8常用數(shù)學(xué)方法

1、第8講 高考中常用數(shù)學(xué)的方法-配方法、待定系數(shù)法、換元法一、知識(shí)整合配方法、待定系數(shù)法、換元法是幾種常用的數(shù)學(xué)基本方法.這些方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn),是解決問題的手段,它不僅有明確的內(nèi)涵,而且具有可操作性,有實(shí)施的步驟和作法.配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向的變形技巧,由于這種配成“完全平方”的恒等變形,使問題的結(jié)構(gòu)發(fā)生了轉(zhuǎn)化,從中可找到已知與未知之間的聯(lián)系,促成問題的解決.待定系數(shù)法的實(shí)質(zhì)是方程的思想,這個(gè)方法是將待定的未知數(shù)與已知數(shù)統(tǒng)一在方程關(guān)系中,從而通過解方程(或方程組)求得未知數(shù).換元法是一種變量代換,它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式,從而使問題得到簡(jiǎn)化,換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化.二、例

2、題解析例1已知長(zhǎng)方體的全面積為11,其12條棱的長(zhǎng)度之和為24,則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為( ).(A)(B)(C)5(D)6分析及解：設(shè)長(zhǎng)方體三條棱長(zhǎng)分別為x,y,z,則依條件得： 2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的對(duì)角線長(zhǎng)為,因此需將對(duì)稱式寫成基本對(duì)稱式x+y+z及xy+yz+zx的組合形式,完成這種組合的常用手段是配方法.故=62-11=25 ,應(yīng)選C.例2設(shè)F1和F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上且滿足F1PF2=90°,則F1PF2的面積是( ). (A)1(B)(C)2(D)分析及解：欲求(1),而由已知能得到什么呢？由F1PF2=90&

3、#176;,得(2),又根據(jù)雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=4(3),那么(2)、(3)兩式與要求的三角形面積有何聯(lián)系呢？我們發(fā)現(xiàn)將(3)式完全平方,即可找到三個(gè)式子之間的關(guān)系.即,故 , 選(A).注：配方法實(shí)現(xiàn)了“平方和”與“和的平方”的相互轉(zhuǎn)化.例3設(shè)雙曲線的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),準(zhǔn)線平行于x軸,離心率為,已知點(diǎn)P(0,5)到該雙曲線上的點(diǎn)的最近距離是2,求雙曲線方程.分析及解：由題意可設(shè)雙曲線方程為,a=2b,因此所求雙曲線方程可寫成： (1),故只需求出a可求解.設(shè)雙曲線上點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,y),則|PQ|= (2),點(diǎn)Q(x,y)在雙曲線上,(x,y)滿足(1)式,代入(2)得|P

4、Q|= (3),此時(shí)|PQ|2表示為變量y的二次函數(shù),利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有(ya或y-a).二次曲線的對(duì)稱軸為y=4,而函數(shù)的定義域ya或y-a,因此,需對(duì)a4與a>4分類討論.(1)當(dāng)a4時(shí),如圖(1)可知函數(shù)在y=4處取得最小值,令,得a2=4所求雙曲線方程為.(2)當(dāng)a>4時(shí),如圖(2)可知函數(shù)在y=a處取得最小值,令,得a2=49,所求雙曲線方程為.注：此題是利用待定系數(shù)法求解雙曲線方程的,其中利用配方法求解二次函數(shù)的最值問題,由于二次函數(shù)的定義域與參數(shù)a有關(guān),因此需對(duì)字母a的取值分類討論,從而得到兩個(gè)解,同學(xué)們?cè)诮獯饠?shù)習(xí)題時(shí)應(yīng)學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方

5、法解題.例4設(shè)f(x)是一次函數(shù),且其在定義域內(nèi)是增函數(shù),又,試求f(x)的表達(dá)式.分析及解：因?yàn)榇撕瘮?shù)的模式已知,故此題需用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式.設(shè)一次函數(shù)y=f(x)=ax+b (a>0),可知 ,.比較系數(shù)可知： 解此方程組,得 ,b=2,所求f(x)=.例5如圖,已知在矩形ABCD中,C(4,4),點(diǎn)A在曲線(x>0,y>0)上移動(dòng),且AB,BC兩邊始終分別平行于x軸,y軸,求使矩形ABCD的面積為最小時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo).分析及解：設(shè)A(x,y),如圖所示,則(4-x)(4-y) (1)此時(shí)S表示為變量x,y的函數(shù),如何將S表示為一個(gè)變量x(或y)的函數(shù)呢？有的同學(xué)想到

6、由已知得x2+y2=9,如何利用此條件？是從等式中解出x(或y),再代入(1)式,因?yàn)楸磉_(dá)式有開方,顯然此方法不好.如果我們將(1)式繼續(xù)變形,會(huì)得到S=16-4(x+y)+xy (2)這時(shí)我們可聯(lián)想到x2+y2與x+y、xy間的關(guān)系,即(x+y)2=9+2xy.因此,只需設(shè)t=x+y,則xy=,代入(2)式得 S=16-4t+(3)S表示為變量t的二次函數(shù),0<x<3,0<y<3,3<t<,當(dāng)t=4時(shí),SABCD的最小值為.此時(shí)注：換元前后新舊變量的取值范圍是不同的,這樣才能防止出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤.例6設(shè)方程x2+2kx+4=0的兩實(shí)根為x1,x2,若3,求

7、k的取值范圍.解：3,以,代入整理得(k2-2)25,又=4k2-160,解得k(-),+.例7點(diǎn)P(x,y)在橢圓上移動(dòng)時(shí),求函數(shù)u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值.解：點(diǎn)P(x,y)在橢圓上移動(dòng), 可設(shè) 于是 = = 令, ,|t|. 于是u=,(|t|). 當(dāng)t=,即時(shí),u有最大值. =2k+(kZ)時(shí),.例8過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)F,求直線l的傾斜角.解：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2) 直線l的方程為y=kx,將它代入橢圓方程整理得 (*)由韋達(dá)定理,(1),(2) 又F(1,0)且AFBF, 即 , 將,代入上式整理得 , 將(1)式,(2)式代入,解得 . 故直線l的傾斜角為或.注：本題設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù),“設(shè)而不求”,以這些參數(shù)為橋梁建立斜率為k的方程求解.例9設(shè)集合A=(1)若A中有且只有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值集合B；(2)當(dāng)aB時(shí),不等式x2-5x-6<a(x-4)恒成立,求x的取值范圍.解：(1)令t=2x,則t>0且方程化為t2-2t+a=0 (*),A中有且只有一個(gè)元素等價(jià)于方程(*)有且只有一個(gè)正根,再令f(t)=t2-2t+a,則=