固體物理學(xué)答案(朱建國版)

1、固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)配合固體物理學(xué)（朱建國等編著）使用20佃年9月25日固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)第1章晶體結(jié)構(gòu)1第2章晶體的結(jié)合12第3章晶格振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì) 20第4章晶體缺陷33第5章金屬電子論 37i固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)第1章晶體結(jié)構(gòu)1.1有許多金屬即可形成體心立方結(jié)構(gòu)， 也可以形成面心立方結(jié)構(gòu)。從一種結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N 結(jié)構(gòu)時體積變化很小設(shè)體積的變化可以忽略， 并以Rf和Rb代表面心立方和體心立方結(jié)構(gòu)中最 近鄰原子間的距離，試問 Rf/Rb等于 多少？答：由題意已知，面心、體心立方結(jié)構(gòu)同一棱邊相鄰原子的距離相等，都設(shè)為a：對于面心立方，處于面心的原子與頂角原子的距離為:Ta對

2、于體心立方，處于體心的原子與頂角原子的距離為:Rb=、3a21固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)f 2a . 6Rb 3a 31.2晶面指數(shù)為（123）的晶面ABC是離原點0最近的晶面，OA、OB和0C分別與基失ai， a2和a3重合，除0點外，OA，0B和0C上是否有格點？若 ABC面的指數(shù)為（234），情況又 如何？答：晶面族（123）截色耳念分別為1,2,3等份，ABC面是離原點0最近的晶面，0A的 長度等于a1的長度，0B的長度等于a2長度的1/2, 0C的長度等于a3長度的1/3,所以只有A 點是格點。若 ABC面的指數(shù)為（234）的晶面族，貝U A、B和C都不是格點。1.3二維

3、布拉維點陣只有 5種，試列舉并畫圖表示之。答：二維布拉維點陣只有五種類型，兩晶軸a、b，夾角:，如下表所示。7:QO1簡單斜方2簡單正方3簡單六角序 號晶 系基矢長度與夾角 關(guān)系布拉維晶胞類型所屬點群1斜 方任意a、b,®工上2簡單斜方（圖中1所示）1, 22正方a=b,2簡單正方（圖中2所示）4, 4mm3六 角a=b,Z3簡單六角（圖中3所示）3, 3m, 6, 6mm4長 方af 夕2簡單長方（圖中4所示） 有心長方（圖中5所示）1mm, 2mm4簡單長方5有心長方二維布拉維點陣1.4在六方晶系中，晶面常用4個指數(shù)（hkil）來表示，如圖所示，前3個指數(shù)表示晶面族中最靠近原點的

4、晶面在互成120 °的共平面軸ai，a2, a3上的截距ah, a2/k，a3/i，第四個指數(shù)表示該晶面的六重軸c上的截距c/l.證明：i=-（h+k）并將下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：（001）（133） （110） （323） （ 100）（ 010）（213）答：證明設(shè)晶面族（hkil ）的晶面間距為d,晶面法線方向的單位矢量為n°。因為晶面族（hkil）中最靠近原點的晶面 ABC在a1、a2、a3軸上的截距分別為 a1/h， a2/k， a3/i，因此aS = hda2Ln。= kd （1）a3Ln。=id由于 a3= -（ a1+ a2）ash。

5、= 一（印 a3）_n。把（1）式的關(guān)系代入，即得id =-(hd kd)i (h k)根據(jù)上面的證明，可以轉(zhuǎn)換晶面族為(001) T (0001 ), 1 T (1323), (110) T (1100) , (323) T (3213), (100)宀(1010),(010) t (0110) , (213) t (2133)（3）面心立方:（4）六方密堆積:（5）金剛石:1.5如將等體積的硬球堆成下列結(jié)構(gòu)，求證球可能占據(jù)的最大面積與總體積之比為（1）簡立兀方：一（2）體心立方:63二答：令Z表示一個立方晶胞中的硬球數(shù), Ne是在晶胞棱上的球數(shù)，1 1Z 訓(xùn)一Nf Nei 2 f 4 e1

