數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用(共13頁(yè))

1、 第5講 數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用一、知識(shí)整合 1數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，使用數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題能迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。2實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來(lái)的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯

2、的幾何意義。 3縱觀多年來(lái)的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。 4數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的如在解方程和解不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的值域，最值問(wèn)題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭(zhēng)取胸中有圖，見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野。二、例題分析 例1. 分析：， 例2. 解：法一、常規(guī)解法： 法二、數(shù)形結(jié)合解法： 例3. A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 1個(gè)或2個(gè)或

3、3個(gè) 分析：出兩個(gè)函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，故方程有2個(gè)實(shí)根，選（B）。 例4. 分析： 例5. 分析：構(gòu)造直線的截距的方法來(lái)求之。 截距。 例6. 分析：以3為半徑的圓在x軸上方的部分，（如圖），而N則表示一條直線，其斜率k=1，縱截 例7. MF1的中點(diǎn)，O表示原點(diǎn)，則|ON|=（ ） 分析：設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為F2，（如圖）， 又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點(diǎn)， ON是MF1F2的中位線， 若聯(lián)想到第二定義，可以確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求MF1中點(diǎn)的坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|ON|，但這樣就增加了計(jì)算量，方法較之顯得有些復(fù)雜。例8. 分析： 例9. 解法一（代數(shù)法）：，

4、 解法二（幾何法）： 例10. 分析：轉(zhuǎn)化出一元二次函數(shù)求最值；倘若對(duì)式子平方處理，將會(huì)把問(wèn)題復(fù)雜化，因此該題用常規(guī)解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個(gè)根號(hào)，故可采用兩步換元。 解： 第一象限的部分（包括端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，（如圖） 相切于第一象限時(shí)，u取最大值 三、總結(jié)提煉數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題是發(fā)揮著奇特功效，復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo)，加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度。四、強(qiáng)化訓(xùn)練見(jiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)?！灸M試題】一、選擇題： 1. 方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為（ ） A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè) 2. 函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的

5、取值范圍是（ ） A. B. C. D. 3. 設(shè)命題甲：，命題乙：，則甲是乙成立的（ ） A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件 C. 充要條件D. 不充分也不必要條件 4. 適合且的復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為（ ） A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 4個(gè) 5. 若不等式的解集為則a的值為（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4 6. 已知復(fù)數(shù)的最大值為（ ） A. B. C. D. 7. 若時(shí)，不等式恒成立，則a的取值范圍為（ ） A. （0，1）B. （1，2）C. （1，2D. 1，2 8. 定義在R上的函數(shù)上為增函數(shù)，且函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，則（ ） A. B. C. D. 二、填空題： 9

6、. 若復(fù)數(shù)z滿足，則的最大值為_(kāi)。 10. 若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，都有，則、由小到大依次為_(kāi)。 11. 若關(guān)于x的方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)。 12. 函數(shù)的最小值為_(kāi)。 13. 若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_。三、解答題： 14. 若方程上有唯一解， 求m的取值范圍。 15. 若不等式的解集為A，且，求a的取值范圍。 16. 設(shè)，試求下述方程有解時(shí)k的取值范圍。 【試題答案】一、選擇題 1. C 提示：畫(huà)出在同一坐標(biāo)系中的圖象，即可。 2. D 提示：畫(huà)出的圖象 情形1： 情形2： 3. A 4. C 提示：|Z1|=1表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的

7、圓，顯然點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)滿足條件，另外，點(diǎn)O對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)O，因其輻角是多值，它也滿足，故滿足條件的z有兩個(gè)。 5. B 提示：畫(huà)出的圖象，依題意，從而。 6. C 提示：由可知，z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓上， 而 表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離， 結(jié)合圖形，易知，此距離的最大值為： 7. C 提示：令， 若a>1，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)時(shí)， 要使，只需使，綜上可知 當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)恒成立。 若，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)時(shí)，不等式恒不成立。 可見(jiàn)應(yīng)選C 8. A 提示：f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個(gè)單位而得到的，又知f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=0（即y

8、軸）對(duì)稱，故可推知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，由f(x)在（）上為增函數(shù)，可知，f(x)在上為減函數(shù)，依此易比較函數(shù)值的大小。二、填空題： 9. 提示：|Z|=2表示以原點(diǎn)為原心，以2為半徑的圓，即滿足|Z|=2的復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓O上運(yùn)動(dòng)，（如下圖），而|z+1i|=|z（1+i）|表示復(fù)數(shù)Z與1+i對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)的距離。 由圖形，易知，該距離的最大值為。 10. 提示：由知，f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，又為二次函數(shù)，其圖象是開(kāi)口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知的大小。 11. 提示：設(shè)，畫(huà)出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程有四個(gè)不相等實(shí)根，只需使 12. 最小值為 提示：對(duì)，聯(lián)想到

9、兩點(diǎn)的距離公式，它表示點(diǎn)（x，1）到（1，0）的距離，表示點(diǎn)（x，1）到點(diǎn)（3，3）的距離，于是表示動(dòng)點(diǎn)（x，1）到兩個(gè)定點(diǎn)（1，0）、（3，3）的距離之和，結(jié)合圖形，易得。 13. 提示：y=xm表示傾角為45°，縱截距為m的直線方程，而則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點(diǎn)），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需直線的縱截距，即。三、解答題： 14. 解：原方程等價(jià)于 令，在同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出它們的圖象， 其中注意，當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖象在0，3）上有唯一公共點(diǎn)時(shí)，原方程有唯一解，由下圖可見(jiàn)，當(dāng)m=1，或時(shí)，原方程有唯一解，因此m的取值范圍為3，01。 注：一般地，研究方程時(shí)，需先將其作等價(jià)變形，使之簡(jiǎn)化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。 15. 解：令表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與x軸的交點(diǎn)），如下圖所示，表示過(guò)原點(diǎn)的直線系，不等式的解即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上方的部分所對(duì)應(yīng)的x值。 由