用迭代法速解高考壓軸題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載高三數(shù)學(xué)專題講座巧用迭代法速解高考壓軸題高考是以知識為載體，方法為依托，能力為目標(biāo)來進(jìn)行考查的，命題時則是以能力為立意，以方法和知識為素材來進(jìn)行命題設(shè)計的?？v觀這兩年全國高考的新課程試卷中的壓軸題數(shù)列問題，背景新穎、能力要求高、內(nèi)在聯(lián)系密切、思維方法靈活，又由于新課程的改革中淡化了數(shù)學(xué)歸納法，無疑地迭代法成為解決這類問題的通法。1 an+1=pan+q(p 、 q 為非零常數(shù) ) 型此類型的通項公式求法通常有兩種迭代思路：一是構(gòu)造新數(shù)列使其成等比數(shù)列，設(shè)原遞推關(guān)系化為an+1 + =p(an+)，其中q，這樣數(shù)列 anq為待定系數(shù)，于是有p =q，即 =p即為等p 11比數(shù)列。

2、二是an=pan 1+q=p(pa n 2+q)+q=p 2an 2+pq+q=p 2(pan 3+q)+pq+q=p3an 3+p 2q+pq+q= =pn 1a1+pn2q+ +pq+q，它的實質(zhì)下標(biāo)遞降，直至退到不同再退為止。例 1 設(shè) a>0 如圖，已知直線l :y=ax 及曲線 C:y=x 2 ， C 上的點 Q1 的橫坐標(biāo)為a1(0<a1<a)，從 C 上的點Qn（ n1）作直線平行于 x 軸，交直線 l 于點 Pn+1，再從點 Pn+1 作直線平行于y 軸，交曲線 C 于點 Qn+1 . Qn（ n=1,2,3 ）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列an 。（ I ）試求 an+1

3、 與 an 的關(guān)系，并求an的通項公式；（ II ）、（ III ）兩題略。分析： 通過點 Qn 與 Pn+1 的縱坐標(biāo)關(guān)系， Pn+1 與 Qn+1 的橫坐標(biāo)的關(guān)系，建立 an+1 與 an 的遞推關(guān)系，將 n 換成 n1，即為迭代，反復(fù)利用這種迭代的方法即可求出an 。解： 由點 Qn 在曲線 C 上，所以 Qn 的縱坐標(biāo)為an2，即 Qn(an， a n2 )。又由于 Qn與 Pn+1 的縱坐標(biāo)相等，所以，Pn+1 的縱坐標(biāo)為 a n2。而點 Pn+1 在直線 l 上，所以 Pn+1的橫坐標(biāo)為 an2，即 Pn+1（ an2, an ）。又因為 Pn+1 與 Qn+1 的橫坐標(biāo)相同，所以

4、 an+1= an2即為 an+1 與 an 的遞aaa推關(guān)系。下用迭代法求數(shù)列an 的通項公式。迭代法一 （構(gòu)造新數(shù)列迭代） ：對 an+1= an2兩邊同時取對數(shù)得： lgan+1 =2lga n lga，所以 lgan+1 lga=2(lga na lga) ， 反 復(fù) 迭 代 得 ： lgan lga=(lga n 1 lga)=2 ·2(lga n 2 lga)=2 2(lga n 2 lga)= =2n 1(lga1 n 1，所以 lg ann 1n 1lga)=lg(a1 ) 2=lg(a1 )2 ，即 an=a·(a1 )2。aaaa迭代法二 （直接變形迭代

5、） ： an+1 = an2， an 1an2aaa2學(xué)習(xí)必備歡迎下載 an 1( an ) 2( an 1 ) 2 2 = ( an 1 )2 2( an 1 ) 22= （ an 2 ） 2 22=( an 2 ) 23= = (a1 )2 n.aaaaaaaaa1na12n 1)2). an+1 =a·(，即 an=a·(aa解題回顧 解決本小題的關(guān)鍵有兩步，一是靈活運用Pn+1 與 Qn、 Qn+1 間的縱橫坐標(biāo)間的關(guān)系正確而迅速建立 an+1 與 an 的關(guān)系式；二是巧妙運用待定系數(shù)法或同除以a 對遞推關(guān)系進(jìn)行變形，使遞推關(guān)系進(jìn)一步具體化、特征化，然后再反復(fù)迭代。

6、實質(zhì)上，等差等比數(shù)列的通項公式就是利用這種迭代法而推導(dǎo)出來的。迭代法二是變形成結(jié)構(gòu)相同的式，然后進(jìn)行下標(biāo)遞降；迭代法一也先是對遞推關(guān)系式變形，化成an+1 n=pa +q 這種形式，利用待定系數(shù)法求 解 ，也 可 以在 此 基 礎(chǔ) 上 直接 迭 代， 如 lgan=2lgan 1 lga=22lgan 2 2·lga lga= =2n 1 lga1 (2n 2+2n 3+ +2+1)lga=2n1n 1，所以 ana1 2n 1a1 2n 1。從高考閱卷中可以看出，不少學(xué)生得出遞推關(guān)1 (21)lga= a2 n 1 1=a·(a )lga系式后，望而卻步，這足以說明學(xué)生在