6、6Nf是在晶胞面上的球數(shù),Ni是位于晶胞內(nèi)的球數(shù),Nc是在晶胞角隅上的球數(shù)。于是有：+ 1 N8叫3固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)邊長為a的立方晶胞中堆積比率為=Z*r33 a3#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)假設(shè)硬球的半徑都為 r，占據(jù)的最大面積與總體積之比為0，依據(jù)題意(1)對于簡立方，晶胞中只含一個原子，簡立方邊長為2r，那么:(2r)3(2)對于體心立方，晶胞中有兩個原子，其體對角線的長度為4r，則其邊長為那么:2 (4/ 3二 r3)(4/、3r)3(3)對于面心立方，晶胞中有四個原子，面對角線的長度為4r,則其邊長為2 2 r,那么:4* (4/3兀r3)0 = =-(2姻)36(4)

7、對于六方密堆積一個晶胞有兩個原子，其坐標(biāo)為(結(jié)構(gòu)中點陣常數(shù)與原子半徑的關(guān)系為000) (1/3, 2/3, 1/2),在理想的密堆積情況下，密排六方a=2r，因此(5)-3 26a c2對于金剛石結(jié)構(gòu)Z=8a；3=8r 那么 F =Z*31.6有一晶格，每個格點上有一個原子，基失(以 nm為單位)a=3i, b=3j, c=1.5 (i+j+k ), 此處i, j, k為笛卡兒坐標(biāo)系中x, y, z方向的單位失量問：(1) 這種晶格屬于哪種布拉維格子？(2) 原胞的體積和晶胞的體積各等于多少？答：(1)因為 a=3i, b=3j，而 c=1.5 (i+j+k ) =1/2 (3i+3j+3k

8、) =1/2 (a+b+c')式中 c' =3c。 顯然，a、b、c'構(gòu)成一個邊長為 3*10-10m的立方晶胞，基矢 c正處于此晶胞的體心上。 因此，所述晶體屬于體心立方布喇菲格子。(2)晶胞的體積=clja b) = 3k|j3i 3j) =27*10-30(m3)原胞的體積：=da b) =1 (3i 3j3k)L(3i 3j) =13.5*10-30(m3)J3 .丄 a .丄 a .1.7六方晶胞的基失為：aaij , baij , c 一 ck2 2 2 2求其倒格子基失，并畫出此晶格的第一布里淵區(qū) 答：根據(jù)正格矢與倒格矢之間的關(guān)系，可得：正格子的體積 Q=

9、a (b*c)=爲(wèi)2a c22二(b c) 2 . 2 .2二(c a) 2二.2 :那么，倒格子的基矢為 b1ij ，b2iQV3aaQ43aab2二(a b)=當(dāng)-11- c其第一布里淵區(qū)如圖所示：1.8若基失a, b，c構(gòu)成正交晶系，求證：晶面族(hkl)的面間距為答：根據(jù)晶面指數(shù)的定義，平面族(dhklhkl )中距原點最近平面在三個晶軸a1，a2，a3上的截距5固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)分別為色，a2，生。該平面(ABC )法線方向的單位矢量是 h k ldhdkdln x y zaia2a3這里d是原點到平面ABC的垂直距離，即面間距。由|n |=1得到aia2a3故7

10、)2 (捫卯1.9用波長為0.15405nm的X射線投射到鉭的粉末上，得到前面幾條衍射譜線的布拉格角0如下序號123450 / (°)19.61128.13635.15641.15647.769已知鉭為體心立方結(jié)構(gòu)，試求：(1) 各譜線對應(yīng)的衍射晶面族的面指數(shù)；(2) 上述各晶面族的面間距；(3) 利用上兩項結(jié)果計算晶格常數(shù) .答：對于體心立方結(jié)構(gòu)，衍射光束的相對強(qiáng)度由下式?jīng)Q定:l°° Fhkl |= f21+cos兀n(h+k+l)2 + f2sin®n(h + k + l)考慮一級衍射，n=1。顯然，當(dāng)衍射面指數(shù)之和(h+k+l )為奇數(shù)時，衍射條紋

