高數全套公式

1、名師推薦精心整理學習必備初等數學基礎知識一、三角函數1公式同角三角函數間的基本關系式：·平方關系：sin2( )+cos2( )=1; tan2( )+1=sec2( );cot2( )+1=csc2( )·商的關系：tan =sin /cos cot =cos /sin ·倒數關系：tan · cot ; =1sin · csc ; =1cos · sec =1三角函數恒等變形公式：·兩角和與差的三角函數：cos( + )=cos · cos-sin· sin cos( - )=cos · c

2、os +sin · sin sin( ± )=sin · cos ± cos · sin tan( + )=(tan +tan -tan)/(1· tan )tan( - )=(tan -tan )/(1+tan· tan )倍角公式：sin(2 )=2sin· cos cos(2 )=cos2()-sin2( )=2cos2( -)1=1- 2sin2()tan(2 )=2tan-/1tan2( )·半角公式：sin2( /2)=(1-cos )/2cos2( /2)=(1+cos )/2tan2( /

3、2)=(1-cos )/(1+cos)tan( /2)=sin /(1+cos-cos)=(1 )/sinsin =2tan( /2)/1+tan2( /2)cos =1-tan2( /2)/1+tan2( /2)tan =2tan( /2)/1-tan2( /2)·積化和差公式：sin· cos =(1/2)sin( +-)+sin(cos · sin =(1/2)sin(- sin(+)-)名師推薦精心整理學習必備cos · cos =(1/2)cos( + )+cos(-) sin · sin-=(1/2)cos( +-)cos( - )

4、·和差化積公式：sin +sin =2sin( + )/2cos(-)/2 sin -sin =2cos( + )/2sin(- )/2cos +cos =2cos( + )/2cos(- )/2cos -cos =-2sin( + )/2sin(- )/22特殊角的三角函數值0(0)6432f ()(30 )(45 )(60 )(90 )cos13 / 22 / 21/ 20sin01/ 22 / 23 / 21tan01/313不存在cot不存在311/ 30只需記住這兩個特殊的直角三角形的邊角關系，依照三角函數的定義即可推出上面的三角值。456021214530133 誘導公式

5、：函數sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90°-cos sin ctg tg 90°+cos -sin -ctg -tg 180°-sin -cos -tg -ctg 180°+-sin -cos tg ctg 270°-cos -sin ctg tg 270°+-cos sin -ctg -tg 360°-sin cos -tg -ctg 360°+sin cos tg ctg 記憶規(guī)律：豎變橫不變（奇變偶不變），符號看象限（一全，二正弦割，三切，四余弦割即第一象限全是正的，第二象限

6、正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）二、一元二次函數、方程和不等式b 24ac000名師推薦精心整理學習必備一元二次函數yax 2bxc(a0)x1x2有二互異實根x1 .2一元二次方程bb24ac有二相等實根 (有一根 )b無實根ax 2x1, 2bx c02ax1,22a一元(x1x2 )b二ax 2bx c0x Rxx1或 xx2x次2a不等式ax 2bx c0x1x x2xx( a0)三、因式分解與乘法公式(1)a2b2(ab)(ab)(2) a22abb2(ab) 2(3)a22abb2( ab) 2(4) a3b3( ab)(a2abb2 )(5)a3b

7、3( ab)(a2abb2 )(6) a33a2b 3ab2b3(ab)3(7) a33a2b 3ab2b3(ab) 3(8)a2b2c22ab2bc2ca(a bc)2(9) anbn(ab)(an1an2bab n2bn 1),( n 2)四、等差數列和等比數列1. 等差數列通項公式： ana1n1 d前 項和公式Snn a1 an或Snna1n n1n22d2. 等比數列 GP通項公式ana1qn 1an0， q0名師推薦精心整理學習必備前 項和公式.na11qn1Sn1qqna1q1五、常用幾何公式平面圖形名稱符號正方形a 邊長長方形a 和 b邊長三角形a,b,c 三邊長h a 邊上的

8、高s周長的一半A,B,C 內角其中 s(a+b+c)/2平行四邊形a,b 邊長h a 邊的高兩邊夾角菱形a邊長夾角D 長對角線長d短對角線長梯形a 和 b上、下底長h高m 中位線長圓r半徑d直徑扇形r 扇形半徑a 圓心角度數圓環(huán)R 外圓半徑r內圓半徑D 外圓直徑d內圓直徑橢圓D 長軸d短軸周長C和面積 SC 4aS a 2C 2(a+b)S abSah/2 ab/2 ·sinC s(s-a)(s-b)(s-c) 1/2a2sinBsinC/(2sinA)S ah absin S Dd/2 a2 sin S (a+b)h/2 mhC d 2r2S r2 d/4C 2r 2 r 

