兩角和與差的余弦公式的五種推導(dǎo)方法之對比

1、.兩角和與差的余弦公式的五種推導(dǎo)方法之對比兩角和與差的余弦公式是三角函數(shù)恒等變換的基礎(chǔ)，其他三角函數(shù)公式都是在此公式基礎(chǔ)上變形得到的，因此兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)作為本章要推導(dǎo)的第一個公式，往往得到了廣大教師的關(guān)注. 對于不同版本的教材采用的方法往往不同，認(rèn)真體會各種不同的兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)方法，對于提高學(xué)生的分析問題、提出問題、研究問題、解決問題的能力有很大的作用.下面將兩角和與差的余弦公式的五種常見推導(dǎo)方法歸納如下：方法一：應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)角P11 的終邊與單位圓的交點(diǎn)為， POP ，則 POx 過點(diǎn)P作PM x 軸，垂足為M，那么OM即為 角的余弦線，這里要用

2、表示， 的正弦、余弦的線段來表示 OM過點(diǎn) P 作 PA OP1，垂足為 A，過點(diǎn) A 作 AB x 軸，垂足為 B，再過點(diǎn) P 作 PC AB，垂足為 C，那么 cos OA，sin AP，并且 PAC P1Ox ，于是 OM OB BM OB CP OAcos APsin coscos sinsin綜上所述，.說明： 應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式這一方法簡單明了，構(gòu)思巧妙， 容易理解 . 但這種推導(dǎo)方法對于如何能夠得到解題思路，存在一定的困難. 此種證明方法的另一個問題是公式是在均為銳角的情況下進(jìn)行的證明，因此還要考慮的角度從銳角向任意角的推廣問題.方法二：應(yīng)用三角形全等、兩點(diǎn)間的距離公式推

3、導(dǎo)差角公式的方法;.設(shè) P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則有 | P1P2 |=.在直角坐標(biāo)系內(nèi)做單位圓，并做出任意角 ， +和，它們的終邊分別交單位圓于P2、P3 和P4點(diǎn)，單位圓與 x 軸交于 P ，則 P、， 、 ， 、.11(1,0) P2(cossin ) P3(cos( + ) sin( + )，且，.說明：該推導(dǎo)方法巧妙的將三角形全等和兩點(diǎn)間的距離結(jié)合在一起，利用單位圓上與角有關(guān)的四個點(diǎn)，建立起等式關(guān)系，通過將等式的;.化簡、變形就可以得到符合要求的和角與差角的三角公式. 在此種推導(dǎo)方法中，推導(dǎo)思路的產(chǎn)生是一個難點(diǎn)，另外對于三點(diǎn)在一條直線和三點(diǎn)在一條直線上時這一特殊情況，

4、還需要加以解釋、說明.方法三：應(yīng)用余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)，則.在 OPQ中，.說明：此題的解題思路和構(gòu)想都是容易實現(xiàn)的. 因為要求兩角和與差的三角函數(shù)，所以構(gòu)造出和角和差角是必須實現(xiàn)的 . 構(gòu)造出的和角或差角的余弦函數(shù)又需要和這兩個角的三角函數(shù)建立起等式關(guān)系，因此借助于余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式建立起等式關(guān)系容易出現(xiàn)，因此此種方法是推導(dǎo)兩角和與差的余弦的比較容易理解的一種方法.但此種方法必須是在學(xué)習(xí)完余弦定理的前提下才能使用，因此此種方法在必修四中又無法使用. 另外也同樣需要考慮三點(diǎn)在一條直線上的情況.;.方法四：應(yīng)用三角形面積公式推導(dǎo)推導(dǎo)差角公式的方法設(shè) 、是兩個任意

5、角，把 、兩個角的一條邊拼在一起，頂點(diǎn)為 O，過 B 點(diǎn)作 OB 的垂線，交另一邊于 A，交 另一邊于 C，則有 S OAC=S OAB+SOBC.根據(jù)三角形面積公式，有，.， sin(+)=sincos+sincos.根據(jù)此式和誘導(dǎo)公式，可繼續(xù)證出其它和角公式及差角公式.(1)sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+sin(-)cos=sincos-sincos；(2)cos(+)=sin90-(+)=sin(90-)-=sin(90-)cos-sincos(90-)=coscos-sinsin；(3)cos(-)=cos+(-)=coscos(-)-sinsin(-)=cosco

6、s+sinsin.說明：此種推導(dǎo)方法通過三角形的面積的和巧妙的將兩角和的三角函數(shù)與各個角的三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn) . 缺點(diǎn)是公式還是在兩個角為銳角的情況下進(jìn)行的證明，因此同樣需要將角的范圍進(jìn)行拓展 .(五 )應(yīng)用數(shù)量積推導(dǎo)余弦的差角公式;.在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，作單位圓OOx為始邊作角 AB，以， ，它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，則 (cos ， sin )， (cos ， sin ).由向量數(shù)量積的概念，有.由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有.于是，有.說明：應(yīng)用數(shù)量積推導(dǎo)余弦的差角公式無論是構(gòu)造兩個角的差，還是得到每個角的三角函數(shù)值都是容易實現(xiàn)的，而且從向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算兩種形式求向量的數(shù)量