人教A版數學必修4第一章三角函數教材分析

1、必修4“第一章三角函數”教材分析函數是刻畫客觀世界變化規(guī)律的數學模型，不同的變化規(guī)律應當用不同的函數來刻畫。三角函數是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要作用，它是學生在高中階段學習的又一類重要的基本初等函數。本章中，學生將在數學1中學習函數概念與基本初等函數I的基礎上，學習三角函數及其基本性質，體會三角函數在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用通過本章的學習，學生將進一步加深對函數概念的理解，提高用函數概念解決問題的能力。一、內容與課程學習目標本章的學習內容是三角函數及其基本性質。通過本章學習，要引導學生：1了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化；2

2、借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義；3借助單位圓中的三角函數線推導出誘導公式（的正弦、余弦、正切），能畫出y=sin x，y=cos x，y=tan x的圖象，了解三角函數的周期性；4借助圖象理解正弦函數、余弦函數在，正切函數在上的性質（如單調性、最大和最小值、圖象與x軸交點等）；5理解同角三角函數的基本關系式：sin2x+cos2x=1，；6結合具體實例，了解的實際意義；能借助計算器或計算機畫出的圖象，觀察參數A，w，f對函數圖象變化的影響；7會用三角函數解決一些簡單實際問題，體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型。二、內容安排本章共安排了6個小節(jié)以及兩個選學內容，

3、教學時間約需16課時，大體分配如下（僅供參考）：1。1任意角和弧度制約2課時1。2任意角的三角函數約3課時1。3三角函數的誘導公式約2課時1。4三角函數的圖象與性質約4課時1。5函數y=Asin()的圖象約2課時1。6三角函數模型的簡單應用約2課時小 結約1課時本章知識結構如下：1本章學習的認知基礎主要是幾何中圓的性質、相似形的有關知識，在數學1中建立的函數概念，以及指數函數、對數函數的研究經驗；主要的學習內容是三角函數的概念，圖象與性質，以及三角函數模型的簡單應用；單位圓是研究三角函數的重要工具，借助它的直觀，可以使學生更好地理解三角函數的概念和性質，因此三角函數的學習可以幫助學生更好地體會

4、數形結合思想；三角函數作為描述周期現象的重要數學模型，與其他學科（特別是物理、地理）有緊密聯系，因此本章的學習可以培養(yǎng)學生的數學應用能力。2為了加強三角函數學習的目的性，本章采用月相變化圖和簡諧運動圖的組合作為章頭圖，并以“大到宇宙天體運行，小到質點的運動，現實世界中具有周期性變化的現象無處不在”為開篇語，再在章前引言中明確提出“三角函數是刻畫周期性變化規(guī)律的數學模型”。這樣的安排使得三角函數的作用體現得更加清楚，也能使學生更加明確學習三角函數的意義。3任意角的三角函數可以有不同的定義方法，而且各種定義都有自己的特點。過去習慣于用角的終邊上點的坐標的“比值”來定義，這種定義方法能夠表現出從銳角

5、三角函數到任意角的三角函數的推廣，有利于引導學生從自己已有認知基礎出發(fā)學習三角函數，但它對準確把握三角函數的本質有一定的不利影響，“從角的集合到比值的集合”的對應關系與學生熟悉的一般函數概念中的“數集到數集”的對應關系有沖突，而且“比值”需要通過運算才能得到，這與函數值是一個確定的實數也有不同，這些都會影響學生對三角函數概念的理解。本章利用單位圓上點的坐標定義任意角的正弦函數、余弦函數。這樣定義清楚地表明了正弦、余弦函數中從自變量到函數值之間的對應關系，也表明了這兩個函數之間的關系。另外，如果是弧度數，即xOP=rad，那么正弦、余弦函數就是關于任意實數的函數，這時的自變量和函數值都是實數，這