11、消失。只有當(dāng)(h+k+l)為偶數(shù)時，才能產(chǎn)生相長干涉。因此，題給的譜線應(yīng)依次對應(yīng)于晶面(110)、( 200)、(211)、(220)和(310)的散射。由布喇格公式2dhki sin)- (n = 1)得d代斫=2=2.295分旳同法得d2001.6334 10J0(m)2sin 日2/ -10d2111.3377 10 (m)2sin 實10d2201.1609 10 (m)2sin 日310d3101.0403 10(m)2sin 04應(yīng)用立方晶系面間距公式dhklh2廠l2#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)可得晶格常數(shù)a = dhkp. h2k2 l2把上面各晶面指數(shù)和它們對應(yīng)的

12、面間距數(shù)值代入，依次可得a的數(shù)值*10-10m為3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897取其平均值則得a =3.2725 10°(m)1.10平面正三角形，相鄰原子的間距為 a,試給出此晶格的正格矢和倒格矢；畫出第一和第二布里淵區(qū).用正交關(guān)系式bldaj =2叭兀，獸求出倒易點陣初基矢量b1，b2。設(shè)b1 二dxi Pyjb2 =b2xib2yj由 b|_a =2二 bLa? =0 b2_a1 = 0 b2La2 =2二得到下面四個方程式aiKbJ - biyj) =2二(1)1(畀司壯4) Pyj) =0aiEb2yj) =0(3)1(2aifaj)L(

13、b2xi b2yj)=2 二(4)7固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)2 IT由（1 ）式可得：b1xa由（2 ）式可得：b1y2 :.3a#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)由（3 ）式可得：b2x =0由（4 ）式可得:b2y4 二3a#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)于是得出倒易點陣基矢2兀bi :a2 二4 二一 3aj b：3aj#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)補(bǔ)充習(xí)題：1.11什么是晶體？什么是非晶體？試各舉一例說明。答：晶體是原子、離子或分子按照一定的周期性，在結(jié)晶過程中，在空間排列形成具有一定 規(guī)則的幾何外形的固體，如鐵；非晶體是其中的原子不按照一定空間順序排列的固體，如玻

14、璃。1.12什么是原胞？什么是晶胞？答：原胞是具有2維、3維或者其他維度平移對稱性的簡單點陣結(jié)構(gòu)的最小重復(fù)單元，晶胞是 為了反映晶體的周期性和對稱性而選取的重復(fù)單元。1.13什么是布拉維原胞？什么是 WS原胞？ 答：布拉維原胞就是晶胞，WS原胞是以晶格中某一格點為中心，作其與近鄰的所有格點連線的垂直平分面，這些平面所圍成的以改點為中心的凸多面體即為該點的WS原胞。1.14試計算面心立方和體心立方的堆垛因子答：設(shè)面心立方晶胞的邊長為a,則堆垛成面心立方晶胞的原子半徑最大為、2a/4。由于面1 1心立方體晶胞中有8 -4個原子，所以面心立方的堆垛因子82#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)342：4 aji：0.

15、7405設(shè)體心立方晶胞的邊長為a,則堆垛成體心立方晶胞的原子半徑最大為,3a/4。由于體心立1方晶胞中有81=2個原子8所以體心立方的堆垛因子#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)342：#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)342：Ji0.68021.15繪出面心立方的晶胞和原胞示意圖。答：面心立方的晶胞和原胞如下圖所示，黑色-晶胞，藍(lán)色-原胞。#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)342：#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)342：1.16試?yán)L出二維正方晶格的 W S原胞，設(shè)邊長為 a。答：1.17請列表給出簡立方、體心立方、面心立方的最近鄰（第一近鄰）到第十近鄰的原子數(shù)、 原子間距。答：設(shè)簡立方、體心立方、面心立方晶胞邊長為a。第n近鄰間立方體心立方面心立

16、方原子數(shù)原子間距原子數(shù)原子間距原子數(shù)原子間距16a8j3a/212j2a/221242a6a6a38<3a1272a24<r6a/2462a24v'11a/212縣a524V5a8+ 3a24、T0a/2624晶a62a8<，3a7122、Qa24<9a/224H、不a/28303a24v5a62a924、10a24V6a122a/21024、石a24V3a/224Z5a1.18繪出金剛石結(jié)構(gòu)的兩個面心立方子晶格的套構(gòu)情況。答:#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)1/4的長度套構(gòu)而成。金剛石結(jié)構(gòu)是由兩個面心立方格子沿體對角線位移1.19繪出立方晶胞里的晶向與晶面：101 ； 1

