載重量為 50噸的火車皮運(yùn)輸購進(jìn)的A、B兩種材料共50箱.已知A種材料一箱的體積是1.8立方米、重量是0.4噸； B種材料一箱的體積是1立方米、重量是1.2噸：不計箱子之間的空隙，設(shè)A種材料進(jìn)了 x箱.（1）求廠家共有多少種進(jìn)貨方案（不要求列舉方案）？（2）若工廠用這兩種材料生產(chǎn)出來的產(chǎn)品的總利潤），（萬元）與x （箱）的函數(shù)關(guān)系大致如下表，請先根 據(jù)下表畫出簡圖，猜想函數(shù)類型，求出函數(shù)解析式（求函數(shù)解析式不取近似值），確定采用哪種進(jìn)貨方案能 讓廠家獲得最大利潤，并求出最大利潤.X1520253038404550y10約 27.5840約 48.20約

8、 49.10約 47.1240約 26.99t -1 -i-r r -t -i-r r t n-二 一二二二二 一 I二TT |丁十4.，|1十， rt-L Llr 1 廠L.LL 一二二二解答；解：（1）諼A和材料進(jìn)了 x箱，則B種材料進(jìn)了 50-X根據(jù)題章可知:1.8X + 50 -x<900.4x11.2 (50 -x) <50解得 12.5SXS5O工取整數(shù)，故有37種進(jìn)貨方案（2）由以上數(shù)據(jù)可知該函數(shù)為二次函數(shù), 設(shè)二次函數(shù)的解桁式為y=ax-bx-o0 510 152025 303540455055 x （ffi）由圖象可知二次函數(shù)經(jīng)過（15，10）（25，40） （4

9、5，40），將三點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式可得a=-0,1，b=7, c=-72.5.二次函數(shù)的解析式為y=-0.1x2-7x-72，5，0當(dāng)x=一1=35肝，能讓廠家獲潺最大利澗，2a最太:利潤為50.10萬元.1.某商品的進(jìn)價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件：如果每件商品的售價每上漲1元， 則每個月少賣10件（每件售價不能高于65元）.設(shè)每件商品的售價上漲x元（%為正整數(shù)），每個月的銷 售利潤為y元.（1）求y與1的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量式的取值范圍：（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月

10、的利潤恰為2200元？根據(jù)以上結(jié)論，請你直接寫出售價在什 么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？解：（1） y = （210-10a）（50 + x-40） = -10x2 +1 10a + 2100 （。vxW15且尤 為整數(shù)）：（2） y = -10（x-5,5）2 +2402.5.=-10<0, .當(dāng) x = 5.5 時，y 有最大值 2402.5.OvxW15,且x為整數(shù)，當(dāng)x = 5時，5O+x = 55 , y = 2400 （元），當(dāng)x = 6時，5O+x = 56 , y = 2400 （元）.當(dāng)售價定為每件55或56元，每個月的利潤最大，最大的月利潤是2400元.（3

11、）當(dāng) y = 22OO 時，-10x2 + 110x+2100 = 2200,解得：內(nèi)=1，2=10,.當(dāng) x = l 時，5O+x = 51 ,當(dāng) x = 10 時，50+x = 60 .當(dāng)售價定為每件51或60元，每個月的利潤為2200元.當(dāng)售價不低于51或60元，每個月的利潤為2200元.當(dāng)售價不低于51元且不高于60元且為整數(shù)時，每個月的利潤不低于2200元（或當(dāng)售價分別為51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60元時,每個月的利潤不低于2200元）.2 .某商品的進(jìn)價為每件30元，現(xiàn)在的售價為每件40元，每星期可賣出150件。市場調(diào)查反映：如果每件

12、的售價每漲1元（售價每件不能高于45元），那么每星期少賣10件。設(shè)每件漲價元（x為非負(fù)整數(shù)），每 星期的銷量為y件.二求y與的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍：二如何定價才能使每星期的利潤最大且每星期的銷量較大？每星期的最大利潤是多少？解：匚y = 150-10x,0x<5且x為整數(shù)：二當(dāng)售價為42元時，每周的利潤最大且銷量較大，最大利潤為1560元;3 .杰瑞公司成立之初投資1500萬元購買新生產(chǎn)線生產(chǎn)新產(chǎn)品，此外，生產(chǎn)每件該產(chǎn)品還需要成本60元.按 規(guī)定，該產(chǎn)品售價不得低于100元/件且不得超過180元/件，該產(chǎn)品銷售量y （萬件）與產(chǎn)品售價x （元） 之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.（1）求