6、就與數學1中給出的一般函數概念完全一致了。事實上，在弧度制（這是一種用半徑來度量角的方法）下，角度和長度的單位是統(tǒng)一的，正是這種單位的統(tǒng)一，使得我們可以這樣來描述這兩個函數的對應關系：把實數軸想象為一條柔軟的細線，原點固定在單位點A（1，0），數軸的正半軸逆時針纏繞在單位圓上，負半軸順時針纏繞在單位圓上，那么數軸上的任意一個實數（點）t被纏繞到單位圓上的點P（cost，sint）?；谏鲜隼碛?，我們認為這樣的定義可以更好地反映三角函數的本質，也正是三角函數的這種形式決定了它們在數學（特別是應用數學）中的重要性。事實上，后續(xù)的內容，特別是在微積分中，最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函數。另外，

7、這樣的定義使得三角函數所反映的數與形的關系更加直接，數形結合更加緊密，這就為后續(xù)內容的學習帶來方便，也使三角函數更加好用了。例如從定義可以方便地推導同角三角函數的關系式、誘導公式、和（差）角公式，而且為公式的記憶提供了圖形支持；單位圓為討論三角函數的性質提供了很好的直觀載體，我們可以借助單位圓，直接從定義出發(fā)討論三角函數的性質當然，這個定義與人們熟悉的用角的終邊上點的坐標的“比值”來定義是等價的，這正是教科書在1。2。1中安排例2的原因。4三角函數的誘導公式過去是從求三角函數值引入的，把，的三角函數與的三角函數關系作為誘導公式，并且把關于的誘導公式作為和（差）角公式的推論給出。本教科書改變了這

8、種做法。教科書借助單位圓，先引導學生討論了這些角的終邊與角的終邊之間的對稱關系，然后根據三角函數定義導出所有誘導公式。這樣，既能很好地反映誘導公式的本質（圓的對稱性的代數表示），又使它們成了一個有機的整體。另外，去掉了關于的誘導公式（因為它與的誘導公式等價），增加了的誘導公式。為了使學生盡快熟悉并形成使用弧度制的習慣，在誘導公式中全部采用了弧度制。5正弦、余弦函數按照從函數的定義到作函數圖象再到討論函數性質最后到函數模型應用的順序展開，三角恒等變換不再穿插其中，這一順序與研究其他函數的順序一致，使得三角函數的研究更加簡潔另外，把周期性作為第一條性質，目的是為了體現它的重要性。正切函數先利用誘導

9、公式、單位圓討論性質，然后再利用性質作圖象，這樣做的目的是為了使學生體會可以從不同角度討論函數性質。6對函數圖象的研究，由于涉及的參數有3個，因此本章采取先討論某個參數對圖象的影響（其余參數相對固定），再整合成完整的問題解決的方法安排內容，具體線索如下：（1）探索對ysin(x+)的圖象的影響；（2）探索對ysin(x+)的圖象的影響；（3）探索A對yAsin(x+)的圖象的影響；（4）上述三個過程的合成。在對上述四個問題的具體討論中，先讓學生對參數賦值，形成對圖象變化的具體認識，然后再推廣到一般情形。這樣安排既分散了難點，又使學生形成清晰的討論線索，從中能使學生學習到如何將復雜問題分解為簡單

10、問題并“各個擊破”，然后整合為整個問題的解決的思想方法，培養(yǎng)有條理地思考的習慣，有利于培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。7“三角函數模型的簡單應用”是一個新增內容，主要以舉例的方式說明三角函數模型的應用方法。選擇的問題包括：（1）用已知的三角函數模型解決問題；（2）將復雜的函數模型轉化為等基本初等函數解決問題；（3）根據問題情景建立精確的三角函數模型解決問題；（4）通過數學建模，利用數據建立擬合函數解決實際問題。安排本節(jié)內容的目的是要讓學生感受到三角函數在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用，體驗三角函數與日常生活和其他學科的聯系，以使學生體會三角函數的價值和作用，增強應用意識，同時還要使學生加深理解有關

