齊民友高數(shù)下冊(cè)復(fù)習(xí)考試

1、高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考試（下冊(cè)）第 8 章 空間解析幾何與向量代數(shù)一、 向量及其運(yùn)算1、空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系：三條兩兩垂直相交于原點(diǎn)的坐標(biāo)軸，x 軸、 y 軸和 z 軸構(gòu)成右手關(guān)系。（ 1） 學(xué)會(huì)： a）找出空間中給定點(diǎn)的坐標(biāo)。 b）找出空間中以給定 ( x , y , z ) 為坐標(biāo)的點(diǎn)。c）空間各部分點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)。（2）兩點(diǎn) M1( x1 , y1 , z1 ) 、 M2( x 2, y 2 , z2 ) 的距離公式d( M , M )M M( x2x)2( y2y)2( z2z)212121112、向量（ 1）向量的概念數(shù)量：只有大??；向量：既有大小又有方向。向量只有大小和方向。在空間中

2、用有向線段表示向量。 其長(zhǎng)度表示向量的大小也稱(chēng)為?；蚍稊?shù)； 其方向表示向量的方向。一個(gè)向量可以放在空間中任意位置。（ 2）特殊向量零向量 0 ：大小為0。任意方向都是 0 的方向。只有一個(gè)零向量。單位向量：大小為1。有無(wú)窮多個(gè)單位向量。如果a0，則ea1 aa是與 a 方向一致的單位向量，稱(chēng)為a 的單位化。（3）兩向量的關(guān)系向量 a 和 b 有夾角( a, b ), 0。當(dāng)(ab)ab ；當(dāng)ab)或a/b,時(shí)說(shuō)時(shí)說(shuō)。2（4）向量的坐標(biāo)把向量 a 的始點(diǎn)放在原點(diǎn)，得 a(,ay,az)(a)a 的分解式的終點(diǎn)M axOM，則有aax iay jaz k其中 i , j , k 是標(biāo)準(zhǔn)單位向量。a

3、x , ay , az是向量 a 的坐標(biāo)。 ax , ay , az分別是 a 在 x 、y 、z 軸上的投影；ax i, ay j, az k分別是a 在 x、 y、 z 軸上的投影向量。向量與坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)。向量的理論分為兩部分：向量理論。兩部分理論對(duì)應(yīng)地出現(xiàn)，互相翻譯。用幾何描述的向量理論和用坐標(biāo)描述的設(shè) M1( x1 , y1 , z1 ) 、 M2( x 2 , y 2 , z 2 )，則M1M2( x2x1 )i( y 2y1 )j( z2z1 )kx 2x1, y 2y1, z2z1（終點(diǎn)坐標(biāo)減始點(diǎn)坐標(biāo)。）始點(diǎn)坐標(biāo)、終點(diǎn)坐標(biāo)、向量坐標(biāo)知其二求第三。（5）模和方向余弦設(shè) aax ,

4、ay , az ，則aax2ay2az2cosaxa x2a y2az2cosayax2a y2az2cosaza 2a2a2xyz其 中, , 分 別 是 a 與 x 、 y 、 z 軸 的 夾 角 ， 它 們 支 定 了 a 的 方 向 。c o sc o sc o s1222。一次性求出三個(gè)方向余弦：1cos , cos, cosaa3、向量運(yùn)算（1）加減法a）幾何方法兩向量用平行四邊形法則或三角形法則（接龍法）相加。a 與 a 大小相等方向相反。ab a( b ) 。b）坐標(biāo)方法設(shè) aax , ay , az , bbx , by , bz，則a baxbx , ayby , azbz

5、（2）數(shù)乘向量a）幾何方法aa 。 a 的方向：當(dāng)0 時(shí)與 a 同向；當(dāng)0時(shí)與 a 反向。b）坐標(biāo)方法ax , ay , azax ,ay ,az（3）兩向量的數(shù)量積a）幾何方法a ba b cos(a, b)a prj abb prj b ab）坐標(biāo)方法設(shè) aax , ay , az , bbx , by , bz ，則a baxbxay byazbzc）物理意義位移 r 外力 F 做的功WF r（4）兩向量的向量積a b 是一個(gè)新的向量。a）幾何方法aba bsin( a , b ) ；( a b )a, ( a b)b, a, b, ab 成右手關(guān)系。b）坐標(biāo)方法設(shè) aax , ay ,