7、數(shù)學(xué)思想方法上沒有受到良好的訓(xùn)練，平時的學(xué)習(xí)都是被動的接受，而很少有主動建構(gòu)的過程。2an+1=pan+f(n)（p 為常數(shù)， p1，p 0）型。此類型的通項公式求法常見有兩種迭代方法：一是構(gòu)造新數(shù)列代，即a g(n+1)=pa g(n),n+1n比較系數(shù)有：g(n+1) pg(n)=f(n)對一切nN+都成立，求出，則數(shù)列 ang (n) 是等比數(shù)列；二是下標(biāo)遞降迭代，即a an1 an 2 a a . 也就是 a =pa+f(n 1)=ppan 2+f(n 2)+f(n n21nn 12n 2 2)+f(n3n 32 1)=n 1 1n 2f(1)+Pf(n 2)+f(n 1)=P a+P

8、f(n 1)=P a+P f(n 3)+Pf(n 2)+f(n =P a +P1) ，再利用求和法求出 an。例 2設(shè) a0為常數(shù)，且 an=3n 1 2an 1·(n N+) 。（ I ）證明對任意 n 1，an= 1 3n( 1)n 1 2 n ( 1) n 2n a0 ;5（ II ）假設(shè)對任意 n 1有 a a，求 a的取值范圍。nn 10分析： 本題的遞推關(guān)系式中3n1 是一個變量，于是我們在利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列時要注意與類型1 的區(qū)別，思路一可以設(shè)an+1nn1），由比較系數(shù)得的值，再迭代；思路二對遞推· 3 = 2（ an·3關(guān)系進(jìn)行等價變形，

9、即兩邊同除以 3n 轉(zhuǎn)化為類型 1 的問題求解； 思路三直接利用關(guān)系式迭代轉(zhuǎn)化為求和問題。n 1 2a, an=2 an 11,設(shè)可化為解 ：（ I ） 迭 代 法 一 （ 構(gòu) 造 等 比 數(shù) 列 迭 代 ） a =3n 13n3 3n 13nank2an 1k) ，展開比較系數(shù)得 k=1an12an 11). 反復(fù)迭代有：3n3(,即化為:5(53n 153n3 3n 1a n12 a n 11(2)2a n 212na01).3 n()() =（）·(053 3 n 1533 n 25335an1(2n12n,5)a0()3n353學(xué)習(xí)必備歡迎下載即 an=( 2) n·

10、;a0+ 1 3n( 2) n ( 2) n a01 3n( 1) n 1 2 n .55迭代法二 . 原式化為： an3n2(an 13n 1 ) ，比較系數(shù)求得0.2， a +13n2(an13n 1) 。反復(fù)迭代有1n55an+ 13n2 (an 13n 1 ) ( 2) 2 ( an 23n 2 ) ( 2) 3 (an 33n 3 ) =5555n30n13n(1)n 12n .( 2) ·(a 0),即 an=( 2) ·a0+55n 1n 1n 3n 2n12迭代法三 （下標(biāo)遞降） an=3 2an1 = 2an 1+3=( 2) ·( 2an 2+

11、3)+( 2)·3 +3=( 2) ·ann 2+3n12·( 2an 3+3n 3n2+3n 1 2)3an 3+( 2)2 n 3+（ 2n 2+3n 12+( 2) ·3=( 2)+( 2) ·3=(·3）· 3= =(nn1 0n2n 2 n 1nn 12)n 122) ·a0+( 2)·3 +(2)· 3+ +( 2) ·3 +3=( 2) ·ao+3( +(33)n 2+ +1=( 2)n·a0+3n1( 2 ) n1 13( 2)nnn 1n.12&#

12、183;a0+53( 1)2 3第（ II ）題（略）解題回顧 （1）本題的第（I）題是以數(shù)列背景，考查學(xué)生靈活運用數(shù)列知識，解決數(shù)列通項公式的常規(guī)方法來解問題，這無疑對學(xué)生的能力有較高的要求，也體現(xiàn)高考以能力為立意的命題思想，所以在平時的教學(xué)過程中要加強數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)和訓(xùn)練，只有這樣學(xué)生才能實現(xiàn)在真正意義上的會解題，即創(chuàng)造性地解題。（ 2）從迭代法一、二可以看出：通過適當(dāng)?shù)淖冃慰苫癁?an+1 =pan+q(p 、 q 為常數(shù)， P 0)類型問題，所以類型 1 是基礎(chǔ)問題。3 a =pa+qa (p,q 0,p,q為常數(shù) ) 型。n+2n+1n此類型問題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為an+1 與 an 的