9、5; (a/360)2S r×(a/360)S (R2 -r2 ) (D2-d 2)/4S Dd/4立方圖形名稱符號表面積 S 和體積 V名師推薦精心整理學習必備正方體a邊長S 6a2V a3長方體a長S 2(ab+ac+bc)b寬V abcc高圓柱r底半徑C2rh高S2C 底面周長底rS 側ChS 底 底面積S 表Ch+2S2S 側 側面積底= Ch+2r2VSh rS 表 表面積底圓錐r底半徑2V rh/3h高球r半徑3V 4/3 rd直徑3 d/62S= 4r2 d基本初等函數名表達式定義域圖形特性稱yC常y CR數函0x數1.8過點 (1，1);冪y x隨 而異，但在R 上函

10、均有定義數指ya x數a 0函aR數11.6y=x3y=x1.40時在 R1.2y=x1/31單增；0.8y=x -10時在 R0.60.4y=x -2單減0.200.20.40.60.811.21.41.61.804.54xyxy0 y=a3.5y=a3過點 0,1 2.5a1單增20<a<11.50a 1單減1(0,1)0.5m0xamanam n aam n, am nam n-0.5o,na-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5名師推薦精心整理學習必備對ylog a xR數a0函 a 1數正弦ysin xR函數余弦ycos xR函數yOy1- /2O-1y

11、1-/2O-1(1,0)/2/2yy=logxaa>1x0<a<1y=logxa3/22x3 /22x過點 1,0 a 1單增0 a 1單減loga a1,loga 10,M , N0logaMNloga Mloga N ,logaMlog a Mlog a N ,Nloga M pP loga M ,loga blog c bc0,1 ,log c aloga axx( x0)aloga xx( x0)奇函數T 2 y 1偶函數T 2 y 1奇函數正ytan xx k切2函k Z數余xk,切y cot xkZ函數- /2O/2xy-OxT 在每個周期內單增奇函數T 在每個周

12、期內單減名師推薦精心整理學習必備反正弦yarcsin x1,1函數反余1,1 y arccos x弦函數反正yarctan xR切函數反余切yarc cot xR函數極限的計算方法一、初等函數：1.lim CC (C是常值函數）y/2-1o1x-/2y/2-1o1xy/2ox- /2y/2ox奇函數單增y 22單減0y奇函數單增y 22單減0y若fx（即fx是有界量），（即是無窮小量），lim f x0,2.Mlim0特別 : fxClim C0若fx（即fx是有界量）limf x0,3.M特別 : fxCC0Clim04.lim CC0C005.未定式1 0 型0分子,分母含有相同的零因式,

13、消去零因式A.等價無窮小替換(常用xB.sin x x,e 1 x,ln x 1 x)名師推薦精心整理學習必備洛必達法則：要求fx , g x存在,且fx 存在,此時, limf xfxC.limxg xlimxgg2型A.忽略掉分子 , 分母中可以忽略掉的較低階的無窮大, 保留最高階的無窮大, 再化簡計算B.分子 , 分母同除以最高階無窮大后, 再化簡計算 .C.洛必達法則 .3 型通過分式通分或無理函數有理化,轉化為 "0"型或 ""型0140轉化為00 01 0500 型求對數060 型求對數0171 型通過 lim 1 x xx 0e 或求對數來

14、計算 .二、分段函數： 分段點的極限用左, 右極限的定義來求解 .1切線方程 為： yy0f (x0 )( xx0 )法線方程 為 yy0( xx0 )f ( x0 )基本初等函數的導數公式(1)(C )0，C是常數(2)( x)x1(3)(a x )a x ln a ，特別地，當 ae 時，（ex） ex(4)(log a x)1， 特別地，當 ae 時，（ ln x ）1x ln ax(5)(sin x)cos x(6)(cos x)sin x(7)(tan x)1sec2 x(8)(cot x)1csc2 xcos2 xsin 2x(9)(sec x)(sec x) tan x(10)(

15、csc x)(csc x) cot x(11)(arcsin x)1(12)(arccosx)1x21 x 21(13)(arctan x)1(14)(arccot x)1x21 x21函數的和、差、積、商的求導法則名師推薦精心整理學習必備函數 uu(x) 及 v v( x) 都在點 x 可導 ， u( x) 及 v( x)的和、差、商 ( 除分母為 0 的點外 ) 都在點 x 可導 ,(1) u(x)v(x)u ( x) v ( x)(2) u(x)v(x)u ( x)v( x)u( x)v (x)(3)u( x)u (x)v( x)u( x)v ( x) ( v( x) 0 )v( x)v