17、22； 301 ； 002 ; 130; 312答：1.20繪出六方晶胞里的晶向與晶面：0110； 1120 J 11011）0003 ; 1010 ; 0111答：1.21按照WS原胞的構(gòu)造法，如果BCC中一個原子的所有最近鄰原子的連線的中垂面圍成一 個什么圖形，體積為多少？如果BCC中一個原子的所有次近鄰原子的連線的中垂面又圍成一個什么圖形，體積為多少？答：原點和8個近鄰格點連線的垂直平分面圍成的正八面體，沿立方軸的6個次近鄰格點連線的垂直平分面割去八面體的六個角，形成的14面體一一八個面是正六邊形，六個面是正四邊形。xoiwi* Ihxly Centred Cube9固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#

18、固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)1.22為什么晶體沒有5次對稱軸，而準(zhǔn)晶體有 5次對稱軸？B'答：設(shè)在圖中，是晶體中某一晶面上的一個晶列，AB是這晶列上相鄰兩個格點的距離。AfIIJI /! /I / i/ 1Ai晶體中某一晶面的晶列（1）旋轉(zhuǎn)角0蘭日蘭一，通過A處的u軸順時針方向轉(zhuǎn)過 日后，使B1點轉(zhuǎn)到B '若通過B2處u軸逆時針方向轉(zhuǎn)過 日角后，A1點轉(zhuǎn)到A'經(jīng)過轉(zhuǎn)動后，要使晶格能自身重合，則A' B'點必須是格點，由于A'、B'和AB平行，A'B'必須等于AB的整數(shù)倍，即AB、AB 1 2cos=，r1n n于是 cos=0, ,

19、1=, ,0。2 2 3(2)旋轉(zhuǎn)角，同理A > A,B > B ，有212"AB AB1 2cosAB1-2cos，于是有 cos = ,-1，二23?冗 ？肚 ？冗 ？兀 2tt綜上，旋轉(zhuǎn)角改寫為，。即晶體中只存在1、2、3、4、6次轉(zhuǎn)軸。12346另外一方面因為晶體的旋轉(zhuǎn)對稱性要受到內(nèi)部結(jié)構(gòu)中點陣無限周期性的限制，有限外形的旋轉(zhuǎn)不能破壞點陣無限的周期排列，所以晶體沒有5次對稱軸，而準(zhǔn)晶體是介于周期晶體和非晶玻璃之間的一種新的固態(tài)物質(zhì)形態(tài)，即準(zhǔn)晶體可以有5次對稱軸。1.23試寫出沿X2軸有90°旋轉(zhuǎn)軸的變換矩陣。答：(1)逆時針旋轉(zhuǎn)X1=X3=1* x2=X

20、21X3=X1001010_100_|(2)順時針旋轉(zhuǎn)X； = -X30 0-10 101 00 J1.24舉例宏觀對稱元素與微觀對稱元素宏觀：轉(zhuǎn)動 對稱中心 反演 對稱面 反映 微觀：平移和平移軸螺旋旋轉(zhuǎn)與螺旋軸滑移反映和滑移面1.25對于立方晶系，晶體的介電常數(shù)矩陣簡化為什么情況？答：在晶體中，電位移矢量 D與電場強(qiáng)度E間的關(guān)系可以寫為：Dj - +E '對于立方晶系，當(dāng)把電場 E同晶體一起轉(zhuǎn)動時，電位移矢量也將作相同的轉(zhuǎn)動。用D'表示轉(zhuǎn)動后的電位移矢量。設(shè)電場E沿著立方軸y，這時Dx=Dz 二；xyE， Dy=Dy 二；yyE, D*-D*-1乂丫E但是，轉(zhuǎn)動是以 E為軸