11、知識。在安排內容時，特別注意了數學應用過程的完整性，加強了對問題情景和解題思路的分析，以及解題后的反思這兩個環(huán)節(jié)。這樣做可以保持數學應用中的數學思維水平，提高學生對相應的思想方法的認知層次，培養(yǎng)學生良好的解題習慣。三、新舊教材變化1以基本概念為主干內容貫穿本書，削枝強干，教材體系更顯合理?！皹藴省痹O定的三角函數與三角恒等變換學習目標是：（1）通過實例，學習三角函數及其基本性質，體會三角函數在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用；（2）運用向量的方法推導基本的三角恒等變換公式，由此出發(fā)導出其他的三角恒等變換公式，并運用這些公式進行簡單的三角恒等變換。根據上述學習目標，在編寫教科書過程中，特別注意突

12、出主干內容，強調模型思想、數形結合思想?！叭呛瘮怠币徽?，突出了三角函數作為描述周期變化的數學模型這一本質。即通過現實世界的周期現象，在學生感受引入三角函數必要性的基礎上，引出三角函數概念，研究三角函數的基本性質，并用三角函數的基礎知識解決一些實際問題。與傳統(tǒng)的處理方法不同，這里把三角恒等變換從三角函數中獨立出來，其目的也是為了在三角函數一章中突出“函數作為描述客觀世界變化規(guī)律的數學模型”這條主線。為了實現削枝強干的目標，教科書除了將三角恒等變換獨立成章外，還在具體內容上進行了處理。在新教材中，學生學了1。1任意角、弧度和1。2任意角的三角函數之后，接著就安排了“1。3三角函數的圖象和性質”的

13、內容，而將運用三角公式進行三角恒等變換的內容滯后安排。這與原教材相比，兩部分內容恰好顛倒了順序。由于三角公式要用到三角函數的周期性、奇偶性等性質導出，所以這樣安排具有它的合理性。同時也相應地突出了三角函數的圖象與性質廣泛應用的地位。原教材中專門安排一節(jié)“已知三角函數值求角”，在新教材中刪去了。但是在新教材的“1。3三角函數圖象和性質”中插入了已知三角函數值求角的題目，如：P32例2：“求下列函數的最大值及取得最大值時自變量x的集合：(1) P33練習第4題，P35練習第1題，P46習題1。3第4題，P49復習題第10題等。由于已知三角函數值求角的內容在新教材中，已經不獨立成節(jié)，所以在學生學習、

14、解答這一內容的有關問題時，希望大家注意幫助小結其中的規(guī)律與方法。在新教材的“第三章 三角恒等變換”中，新增加了一節(jié)“3。3幾個三角恒等式”，將和差化積，積化和差，萬能代換，半角等幾組公式均安排在該節(jié)中。原教材是將這些公式零星分散在例選、練習題、習題與復習題中。這一系列公式既然系統(tǒng)地安排在一節(jié)內容當中，那么今后學生在解題時就可以直接應用。也可以讓學有余力的學生記熟，但不得強行一刀切地向學生提出統(tǒng)一熟記的要求。任意角、弧度制概念，同角三角函數的基本關系式，周期函數與最小正周期，三角函數的奇偶性等內容都降低了要求。三角恒等變換中，兩角和與差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原來的掌握減弱

15、為能從兩角差的余弦公式導出。積化和差、和差化積、半角公式都作為三角恒等變換基本訓練的例題，不要求用積化和差、和差化積、半角公式作復雜的恒等變形。根據上述考慮，本模塊先安排三角函數，再安排平面向量，然后再把三角恒等變換作為平面向量的一個應用，安排在第3章，緊接著再安排解三角形的內容（放在數學5的第1章）。這樣的教材體系的合理性在于：（1）以已有的集合與函數、指數函數與對數函數的知識為基礎，三角函數置于其上位概念（即函數）之下，使三角函數的學習有一個好的“先行組織者”，找到一個有力的“固著點”。三角函數的學習是一種“逐漸分化”式的學習。（2）三角函數的學習為平面向量的學習作了必要的準備，因為平面向