16、2 ( x)基本初等函數的微分公式(1)、 dc0( c 為常數 )；(2)、 d( x)x 1dx(為任意常數 )；(3)、 d( ax )axln adx ，特別地，當 ae 時， d (ex ) ex dx ；(4)、 d(log a x)1dx ，特別地，當 ae 時， d (ln x)1 dx ；x ln ax(5)、 d(sin x)cos xdx ；(6)、 d(cos x)sin xdx ；(7)、 d(tan x)sec2 xdx ；(8)、 d(cot x)csc2 xdx ；(9)、 d(sec x)secx tan xdx ；(10)、 d (csc x)csc xco

17、t xdx ；(11)、 d (arcsin x)1dx ；1x2(12)、 d (arccosx)1dx ；1 x212 dx；(13)、 d (arctan x)x1(14)、 d ( arc cot x)1dx 21 x曲線的切線方程yy0 f '(x0 )( xx0 )冪指函數的導數v xv xuxu x' u xv x ln u x v xxu極限、可導、可微、連續(xù)之間的關系極限連續(xù)名師推薦精心整理學習必備可導可微條件條件條件ABA條件條件條件B，A A ，A B，A為 B 的充分條件為 B 的必要條件和 B 互為充分必要條件邊際分析邊際成本MC = C (q) ；邊

18、際收益MR = R (q) ；邊際利潤ML = L (q) ， L (q)R (q)C (q) = MR MC彈性分析Eyx0 y ( x0 )y f ( x) 在點 x0處的彈性，Ex x x0y0p D ( p)特別的，需求價格彈性：EDEpD羅爾定理若函數 f ( x) 滿足： (1)在閉區(qū)間 a, b 連續(xù)；(2) 在開區(qū)間 ( a, b) 可導；(3)f (a)f (b) ，則在 ( a,b) 內至少存在一點，使 f ( )0 拉格朗日定理設函數 f ( x) 滿足 :(1)在閉區(qū)間 a,b 連續(xù)；(2)在開區(qū)間 ( a,b) 可導，則在 ( a, b) 上至少存在一點，使得 f (

19、 )f (b)f ( a)ba基本積分公式(1)0 dxC(2)kdxkxCk為常數特別地：dx xC(3)x dxx1C11(4)1 dxln | x |C（有時絕對值符號也可忽略不寫）x(5)a x dxa xCln a(6)ex dxexC名師推薦精心整理學習必備(7)cos xdxsin xC(8)sin xdxcos xC(9)dxsec2xdxtan xCcos2 x(10)dxxcsc2xdxcot xCsin 2(11)secx tan xdxsecxC(12)csc x cot xdxcsc xC(13)dxarctan xC （或dxarc cot xC ）1x 2x21(

20、14)dxarcsinxC（或dxx C ）1x21arccosx 2(15)tan xdxln | cos x |C ，(16)cot xdxln | sin x |C ，(17)secxdxln | secxtan x |C ，(18)cot xdxln | csc xcot x |C ，(19)dx1arctanxC ， (a0)，a 2x2aa(20)dx1 ln xaC ， (a0) ，a 2x22axa(21)dxarcsin xC ， (a0) ，a2x2a(22)dxln xx 2a 2C ， (a 0) x 2a 2常用湊微分公式(1)、 dx1 daxba, b為常數 ,

21、且 a0a(2)、 xdx1d x22(3)、 12dxd1xx(4)、 1dx2dxx(5)、 1 dxd ln xx(6)、 ex dxde x(7)、 sin xdxdcosx名師推薦(8)、 cos xdxd sin x(9)、 sec2xdxd tan x(10)、 csc2 xdxd cot x(11)、1dx d arcsin x1x2(12)、1dxd arctan x1x2dy一階線性非齊次微分方程P( x) y Q (x) dx平面圖形面積的計算公式1)區(qū)域 D 由連續(xù)曲線yf (x), yg (x)和直線 x=a,x=b 圍成 ,其中f ( x)g(x)(ax b)（右圖

22、）bD的面積 Ag ( x)f (x) dxa2)區(qū)域 D 由連續(xù)曲線x( y), x( y)和直線 x=c,x=d 圍成 ,其中( y)( y) c yddD的面積A( y)( y) dyc平面圖形繞旋轉軸旋轉得到的旋轉體體積公式1 、繞 x 軸的旋轉體體積（右圖）b2 ( x) dxVxfa精心整理學習必備P( x ) dxP ( x) dx的通解為 y eQ( x)edx Cyyg (x)yf ( x)0abxydx( y)x( y)（右圖）c0x注意：此時的曲邊梯形必須緊貼旋轉軸2、繞名師推薦y 軸的旋轉體體積（右圖）精心整理學習必備d2 ( y)dyVygc注意：此時的曲邊梯形必須緊貼旋轉軸由邊際函數求總函數q(C0