13、y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范闈：（2）第一年公司是盈利還是虧損？求出當(dāng)盈利最大或者虧損最小時的產(chǎn)品售價：（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或者虧損最小時，第二年公司重新確定產(chǎn)品售價，能否使兩年共盈利達(dá)1340萬元？若能，求出第二年產(chǎn)品售價；若不能，請說明理由.W萬件解：設(shè)尸kx+b,則由圖象知：乃學(xué)胃 180k+b=12解得仁-玲，b=30,二產(chǎn)-1-x+30, 100<x<180： '10（2）設(shè)公司第一年獲利W萬元，則 W=（X - 60） y- 1500= - -x2+36x - 3300= - - （x- 180） 2 - 60< - 60

14、. 1010匚第一年公司虧損了，當(dāng)產(chǎn)品售價定為180元/件時，虧損最小，最小虧損為60萬元；（3）若兩年共盈利1340萬元，因?yàn)榈谝荒晏潛p60元，第二年盈利的為（x-60） y=x2+36x- 1800,10則-x2+36x - 1800 - 60=1340, 10解得 xi=200, xz= 1601Z100<x<180, ux=160,二每件產(chǎn)品的定價定為160元時，公司兩年共盈利達(dá)1340萬元.4 .某商品的進(jìn)價為每件40元，如果售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果售價超過50元但不超過 80元，每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣1件：如果售價超過80元后，若再漲

15、價，則每漲1元每 月少賣3件.設(shè)每件商品的售價為x元，每個月的銷售量為y件.（1）求y與的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量式的取值范圍：（2）設(shè)每月的銷售利潤為W,請直接寫出W與x的函數(shù)關(guān)系式：（3）每件商品的售價定位多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？解：(I) 5()Cx<S0 HLy = 210 - x -50) = -x+260.當(dāng)三 =BO 時，丁 = 180,當(dāng)兀)80 時,y = 1807(x-80) = -3j 4.420.y >。，x < )40,r - AT 4- 26050w*w60I -3F +42080 分r+300兀-104005OW”

16、W8。(2)*I -3x2+540x-1680080力 v 140.4分當(dāng)5OW”W8O時.W- -? +306-10400 二-x -150)： /12100,力的取似在對汴軸的左便I.y的x的增大而增大,所以當(dāng)工=»0時，111人工7200；8分當(dāng) »0<x<l4() 時，即=-3/+ 540x - I68CC-3(靠-，)' *7500,當(dāng)茉=9。時，Whn =7500 9分琮上可知.定件商品的外價定為90元時,每個月可供用加大利洞.幾大的月利澗是7500 元. 分5.某商場將進(jìn)貨價為30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個.調(diào)查表明：這種

17、書包的售價每上 漲1元，其銷售量就減少10個.(1)請寫出每月售出書包的利潤y (元)與每個書包漲價x(元)間的函數(shù)關(guān)系式：(2)設(shè)某月的利潤為10 000元，此利潤是否為該月的最大利潤，請說明理由：(3)請分析并回答售價在什么范圍內(nèi)商家獲得的月利潤不低于6000元.1壞之用，,=0. =50. （7兩數(shù)y=-10 J-23” *12 ”0的照像開口向下.對你軸為直線露= 25.與 y =800的交點(diǎn)為（O. 6000）和（50. 6000）,由圖例可知，為0（分50時.因當(dāng)皙價在不小于40元且不大于90元時，月利潤不低于6000元.一23. r- (40 1-30) (600-IOx), (

18、3 分) v ya -10 Cx-25)1 12 150；8分).10 000元不是最大利潤.因?yàn)楫?dāng)M =25 n轡價為65元時.可得爆大利射為12 250元;(5 分)（106 .如圖，排球運(yùn)動員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從0點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高 度y （ni）與運(yùn)行的水平距離工（m）滿足關(guān)系式，=。*-6）2+力.己知球網(wǎng)與0點(diǎn)的水平距離為9m,高度 為2.43m,球場的邊界距0點(diǎn)的水平距離為18m.(1)當(dāng)人=2.6時，求），與人的關(guān)系式（不要求寫出自變量工的取值范圍）當(dāng)力=2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由:若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界,(3)涪去故會出界求才的取值范圍.23、（1）尸=-55-6）、2.6/（2）當(dāng)x=9時.y=2 45243.所以球球網(wǎng)-X3當(dāng)尸0時，-2仁一6）；-2,6 = 0,解得：玉=6十刃39）18, ±=6W39 6U7 .把一邊長為40cm的正方形硬紙板，進(jìn)行適當(dāng)?shù)募舨?，折成一個長方形盒子（紙板的厚度忽略不計）.（1）如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個同樣大小的正方形，將