6、 az , bbx , by , bz ，則ijka bay bzazby , azbxax bz , axbyaybxaxayazbxbybzc）幾何意義ab以 a, b 為邊的平行四邊形的面積。（5）三向量的混合積a） a, b, c( ab) c 。 a, b , c b , c , a c , a, b 。b）幾何意義 a , b , c 以 a, b, c 為邊的平行六面體的體積。（6）熟悉各種運(yùn)算的運(yùn)算律。4、平行、垂直、共面條件（1）設(shè) aax , ay , az0, bbx , by , bz 。下列命題等價(jià)：a） a/ b ；b）存在實(shí)數(shù)使得 ba ；c） bx : axby

7、 : aybz : az ；d） ab0 。（2）下列命題等價(jià)：a） ab ；b） axbxaybyaz bz0 ；（3） a, b, c 共面 a, b , c 0 。二、 空間解析幾何1、一般概念空間幾何對(duì)象：曲面和曲線。平面是特殊的曲面，直線是特殊的曲線?？臻g解析幾何就是用代數(shù)方程研究幾何對(duì)象。幾何對(duì)象和它的代數(shù)方程K 的關(guān)系如下：（1）上每點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程K ；（2）坐標(biāo)滿(mǎn)足方程K 的點(diǎn)都在上?？臻g解析幾何的主要任務(wù):（ 1）根據(jù)已知條件寫(xiě)出幾何對(duì)象的方程；（ 2）根據(jù)幾何對(duì)象的方程分析幾何對(duì)象的形狀。2、空間解析幾何（1）平面a）點(diǎn)法式方程: (x0 )(y0 )(z0 )0A x

8、B yC z其中nA B C0 是的隨便一個(gè)固定的法向量，M 0 ( x0 , y0, z0 )是隨便固定的, ,一點(diǎn)。利用條件求出n,M 0 即可寫(xiě)出平面的點(diǎn)法式方程。b）一般方程:AxByCzD0其中nA B C, ,0 是的法向量。( 0,0,0)D0/ x( y , z ) 軸A( B, C)0可以用一般式方程寫(xiě)滿(mǎn)足條件的平面方程。利用條件求出A, B,C , D 即可寫(xiě)出平面的一般方程。c）三點(diǎn)式方程i ）取 nM1M2M1M3 , M0M1ii ）寫(xiě)出點(diǎn)法式方程。d）截距式方程如果平面與 x , y , z 軸分別交于非原點(diǎn)( a,0,0), ( 0, b,0), ( 0,0, c

9、 ) ，則: xyz1abce）點(diǎn) M0( x 0 , y 0 , z0 ) 到平面: AxByCzD 0的距離df ）設(shè)Ax0By0Cz0DA2B2C2:101Ax B1y C1z D12 :A2 x B2 y C2z D20則cos(1 ,n1n2A1A2B1 B2C1C22 )A12B12C12A22B22C22n1 n212n1n2A1 A2B1B2C1C201 /2n1 / n2A1: A2B1:B2C1:C2（2）直線a）點(diǎn)向式方程l : xx 0y y 0zz 0mnp其中sm n,p0 是 l的隨便一個(gè)固定的方向向量，M 0 (x0, y0, z0 ) l是隨便固定的,一點(diǎn)。利

10、用條件求出s, M 0 即可寫(xiě)出直線的點(diǎn)向式方程。b）參數(shù)方程xx0mtl: yy 0ntzz 0pt其中sm n,p0 是 l的隨便一個(gè)固定的方向向量，( x, y0, z) l是隨便固定的,00一點(diǎn)， t 是參數(shù)。c）一般方程l:1 : A1x B1y C1z D102 : A2x B2y C2 z D20l 作為平面 1 和2 的交線。d）點(diǎn)向式方程l :xx 0yy 0zz 0mnp化為一般方程xx 0yy 0l:mny 0zz 0ynpe）一般方程化點(diǎn)向式方程：i ）求出 l 方程組的一個(gè)解M0( x 0 , y 0 , z0 ) ；ii ）取 s n1 n2A1, B1 ,C1A2