16、量的某些內容(向量的數量積)需要用到鈍角的三角函數。（3）將三角恒等變換安排在平面向量之后，使學生能夠切實感受到平面向量的威力（用向量為工具推導三角變換公式非常簡捷，而用其他方法都比較繁瑣）。另外，由于三角恒等變換與“函數”討論的主題關系較遠，作為平面向量的一個應用而獨立成章，對三角函數的系統(tǒng)性沒有破壞。（4）將解三角形的內容安排在平面向量之后，可以使正弦定理、余弦定理的證明獲得更多途徑，能更好地體現向量的工具性作用。2加強幾何直觀，強調數形結合思想從三角函數的定義方法可以看出，三角函數及其性質與圓有著直接的聯系。事實上，任意角、任意角的三角函數，三角函數的性質（周期性、單調性、最大值、最小值

17、等），同角三角函數的關系式，誘導公式，三角函數的圖象等，都可以借助單位圓得到認識，這也是人們也把三角函數稱作“圓函數”的原因。因此，在三角函數的研究中，借助單位圓進行幾何直觀是非常重要的手段，而且這也是使學生領會數形結合思想，學會數形結合地思考和解決問題的好機會。為了發(fā)揮單位圓在幾何直觀中的作用，教科書在引進弧度制時就滲透了單位圓概念，并在講三角函數概念之前給出單位圓概念，然后直接由單位圓引出三角函數定義。在后續(xù)內容的處理中，始終以單位圓作為一個載體。例如三角函數的誘導公式的推導，教科書引導學生利用單位圓的對稱性，通過討論單位圓上對稱點的坐標的關系來發(fā)現誘導公式，使得誘導公式二公式六都與單位圓

18、上的對稱圖形（即角的終邊的對稱性）聯系在一起，從而使這五組公式形成一個有機整體數形結合的思想表現在由數到形和由形到數兩個方面。教科書在討論三角函數的圖象和性質時，一方面從函數的圖象和單位圓中的三角函數線兩個角度出發(fā)來研究正弦函數、余弦函數的性質，另一方面又在討論正切函數性質的基礎上再研究函數的圖象這里我們特別說明一下用單位圓上點的坐標定義正弦函數、余弦函數的意義。這樣來定義三角函數，除了考慮到使學生在三角函數學習之初就能感受到單位圓的重要性，為后續(xù)借助單位圓的直觀討論三角函數的圖象與性質奠定堅實的基礎外，主要還是為了這樣的定義能夠更好地反映三角函數的本質。事實上，任意角的三角函數可以有不同的定

19、義方法。過去習慣于用角的終邊上點的坐標及它到原點的距離的“比值”來定義，這種定義的一個基本理由是可以反映從銳角三角函數到任意角三角函數的推廣，有利于引導學生從自己已有認知基礎出發(fā)學習三角函數。但它對準確把握三角函數的本質也有一定的不利影響，因為銳角三角函數與解三角形是直接相關的，而任意角的三角函數與解三角形卻沒有任何關系，它是一個最基本的、最有表現力的周期函數，這才是三角函數最本質的地方。本章利用單位圓上點的坐標定義任意角的正弦函數、余弦函數。這樣定義的好處就是直接用（弧度制下）任意角的集合到區(qū)間1，1上的映射來定義，去掉了“求比值”這一中間過程，有利于學生理解任意角的三角函數中自變量與函數值

20、之間的對應關系。事實上，在弧度制（用半徑來度量角）下，角度和長度的單位是統(tǒng)一的，這樣，我們可以用下述方式來描述這兩個函數的對應關系：把實數軸想象為一條柔軟的細線，原點固定在單位點A（1，0），數軸的正半軸逆時針纏繞在單位圓上，負半軸順時針纏繞在單位圓上，那么數軸上的任意一個實數（點）t被纏繞到單位圓上的點P（cost，sint），也即是正弦函數把R中的實數t對應到區(qū)間1，1上的實數y，y= sint；余弦函數把R中的實數t對應到區(qū)間1，1上的實數x，x= cost。上述定義可以很容易地讓我們看到三角函數的“周而復始”的變化規(guī)律。因此，我們認為這樣的定義可以更好地反映三角函數的本質，也正是三角函