21、的，實際上電場并未改變。而上述轉(zhuǎn)動又是立方體的一個對稱操作，所以轉(zhuǎn)動前后晶體沒有任何差別，電位移矢量D應(yīng)不變，即D'=D11固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)/zz代入，可得:；zy,即；xy#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)如果取E沿z方向，并繞z軸轉(zhuǎn)動,2同理，可得：；xz#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)的非對角元都等于零，于是D . - E -.，(: - x, y, z)再取電場沿立方體111 1方向，則xDyDz#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)繞Ill 1軸轉(zhuǎn)動，使z軸轉(zhuǎn)到原x軸，x軸轉(zhuǎn)到原y軸，y軸轉(zhuǎn)到原z軸，則轉(zhuǎn)動后的3寫為zz#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指

22、導(dǎo)y；xxDyD；與前論述的一樣，電場實際是沒變的，晶體所經(jīng)歷的又是一個對稱操作，晶體也完全未變, 所以，D '和D應(yīng)相同。#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)zz13固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)第2章晶體的結(jié)合2.1解：（1）離子鍵：無方向性，鍵能相當(dāng)強(qiáng)；（2）共價鍵：飽和性和方向性，其鍵能也非常強(qiáng)；（3）金屬鍵：有一定的方向性和飽和性，其價電子不定域于2個原子實之間，而是在整個晶體中巡游，處于非定域狀態(tài)，為所有原子所“共有”；（4）范德瓦爾斯鍵：依靠瞬時偶極距或固有偶極距而形成，其結(jié)合力一般與r7成反比函數(shù)關(guān)系，該鍵結(jié)合能較弱；（5）氫鍵：依靠氫原子與2個電負(fù)性較大而

23、原子半徑較小的原子（如 0, 有方向性，也有飽和性，并且是一種較弱的鍵，其結(jié)合能約為2.2解：2.3解：F, N等）相結(jié)合形成的。該鍵也既50kJ/mol。根據(jù)彈性模量的定義可知上式中利用了 p - - dU的關(guān)系式。dV設(shè)系統(tǒng)包含N個原子，則系統(tǒng)的內(nèi)能可以寫成NNaPU =u（r）巧（一飛-n'22rr又因為可把N個原子組成的晶體的體積表示成最近鄰原子間距r的函數(shù)，即V 二 Nv 二 N 十3上式中1為與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的因子（如面心立方結(jié)構(gòu),二.2/2 )。13固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)又因為#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)dU（而）（鶉(5)考慮平衡條件（執(zhí)=0，得nin，那么（5）

24、式可化為d2U1(丹阪.m2。n2聞1N |m丄nP-4-一mm +n nmnr0 r0 -9V°2 -r0 r0 一r0mr0#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)19V02mn9Vo2 4 -.t mnm即二西（丄0）（6）#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)將（6）式代入（1）式得:K =Vo mn2 -U9Vo9Vo所以19V0mnUo#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)2.4解：在平衡位置時有u(r) =20+旦-E一一 eK100(1)du(r) 2Adr3r。10B=011r。(2)將離解能Ek =4 eV和r0 = 0.3 nm,代入（1）和（2）式可得:19A =4.5 10

25、2_96eV m , B = 5.9 10 eV 10 m 。2.5解：由題意有以下方程成立:A旦U90ro9Adr100弓=0r。#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)把r0，U的具體數(shù)值代入上述方程組，即得:(2.8 1 0 40)9 2.8 1 0 J0-8 109#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)9A+i (2.8漢100)10(2.8"0_l0)2由此可得：A =1.0578 10，°5J m9, B =2.52 108J m該晶體的有效彈性模量為：K =必（黑V0dV又V =Nv =N 訃3（上式中N表示晶體中所含的原子個數(shù)，1表示與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)的因子）#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)

26、15固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)1,d2UK =9 ' Nr0(_dr)/*(暉-孚)二丄®797 "11=4.734 X 10109 ' ro r° ro9'2.6#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)T”亍3，故(3)在體心立方點陣，每個原子平均所占據(jù)的體積-(2 r)323(4)在金剛石點陣中，每個原子平均所占據(jù)的體積3r)8 J 3 3 r3，故9解：(1)在簡單立方點陣中，每個原子平均所占據(jù)的體積(2)在面心立方點陣中， 每個原子平均所占據(jù)的體積#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)(5)在NaCI點陣中，每個原子平均所占據(jù)的體積#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體