11、,B2,C2；iii ）用 M0( x 0 , y 0 , z0 ) 和 s 寫(xiě)出點(diǎn)向式方程。f ）兩直線l 1 : xx1yy 1zz1mnp111l 2 : xx 2yy 2zz2m2n2p2的夾角cos(l1,l 2 )s1 s2m1m2n1n2 p1 p2s1 s2m12n12p12 m22n22p22l 1l 2s1s212n1n2p1 p20mml 1 / l 2s1 / s2m1 : m2n1 : n2p1 : p2直線lx x0y y 0z z 0:npm與平面: AxByCzD0的夾角sin(l ,s nAmBnCp)A2B2C 2m2n2p2s nls /nm : A n

12、:B p : Cl /snmAnBpC0g）過(guò)直線l:1 : A1x B1y C1z D102 : A2x B2y C2 z D20的平面束: A1xB1yC1zD1( A2xB2yC2zD2 )0用已知條件確定，從而在平面束中求出滿(mǎn)足要求的平面。（ 3）常見(jiàn)的空間曲面（ 1）柱面二 元 方 程 F( x , y )0( 或 F( z , y )0或 F( x , z )0) 在 空 間 中 表 示 母 線 平 行 于z( 或 x或 y )軸的柱面。（2）旋轉(zhuǎn)曲面曲線 f ( y , z)0 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為x0f ( y , z 2x 2 ) 0其它曲線繞其它軸轉(zhuǎn)的情況

13、類(lèi)似（請(qǐng)你試寫(xiě)出來(lái)）。（3）二次曲面a）學(xué)會(huì)用“截痕法”分析曲面的形狀。b）熟悉 P56-P64 列出的各種二次曲面及它們的方程。c）特別常用的曲面：柱面、錐面、（橢）球面、拋物面。（4）空間曲線a）空間曲線的一般方程（曲線作為兩曲面的交線）F( x, y , z )0G( x , y , z )0參數(shù)方程x x(t )y y(t )zz(t )b ）由一般方程寫(xiě)參數(shù)方程的常用方法：先由一般方程變形出( )12( )221 ；令( )1 cos , ( )2sin；再進(jìn)一步寫(xiě)出參數(shù)方程。c）曲線在坐標(biāo)平面上的投影由方程F( x, y , z )0G( x , y , z ) 0消去 z( 或

14、x或 y ) 得到在 xy ( 或 yz 或 zx ) 面上的投影H( x , y )0 或 H( y , z)0或 H( z, x )0z0x 0y0第 9 章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、 多元函數(shù)的極限和連續(xù)性1 多元函數(shù)的極限（ 1）計(jì)算多元函數(shù)極限的方法： （ i ）要善于變形； （ ii）把一組東西看出一個(gè)整體，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限，再用一元函數(shù)求極限的方法求極限。（2）證明極限 lim fx, y 不存在：舉一些xx0 的方式（比如 yy0 k (x x0 ) ），使xx0yy0yy0極限不存在或與方式（k ）有關(guān)。2 多元函數(shù)的連續(xù)性（ 1）證明f 在 ( x0 , y0 ) 點(diǎn)

15、不連續(xù)：（ i ）用前面方法證明lim f x, y 不存在；或（ ii ）求出xx0yy0lim fx, yfx0 , y0。xx0yy0（2）證明 f 在 ( x0 , y0 ) 點(diǎn)連續(xù)就是證明 limf x, yfx0 , y0。xx0yy0二、 偏導(dǎo)數(shù)和全微分1偏導(dǎo)數(shù)（ 1 ） f x, y在 (x0 , y0 )點(diǎn) 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 分 兩 步 ：（ i ） 作 一 元 函 數(shù)xf x, y0 ,yf x0 , y；（ ii ） f xx0 , y0x0 , f y x0 , y0y0。因此f x x0, y0limf x0x, y0f x0 , y0, f yx0 , y0limf

16、x0 , y0yf x0 , y0x0xy 0y（2）偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義： （ i） f xx0 , y0=曲線zfx, y0在 x 0 , y 0點(diǎn)切線對(duì) x 軸的yy0斜率；（ ii ）曲線zf x, y0在 x 0 , y0點(diǎn)切線對(duì)z 軸的斜率 =1。關(guān)于yy0f x x0 , y0f y x0 , y0 完全類(lèi)似。（3）當(dāng)相應(yīng)的高階導(dǎo)數(shù)連續(xù)時(shí)，高階偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)。2全微分（1）全微分概念如果存在與x 和y 無(wú)關(guān)的 A x0 , y0和 B x0 , y0使z f x0x, y0yf x0 , y0A x0 , y0x B x0 , y0 yx 2y 2則稱(chēng) f 在 ( x0 , y