21、數的這種形式決定了它們在數學（特別是應用數學）中的重要性。事實上，后續(xù)的內容，特別是在微積分中，最常用的是弧度制以及弧度制下的三角函數。3強調三角函數作為刻畫現實世界周期變化現象的數學模型的思想教科書在開篇語中通過列舉大量現實世界中的周期變化現象，并提出現實問題中不同的變化規(guī)律需要不同的函數來刻畫，而三角函數就是刻畫周期變化規(guī)律的數學模型，這樣可以使學生在三角函數的學習之初就明確三角函數的地位作用。在研究三角函數的圖象、性質時，盡量結合物理中的簡諧運動等典型實例。為了加強數學模型思想，教科書專門設置了“三角函數模型的簡單應用”一節(jié)，通過典型實例，引導學生經歷分析實際問題、建立三角函數模型、用三

22、角函數模型解決問題的基本過程，以使學生更好地體會三角函數在解決周期變化現象時的作用，例如本節(jié)的例4由給出的潮起潮落的變化數據，通過作散點圖，選擇函數模型，建立函數模型，并用得到的函數模型解決有關問題，就是一個比較完整的建立三角函數模型解決實際問題的過程。通過這樣的例子，可以使學生用三角函數刻畫周期現象的過程與方法。另外，本章突出了對三角函數及其性質的研究這條主線，對于其他一些細節(jié)，例如求函數的定義域、值域，用同角三角函數的基本關系式、誘導公式進行恒等變形等等，都作了淡化處理4通過問題引導學生主動思維，使學生得到思維訓練為了引導學生主動思考，教科書利用“觀察”“思考”“探究”等欄目設置了大量問題

23、。這些問題有的是從刻畫實際問題的需要而產生的，例如任意角概念的引入，三角函數圖象及其性質的研究，函數的圖象的研究等，更多的是從數學發(fā)展內部提出的，例如用單位圓上點的坐標定義三角函數后，自然要提出圓的性質與三角函數性質之間關系的問題，而這個問題恰好是討論同角三角函數之間的關系、誘導公式以及三角函數的圖象與性質的出發(fā)點：同角三角函數的關系與單位圓中直角三角形；誘導公式與圓的對稱性；三角函數的周期性與圓周長；三角函數的單調性與單位圓中有向線段的變化規(guī)律總之，教科書利用知識的發(fā)生發(fā)展過程來自然地提出問題，引導學生層層深入地進行思考，可以使學生得到思維方法上的訓練。類比、聯系、推廣、化歸等是數學研究中的

24、常用方法，本章努力引導學生學習這些方法。例如，通過類比長度、重量的不同度量單位引入弧度制；聯系一般函數性質的研究思路引出研究三角函數性質的思路；從單位圓上點的坐標表示銳角三角函數推廣到任意角的三角函數定義；研究函數y=Asin()的圖象，按照y=sinxy=sin(x+)y=sin()y=Asin()的線索展開，體現了從簡單到復雜、由特殊到一般的化歸方法討論三角函數及其性質時，經常提醒學生注意用數學1中獲得的一般函數概念及其思想方法作指導。例如，教科書中有這樣的話：“遇到一個新的函數，非常自然的是畫出它的圖象，觀察圖象的形狀，看看有沒有特殊點，并借助圖象研究一下它的性質，如：單調性、奇偶性、最

25、大值、最小值等。特別的，三角函數具有周而復始的特性到底應當如何描述？”這段話實際上是提示學生，在思考三角函數性質到底研究的是哪些問題以及應當如何研究時，應當與自己在數學1中建立的關于函數性質的已有經驗聯系起來，顯然，這對學生把握三角函數基本性質的討論方向是非常有用的。對于那些可以直接類比或經過簡單推論就可以得出的結論，教科書利用“思考”“探究”欄目，通過“留白”的方式讓學生自己思考探究而得出結果例如，特殊角的角度與弧度的關系表；三角函數的定義域，三角函數值的符號；余弦函數性質的研究；由y=sinx的圖象到y(tǒng)=Asin()的圖象，等等。例如，三角函數的誘導公式是通過這樣兩個問題情景引出的：思考：