13、關(guān)系，即 an+1n=ra +s(r,s 為非零常數(shù) )，于是轉(zhuǎn)化為類型 1 問題。例 3已知點的序列 An（ xn,0）,nN+ ，其中 x123是線段 A1A2 的中點， A4 是線段=0,x =a(a>0),AA 2A3 的中點， An 是線段 An 2An 1 的中點，求xn 的通項公式。分析： 充分利用“ An 是線段 A n2An 1 的中點”這一重要信息來揭示 xn 與 xn1、xn 2 的遞推關(guān)系，然后利用迭代法先將相鄰三項遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為相鄰兩項的關(guān)系，即 xn 與 xn 1 的關(guān)系，再用類型一或類型二的迭代法求解xn.解：由 An 是線段 An 2An 1 的中點得：

14、xn= xn 1xn2,即 2xn=xn 1+xn2(n 3).2迭代法一 ： 2xnn 1n 2n+xn1=2xn 1n 2=x+x, 2x+x .學(xué)習(xí)必備歡迎下載反復(fù)迭代有： 2xn+xn1=2xn 1 n 2n 2n 321+x=2x+x= =2x+x =2a.1 2xn+x n 1=2a，即 xn=2 xn 1a .再次反復(fù)迭代得：xn1 xn 1 a1 (1 xn 2a) (1) 2 xn 2(1 )a a22222(1)2(1 xn 3a) (1)a a (1) 3 xn 3 (1 ) 2 a (1) a a222222( 1 ) n 1 x1 ( 1 )n 2 a( 1 ) aa

15、a(1 ) n3(1) 12 a1 (1 )n 1 .2222232迭 代 法 二 ： 2xnn 1+xn 2 2xn 2xn 1n 1 xn 2即xn xn 1=x,= (x),= 1 ( xn 1xn 2 ) ( 1 )( xn 2xn 3 )( 1 )n 2 ( x2x1 ) ( 1) n 2 a .2222 xn=(x n xn1)+(x n 1xn2)+ +(x2 x1)+x1=a1+( 1 )+( 1 )2+ +( 1 )n 2=2222a 1( 1) n 1 .32數(shù)列 xn 的通項公式為 xn= 2a1 (1) n 1 。32 解題回顧 從本題的上述兩種方法可以看出：變形的形式

16、不同，則迭代的方法也不相同。方法一是抓住 2xn+1 +xn 的結(jié)構(gòu)形式不變進(jìn)行反復(fù)迭代，然后再對 xn+1= 1 xn+a 進(jìn)行反復(fù)迭代； 也可2以用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列然后再迭代；方法二則是構(gòu)造xn 1 xn 為等比數(shù)列。如果將兩種迭代結(jié)果 2xn+1nn+1xn1)n1·a 結(jié)合在一起， 從方程組角度考慮， 則顯得更簡捷明了。+x =2a和 x=(24 an+2、 an+1、an 與 an 1 的遞推型。此類型問題是相鄰四項間的遞推關(guān)系，首先轉(zhuǎn)化為相鄰三項或兩項的遞推關(guān)系，然后再用上述三種類型的迭代法求解。例 4已知數(shù)列an 各項都是自然數(shù)， a1=0,a2=3,且 an+1a

17、n=(an1+2) ·(an 2+2),n=3,4,5，。（ I）求3n n2+ ，n3，（III ）求an 的通項公式及前n。a ;（II ）證明： a =a +2,n Nn 項和 S分析：第（I ）題利用特殊值 n=3 及 a43 都是自然數(shù)的特征求出a3；第（II ）題的證明實際上,a是將四項遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化兩項遞推關(guān)系，然后利用等差數(shù)列的有關(guān)知識求解an 及 Sn，對（ II ）的證an明要會觀察結(jié)論與已知的結(jié)構(gòu)形式，轉(zhuǎn)化為只需證明1an 22即可，于是對已知的關(guān)系進(jìn)行分離變形即可。解：（I）（略）答案為a3=2,a4=5.學(xué)習(xí)必備歡迎下載(II) an+1an=(an 1+2)

18、(an 2+2), an+2an+1=(an+2)(an 1+2).兩式相比得：anan22 ,即 an 2an.an 2an2an2 an 22anan2a451;當(dāng) n 為偶數(shù)時，n 與此同時 n+2 為偶數(shù)，反復(fù)迭代有：2 an 4a2an 222 3 2當(dāng) n 為奇數(shù)時， n 與 n+2 為奇數(shù)，反復(fù)迭代有：anan 2a321 .an 22 an 42a12 0 2當(dāng) n N 時,an1，即 ann 2an -22=a+2.（n3）（III ）（略） 解題回顧 第（II ）題的原來證明（標(biāo)準(zhǔn)答案）是用數(shù)學(xué)歸納法解的，沒有給出這種簡捷而具有一般性的迭代法。解題過程中體現(xiàn)了分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法。5 an+1=p(n) ·a 2n +f(n) ·an1 +r(p(n) 0) 型.此類 an+1 與 an 的關(guān)系是變系數(shù)制約的，解題策略：一是尋求更優(yōu)化的遞推關(guān)系；二是根據(jù)題目的結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡仁阶儞Q或不等變換（包括迭代）。例 5設(shè)數(shù)列 an 滿足 an+1 =an2 nan+1, n N+. (I)