27、物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)2.7解:#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)2.8解:2.9解:NaCI晶體中Na+和CI-的最近距離為r0，晶胞基矢長為2r0NaCi晶體中Na和ci的最近距離為r°。晶胞基矢長為2 r°,個晶胞中含有四對正負(fù)離子對。- 一個原胞(一個NaCI分子)的體積為：-3 m (23 35.45)/ = O r _° = ' N 2.16 6.02 1023-NaCI晶體中的正負(fù)離子的平衡間距為：r廠 2.82108cm 二 0.282nm。佗nm由晶體體積彈性模量的公式：#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)n=1Me2Bm36 3.14 8.85 1012

28、 2 (0.282 10冷41.7476 (1.6 10-19)22.41 1010=7.82由平衡時離子晶體的內(nèi)聚能公式:NMe21(1 )4。0 n，將n=7.82代入得NaCI晶體的每對離子的內(nèi)聚能為:UcUcN咒(1T1.7476 (1.6 10 19)24 3.14 8.85 10_12 0.282 10_19(1農(nóng))1.24 1018J2.10解：(1)在平衡時，有下式成立du(x)dx(1)由上式可得Xo二二(2)設(shè)該N個惰性氣體原子組成的一維單原子鏈的總的相互作用勢能為U(x)，那么有U(x)A I C 12 CTI % ()12 2()X1jX1j(2)設(shè)X為2個原子間的最短

29、距離,則有x1 ajX，那么(2)式可化為U(X“2N 0 a(X)12-b(X)617固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)1 1 1其中(3)式中A 巨=2 (1 飛 右 )：2.00048，j aj23#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)=2 2 (1 丄丄 J ： 4.07809 o23#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)那么每個原子的平均晶格能為#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)U（x。）Mq2BnrU（r） 2"上式中的r指NaCI晶體中相鄰兩離子間的距離。(1)又設(shè)NaCI晶體處于平衡狀態(tài)時，相鄰兩離子間的距離為r°，則有ro由平衡條件可知dU (r)drN Mq22 |【_4二；&#

30、176;rnB2 rn1=00二 12 二 60 2.00048() -4.07809()6 2 IL二-2.11o解：若NaCI晶體的馬德隆常數(shù) M=1.75，晶格常數(shù)a=5.64 A，幕指數(shù)n=9°晶體拉伸而達(dá)到 穩(wěn)定極限時，求：（1）離子間距增加多少？（2）負(fù)壓強(qiáng)的理論值是多大？解：（1）設(shè)該NaCI晶體的含有N個離子，則其相互作用勢能為#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)由（2）式可得：B = -Mr0nj o4兀®n當(dāng)晶體拉伸而達(dá)到穩(wěn)定極限時，此時相鄰離子間的引力達(dá)到最大值，即有d2U (r)dr2N 2Mq2|32 4二；0rn(n 1)B(3)#固體物理學(xué)

31、習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)將B二衛(wèi)Jr0n代入（3）式可得4瓏0n1 15.640二 3.45 A 2*n +1 話 9 +1 "| r0 = iI 2丿0 I 2丿0因而離子間距增加了厶r = * -r0 =3.45-2.82 =0.63 A2.12試?yán)弥行杂嬎闳S NaCI晶體的馬德隆常數(shù)。圖3.7氯化鈉結(jié)拘的埃夫琴卑胞.圖中O為負(fù)離子，為正離12/4子.所注數(shù)字表聲與之坊價的諸離子對空的直獻(xiàn).例如卞：表明 V 2卩月皿 的熬子有12個，毎個寓子屬于所考虎的巾性離子紐的分?jǐn)?shù)是1/4廠北算圖3.8氯化鈉姑構(gòu)R個埃夫琴車腕的1/$*藩考離了悅于空下理。乩 圖中所注數(shù)字表明打之零價