17、0 ) 點(diǎn)可微。f 在 (x0 , y0 ) 點(diǎn)的全微分dz A x0 , y0x B x0 , y0y A x0 , y0 dx B x0 , y0 dy關(guān)于任意點(diǎn)(x, y) 的全微分，上面( x0 , y0 ) 改為 (x, y) 。當(dāng) ( x, y) 是復(fù)合函數(shù)的中間變量時(shí)，全微分公式也一樣。（2）如果f 在 ( x0 , y0 ) 點(diǎn)可微，則f 在 (x0 , y0 ) 點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)都存在，并且dzf x x0 , y0xf y x0 , y0yf x x0 , y0 dxf y x0 , y0 dy（3）（ i） f 在 (x0 , y0 ) 點(diǎn)可微f x0x , y 0yf x 0

18、 , y 0f x x 0 , y 0 xf y x0 , y 0ylim0x0x 2y 2y0(ii) 證明 f 在 ( x0 , y0 ) 點(diǎn)不可微就是證明極限limfx0x, y0yf x0 , y0f x x0 , y0xf y x0 , y0yx0y0不存在或不為0。3 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（ 1）一般函數(shù)求導(dǎo)方法：此一元函數(shù)求導(dǎo)。x2y 2（ i）保留求導(dǎo)變?cè)?，固定其他變?cè)獮槌?shù)，得一元函數(shù)；（ii ）對(duì)（2）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法：（ i）畫(huà)復(fù)合函數(shù)圖； （ ii ）根據(jù)復(fù)合函數(shù)圖寫(xiě)求導(dǎo)公式（設(shè)對(duì)x 求導(dǎo)）：每個(gè) x 所在的路徑都對(duì)應(yīng)一項(xiàng)：此路徑中的每個(gè)相鄰函數(shù)關(guān)系都求導(dǎo)，這些導(dǎo)數(shù)相乘作公式的一

19、個(gè)求導(dǎo)項(xiàng)； （ iii ）根據(jù)求導(dǎo)公式求得偏導(dǎo)數(shù)。（iv ）利用低階偏導(dǎo)數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)，遇到求偏導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，各階偏導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)有相同的函數(shù)圖。（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)一定要求到底！）（3）隱函數(shù)求導(dǎo)方法： （i ）把隱函數(shù)變量看作其它變量的函數(shù)得恒等式（組）；（ ii）對(duì)恒等式（組）兩邊求導(dǎo)得含所求導(dǎo)數(shù)的方程（組）；（ iii ）解方程（組）得所求導(dǎo)數(shù)；（ iv ）求隱函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)有兩種方法：(a) 利用低階偏導(dǎo)數(shù)求高階偏導(dǎo)數(shù)；(b)繼續(xù)對(duì)求低階導(dǎo)數(shù)時(shí)得的方程（組）求導(dǎo)，得含高階導(dǎo)數(shù)的方程（組），解此方程（組）得高階導(dǎo)數(shù)。不管用哪種方法，都要代入低階導(dǎo)數(shù)的結(jié)果，都要清清楚楚地知道哪里含有要求導(dǎo)

20、的變量。隱函數(shù)求導(dǎo)也可解出隱函數(shù)再求導(dǎo)。反函數(shù)看作隱函數(shù)處理。4 連續(xù)、可導(dǎo)、可微、偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的關(guān)系偏可導(dǎo)th× C3導(dǎo)可數(shù)C2× × C3微連續(xù)th連續(xù)反例：x 2y 2 sin 212 , x2y 20；x2xyy2 ,x2y20C1：xy：都；C2 x C30,xy00,xy0在(0,0) 點(diǎn)。要熟悉一些典型例題。三、 多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1曲線x x t L： y y t z z t在x t0, y t0, z t 0的切向量x t 0 , y t0 , z t0切線： xx t0yy t 0zz t0x t 0yt 0zt 0法平面： x t 0 xx