26、我們利用單位圓定義了三角函數，而圓具有很好的對稱性。能否利用圓的這種對稱性來研究三角函數的性質呢？例如，能否從單位圓關于x軸、y軸、直線y=x的軸對稱性以及關于原點O的中心對稱性等出發(fā)，獲得一些三角函數的性質呢？探究：給定一個角。（1） 終邊與角的終邊關于原點對稱的角與有什么關系？它們的三角函數之間有什么關系？（2） 終邊與角的終邊關于x軸或y軸對稱的角與有什么關系？它們的三角函數之間有什么關系？（3） 終邊與角的終邊關于直線y=x對稱的角與有什么關系？它們的三角函數之間有什么關系？其中，“思考”中的問題是上位的，它對利用單位圓的性質討論三角函數的性質具有一般思想方法的引導作用；“探究”中的問

27、題比較具體，可以直接引起學生對誘導公式的探究活動。設計這樣的問題系列，就是希望學生在問題的引導下，開展積極主動的思維活動，自己獨立推導出三角函數的誘導公式，相信有這樣的問題引導，是可以做到這一點的。另外，這樣的做法對于學生思考“應當從哪些方面來研究三角函數”，即應當如何提出問題，也是有啟發(fā)的。5適當使用信息技術本模塊中，比較適合用信息技術的內容是三角函數及其性質的研究?！皹藴省敝忻鞔_提出了“借助計算器或計算機畫出的圖象，觀察參數A，對函數圖象變化的影響”的要求，在“說明與建議”中提出“應鼓勵學生使用計算器和計算機探索和解決問題。例如，求三角函數值，求解測量問題，分析中參數變化對函數的影響等”。

28、根據“標準”的要求和建議，本模塊對使用信息技術問題作了如下處理：（1）用計算器進行角度制與弧度制的互換；（2）用計算器求三角函數的值；（3）用計算器的sin、cos、tan鍵求角；（4）討論的圖象時，在邊空中提示，“可以用五點法作圖，有條件的也可以用計算器或計算機作圖。在計算機的幫助下，A，對函數的圖象變化的影響能直觀地得到反映”；（5）在用三角函數模型解決問題的過程中，提倡使用計算機進行函數擬合等。相應的，在角的兩種度量制的互換、求三角函數值、作函數圖象等方面都降低了要求，這樣做可以為學生借助信息技術探索數學規(guī)律，從事一些富有探索性和創(chuàng)造性的數學活動提供時間和空間。因為有了信息技術，教科書中

29、引進了一些計算量大、需要根據數據選擇和修正函數模型才能解決的問題?？紤]到我國各地在數學教學中使用信息技術的不平衡性，教科書在使用信息技術上采取了彈性處理，即在適宜使用信息技術的地方，采用邊空注釋的方法，對信息技術的使用作出提示或說明。四、教材具體說明1本冊的第1章三角函數是緊接在第1冊教材第2章函數之后，繼續(xù)學習的一種特殊的基本初等函數。由于引進了弧度制，又將角的概念進行了推廣，容易知道定義的三角函數是一種在非空實數集上，從數到數的一種“一對一”或“多對一”的映射。2在第1章中，1。3三角函數的圖象與性質是重點教學內容，同時它也是本章的一個數學難點。特別是該節(jié)中，三角函數的周期性、單調性、奇偶

30、性以及描繪y=A圖象時的周期與初相變換更是教學中的重中之重，它們也是現行高考中長考不衰的內容。希望各位教者花氣力指導學生學好并熟練掌握這部分內容。3該章的1。1任意角、弧度與1。2任意角的三角函數（三角函數的定義、同角三角函數關系公式、誘導公式）兩節(jié)內容是后續(xù)學的基礎。只有夯實基礎，后面的三角函數的圖象和性質與三角恒等變換才能學好。請大家務必重視這一問題。4第一章的1。1中的弧度概念是一個數學難點。大家知道弧度制與角度制是測量角大小的兩種不同的單位制。學生從小學到初中一直是采用角度制來度量角的大小，學生在小學首先接觸的角度制，先入為主，一提到角就知道1度為60分，1分為60秒。到高中學習弧度制

31、，學生很不習慣，所以這是本章教材的一個教學難點。教者要突破這一教學重點，必須做到以下兩點：（1）講清弧度制的概念，讓學生慢慢體會，給學生有一個轉彎的過程，有一逐步地循序漸進地建立新概念的過程。只有新概念建立起來了，才能用弧度制來度量角的大小，才能建立實數到實數一對一或多對一的三角函數的概念。（II）對于0-2(周角)范圍內的弧度與角度對照表格，要學生熟記，讓學生人人過關，個個落實。這是學好這一新知識的重要一環(huán)。5在進行1。2任意角的三角函數的教學時，應充分做好初、高中數學教學內容的銜接工作。這一節(jié)內容做好銜接工作很有必要：（I）初中已講了銳角三角函數，到高中學習在直角坐標系中用坐標表示任意角的

32、三角函數值時，必須從中銳角三角函數講到新知識，體現出銜接、過渡、循序漸進。（II）在初中學生已接觸了平方關系、商式關系，倒數關系等同角三角函數的關系公式，教者必須在帶領學生復習初中這些公式的基礎上學習新內容，將角推廣為任意角，就可得現在的新公式。這樣學習學生就不會感到陌生。（III）在初中學生已學習了一組誘導公式,到高中學習1。2。3三角函數的誘導公式時，應從初中的已學的一組誘導公式入手讓學生學習其它誘導公式。到最后將這些公式概括為：“奇余偶同名，符號由角定”的口訣。這樣做，無疑是非常有益的。四、對教學的幾個建議1準確把握教學要求與以往的三角函數內容相比較，本章加強了三角函數作為刻畫現實世界的

33、數學模型，借助單位圓理解三角函數的概念、性質，以及通過建立三角函數模型解決實際問題等?！皹藴省睂θ呛瘮祪热莸南鳒p比較多，課時量也減少了，本章嚴格按照這種要求，刪減了任意角的余切、正割、余割，三角函數的奇偶性，已知三角函數求角，反三角函數符號，將對三角函數周期性的一般討論作為選學內容。另外，任意角概念，弧度制概念，同角三角函數的基本關系式，誘導公式等都降低了要求。這樣的處理，把重點放在使學生理解三角函數及其基本性質，體會三角函數在解決具有周期變化規(guī)律的問題中的作用上，而對一些細枝末節(jié)的內容不再作過多要求。教學時應當把握好這種變化，遵循“標準”所規(guī)定的內容和要求，不要隨意補充已被刪減的知識點，也

34、不要引進那些繁瑣的、技巧性高的變換題目（例如求定義域、值域；已知，求的其他三角函數值；用誘導公式進行復雜變換的問題等）。2加強相關知識的聯系性，強調數學思想方法由于周期現象在現實中廣泛存在，例如單擺運動、彈簧振子、圓周運動、交流電、音樂、潮汐、波浪、四季變化、生物鐘等，因此它是物理、地理、生物、天文等其他學科研究的對象，這樣，本章內容與其他學科有緊密聯系。從數學內部來說，三角函數的概念、性質與圓的知識有緊密聯系，在整個三角函數內容的討論中，單位圓發(fā)揮了關鍵作用。因此教學中應充分利用學生的生活經驗、其他學科的知識以及關于圓的性質方面的知識，使三角函數的學習建立在豐富的背景上。從數學思想方法看，本