21、t 0y t0yy t0z t0 zz t00如果 L： yy xxx則用 x 作參數(shù) L： yy x 。（用 y 或 z 作參數(shù)的情況類(lèi)似）zz xzz x2曲面：F x, y, z0 在 x0 , y0 , z0 點(diǎn)的法向量nFx x0 , y0 , z0 , Fy x0 , y0 , z0 , Fz x0 , y0 , z0切平面：Fx x0 , y0 , z0x x0F y x0 , y0 , z0y y0Fz x0 , y0 , z0 z z0 0法線：x x0yy0zz0Fx x0 , y0 , z0Fy x0 , y0 , z0Fz x0 , y0 , z0當(dāng)曲面以參數(shù)方程給出時(shí)

22、，消去參數(shù)變成一般方程再做。3 方向?qū)?shù)與梯度（1） f x, y, z 在點(diǎn)x0 , y0 , z0 沿方向l 的方向?qū)?shù)ff x0 t cos, y0t cos , z0t cosf x0 , y0 , z0limtlx0 , y0 , z0t0f x x0 , y0 , z0 cosf y x0 , y0 , z0cosf zx0 , y0 , z0 cos其中 cos,cos, cos是 l 的方向余弦。求 f x, y, z在 點(diǎn) x0 , y0 , z0 沿 方 向 l 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 方 法 ：（ i ） 求 導(dǎo)f x x0 , y0 , z0 , f y x0 , y0

23、 , z0 , f z x0 , y0 , z0； （ ii） 求l的方向余弦1 lcos, cos,cos；（ iii ）代入上面公式。有時(shí)要用上面極限求方向?qū)?shù)。l（ 2） f x, y, z 在點(diǎn) x0 , y0 , z0 的梯度grad ffx x0 , y0 , z0 , f y x0 , y0 , z0 , f z x0 , y0 , z0x0 , y0 , z0梯度是方向?qū)?shù)最大的方向，梯度的反方向是方向?qū)?shù)最小的方向，與梯度垂直方向的方向?qū)?shù)為0：grad f,l 與梯度同向x0 , y0 , z0f- grad f,l 與梯度反向 。l x0 , y0 , z0x0 , y0

24、 , z00，l 梯度梯度是等值面的法向量。4 極值與最值（1）無(wú)條件極值如果存在去心鄰域UUx0 , y0 ,使f x , y f x0 , y0 , x , yU則稱(chēng)x0 , y0為 fx, y 的極大值點(diǎn)，稱(chēng)為的極大值。可見(jiàn)，極值是小范圍的小小最值。如果 fx, y在 x0 , y0點(diǎn)有二階偏導(dǎo)數(shù)，必要條件：f xx0 , y00；f yx0 , y00ACB20A0x0 , y0 是f的極大值點(diǎn)；充分條件：A0x0 , y0 是f的極小值點(diǎn)；其中B 2AC0x0 , y0不是 f的極值點(diǎn)。A f xx x0 , y0 , Cf yy x0 , y0 , Bf xy x0 , y0 。解

25、無(wú)條件極值問(wèn)題的方法：求出 f xx（ i ）f x求出f y, ；x, y 或f yy x, y 或f xy x, y 不存在的全部點(diǎn)： x1, y1, xn , ynx, y0的全部解：x1 , y1 , , xm , ym(ii) 用定x, y0 逐點(diǎn)判定；用充分條件對(duì)x1 , y1 , xm , ym 逐點(diǎn)判定。是否極值義對(duì) x1, y1 , xn , yn點(diǎn)，是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，一定要有明確的結(jié)論；(iii)必要時(shí)求出相應(yīng)的極值。（2）最值fx, y在 (閉) 區(qū)域D 上的最大（小）值點(diǎn)有兩種可能在 D的邊界 D 上；因此在 D 的內(nèi)部。求最大（?。┲档姆椒ǎ海?i ）求 fx,

26、 y在 D 的最大值M （最小值 m ）；（ ii ）求出f xx x, y 或 f yy x, y 或f xy,；x, y 不存在的全部點(diǎn)： x1, y1xn , ynf xx, y0的全部解：x1 , y1, xm , ym（ iii ）結(jié)果f yx, y0最大值max M , f, fx1 , y1, fxm , ymx1 , y1, f xn , yn最小值min m, f,x1, y1, f xm , ymx1, y1, f xn, yn , f如果根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際知：最大（?。┲翟贒 內(nèi)部取得，并且，在D 內(nèi)部到處可導(dǎo)且只有唯一個(gè)駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)，則這點(diǎn)就是最大（?。┲迭c(diǎn)。5 條