35、章重點是數學模型思想和數形結合思想。教學中應當充分利用章引言提供的情景，引導學生從“刻畫周期現象的數學模型”的角度來認識三角函數，使學生從學習之初就建立起從數學模型的角度看三角函數的意識。在此基礎上，要充分注重運用三角函數模型解決實際問題的教學，使學生經歷運用三角函數模型描述周期現象、解決實際問題的全過程。前已指出，本章討論的內容都可以用單位圓作為直觀工具。因此，為了更好地體現數形結合思想，教學中要充分發(fā)揮單位圓的作用，并且要注意逐漸使學生形成用單位圓討論三角函數問題的意識和習慣，引導學生自主地用單位圓探索三角函數的有關性質，提高分析和解決問題的能力。三角函數是學生在高中階段系統(tǒng)學習的又一個基

36、本初等函數，教學中應當注意引導學生以數學1中學到的研究函數的方法為指導來學習本章知識，即要結合三角函數引導學生進一步理解集合與對應觀點下的函數概念，函數中研究的基本問題和基本思路（根據刻畫現實中周期現象的需要，引進三角函數來描述周期性變化的規(guī)律；在遇到一個新的函數時，總要看看它的圖象、單調性、有沒有特殊取值等等），這樣可以使學生學習在高觀點指導下進行數學學習與研究的思想方法，這對提高學生在學習過程中的數學思維水平是非常有幫助的。同樣的，在討論的圖象時，實際上涉及函數變換與圖象變換（圖象的平移、伸縮與函數變換的關系），需要數形結合思想的指導，雖然教師不一定要明確地向學生指出，但教學時還是要注意滲

37、透3恰當使用信息技術在下列內容的教學中，應積極鼓勵學生使用計算器或計算機，以加強知識的發(fā)生發(fā)展過程，加深對有關概念的認識，突破學習中可能遇到的困難。（1）終邊相同的角的概念的認識；（2）弧度制的認識，弧度與角度的互化，非特殊角的三角函數值的計算，sin-1，cos-1，tan-1的使用；（3）任意角的三角函數的定義，用三角函數線表示正弦、余弦和正切函數；（4）畫三角函數的圖象，用三角函數的圖象研究三角函數的性質；（5）畫函數y=Asin()的圖象，探索A、對圖象的影響；（6）根據實際數據擬合函數圖象4。具體教學建議新教材P11習題1。1探究·拓展的第13題：若扇形的周長為定值l，則該

38、扇形的圓心角為多大時，扇形的面積最大。該題既可用“均值不等式”求最值，也可通過消元轉化為二次函數求解。由于學生還未接觸不等式內容，所以只能要求學生用二次函數的有關知識尋求最值。該題解答如下：設扇形半徑為R，弧長為，由題設知。，當該扇形的圓心角為2弧度時，扇形面積最大，最大值為。本章中，運用數形結合的思想方法幫助解題是新教材的一大亮點。如P18例4。求證：。本題采用了兩種方法證明后，讓學生按圖思考。思考：右圖中，隱藏了一個例4的“圖形證明”，你能發(fā)現嗎？該圖，實際上是在單位圓中運用半圓上的圓周角為直角的定理，得到ABP，在ABP中運用射影定理；可得、的比例中項，即：。運用圖形、數形結合得三角恒等

39、式，是新教材的一個特色。本章中，積極引導學生運用換元、轉化、化歸等思想方法思考、探究解決問題，是新教材激發(fā)學生創(chuàng)新意識的一大舉措。如：P20思考由公式二、三，你能導出公式四嗎？根據公式二、三、四中的任意兩組公式，你能推導出另一組公式嗎？這里公式二、三、四，指的是“”、“”與“”三組誘導公式。課本中的這一思考很有價值，它能激發(fā)學生的創(chuàng)新意識，而要實現這一思考，必須運用換元與轉化、化歸等思想方法。如果要用公式三、四公式二，應將角進行轉化：，這樣得到。這里根據公式二、三、四中任意兩組，推出另外一組，共有種推法，可讓學充分活動、思索，動手試試。再如：P21探索，若角的終邊與角的終邊關于直線對稱（如右圖）。 （1）角與角的正弦函數和余弦函數之間有何關系？（2）角的終邊與角的終邊是否關于直線y=x對稱？（3）由（1）、（2）