27、件極值z(mì)fx1 , , xn條件極值問(wèn)題1x1 , xn0的解法：mx1 , xn0（i ）寫(xiě)拉格朗日函數(shù)Lf x, xn11 x, xnmm x, , xn ；（ii ）求函數(shù) L 非條件極值的駐點(diǎn)（1 , m 不用解出）；（iii ）根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際判斷每個(gè)駐點(diǎn)是否極值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)。6 泰勒公式設(shè)函數(shù) f x , y 充分可導(dǎo)，則f x 0 h, y 0kn 1 hif ( x 0 , y 0 )xkf ( x0, y0 )i 1 i !y( n其中 01 。有時(shí)可以把一組東西看作一個(gè) t ，利用一元函數(shù)寫(xiě)出關(guān)于到原函數(shù)的泰勒公式。四、 相關(guān)題目1求多元函數(shù)的極限；2證明多元函

28、數(shù)在某點(diǎn)的極限不存在；3證明多元函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)（連續(xù)）；4求給定多元函數(shù)（在某點(diǎn)）的偏導(dǎo)數(shù)；5求多元函數(shù)（在某點(diǎn)）的全微分；6求多元復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)的一階或高階偏導(dǎo)數(shù)，或全微分；1n1hkf ( x 0h, y 0k )1)!xyt 的泰勒公式，再把t 代回得7求曲線在某點(diǎn)的切線方程、法面方程；求曲面在某點(diǎn)的切面方程、法線方程；（可能要先根據(jù)已知寫(xiě)出方程）8求給定函數(shù)在某點(diǎn)的梯度，在某點(diǎn)沿某方向的方向?qū)?shù)；9求函數(shù)的極值、最大（?。┲?、條件極值；10證明多元函數(shù)在某點(diǎn)不可導(dǎo)（不可微或?qū)Ш瘮?shù)不連續(xù)）。第 10章重積分一、 二重積分1二重積分的概念設(shè) D 是平面上的有界閉區(qū)域，fx, y 是 D

29、 上有界函數(shù)。分割：把 D 分割為 n 個(gè)小區(qū)域：1 ,n“近似”：i , ii ，作fi , iinfi ,求和：iii 1取極限：記maxi ，in不存在，稱(chēng) fx, y 在 D 上不可積；limfi ,iiA存在，稱(chēng) A為 f x, y 在 D上的二重積分，記為0i 1nfx, y dfx, y dxdylimf i , ii0DDi1當(dāng) f x, y有了實(shí)際意義，f x, y dD也相應(yīng)地有實(shí)際意義。例如，如果fx, y是質(zhì)量面密度，則二重積分就是D 的總質(zhì)量；當(dāng)f x, y 是以 D 為底的曲頂柱體的高度函數(shù)時(shí)，二重積分是此曲頂柱體的體積。0d0,f x, y d0 D的面積0 ，

30、dD的面積DDD2二重積分的性質(zhì)（1）線性性f x, yg x, y df x, y dg x, y dDDD（2）可加性如果 D 分割成兩個(gè)區(qū)域D1 和 D2 ，則f x, y df x, y df x, y dDD1D2（3）單調(diào)性如果f x, yg x, y ,x, yD則f x, y dg x, y dDD特別，如果fx, y()0,x, yD則fx, y d()0D如果mf x, yM ,x, yD則mf x, y dMD其中是 D 的面積。（4）中值定理如果f x, y 在 D 上連續(xù)，則存在,D 使f x, y df,D其中是 D 的面積。3二重積分的計(jì)算（1）直角坐標(biāo)X- 型區(qū)域Y-型區(qū)域Dx, yy1xyy2x , axbDx, y x1yxx2y ,cyd其中，小y邊界：yy1x；大y邊界：其中，小x邊界：xx1y ；大x邊界：yy2x。 axbxx2y。yydDDxcOabOx如果D 是X- 型區(qū)域，則（后x 積分）fx, y dby2xx, y dyby2xfx, y dy dxdxfy1Day1xax如果 D 是 Y-型區(qū)域，則（后y 積分）fx, y ddx2yx, y dxdx2yf