32、的詰蠱子對口的面fit與圖3.7卮21固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)取圖 7所示的埃夫琴單胞，對單胞內(nèi)毎離子育按求和，計算馬徳降常數(shù)6/2 12/4 8/8 = TVF+= L456#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)取8個埃夫琴單胞，X1/8如圖久8所示.參考離子位于0點，計算得馬 德隆常數(shù)為#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)=(2. 13411. 5+5, 3674. *991. 061+20 289 =1. 752類似地取27個埃夫琴單胞，經(jīng)il算得礙=17472.13試求出GaAs的離子鍵比例，Ga、As的電負(fù)性分別為1.5、2.0。, I. (1.5-2.0 2CC1 exp =0.0606. 4 一Kr2.14 Kr晶體是

33、面心立方結(jié)構(gòu)，滿足勒納-瓊斯勢，如果只計算到第三近鄰，試求熱平衡時晶體的結(jié)合能。#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)解:3* 2面心立方結(jié)構(gòu)的點陣和(血和考慮勒納-瓊斯勢，惰性氣體聶體的總能量可以寫為點陣和i再是以最近鄰距離F度雖的參考原子與任何一個J原子之間的距離，p廠 Z點陣和島和九抉定于晶體結(jié)構(gòu)類型對于面心立方站構(gòu)，有t2個最近鄰，最近鄰距肉幾=1,有6個次近鄰，次近鄰 距離p產(chǎn)忑、有24個第三近鄰第三近鄰距離p廠羽,于是(a) 只計及最近鄰= 12x(1) = 12,4(P = 12x(lf1? = 12(b) 計及最近鄰和次近鄰42) =12x()+ 6x(72-12.750用？ = 12x()&q

34、uot;12 +6 x(V2)'12 = 12.094(C)計及最近鄰，次近鄰和第三近鄰曙= 12x(1)"+ 6彳邁 廠+ 24R 盯廣=13.639 4? = 12x(l)_l? +6X 1/2 )_，2 +24x1 V3)-'2 = 1227可以看到/口收斂得很快，而皿收斂得較慢當(dāng)以上求和取到三項后，/口已經(jīng) 得到相當(dāng)一致的結(jié)果.通常所采用的fee點陣和數(shù)值是九= 1445 如 13m= 8.35X 10一27kg，恢復(fù)第3章晶格振動和晶體的熱學(xué)性質(zhì)3.1試求由5個原子組成的一堆單原子晶格的格波頻率，設(shè)原子質(zhì)量一 1力常數(shù)3 = 15N m解：一維單原子鏈的解為

35、Xn二Aei（ a據(jù)周期邊界條件X1 =XN j，此處N=5,代入上式即得e_i(5a)q=123固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)所以5aq = 2二（為整數(shù)）由于格波波矢取值范圍：-一：:q ：。貝V - 5 ：:a a22故 可取2, - 1, 0, 1, 2這五個值,亠、亠4兀2兀 2兀 4兀相應(yīng)波矢：，0,-5a 5a 5a 5a由于=¥|s山號，代入P , m及q值 則得到五個頻率依次為（以rad/sec為單位）131313138.06 X 10 , 4.99 X 10 , 0, 4.99 X 10 , 8.06 X 103.2求證由N個相同原子組成的一維單原子晶格格

36、波的頻率分布函數(shù)可以表示為4： 2N cm - 2）式中 'm = 4' m是格波的最高頻率，并求證它的振動模總數(shù)恰為N解：對一維單原子鏈，dN = 1（ Jd = ：? q d（? =2 iq dq所以' ?、q d.,（i）dq由色散關(guān)系d dq2 qa i/2為)今（佇）一丁2m#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)而q咱燈，則由（1）式可得 i 2Na咆)=-.21/22 N 22 1/2C m - )71#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)由于鳥，則總的振動模數(shù)為WmWm2N-2) i2d- #固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)赳汀2CCm(1)由(3 71)可得由此可得=-m 3n，代入

37、（1 ）式得令一 =sin則積分限為0到二/2 ,故 ，mN 2 cos 二 J cos =0 二3.3設(shè)晶體由N個原子組成，試用德拜模型證明格波的頻率分布函數(shù)為.2解：由書上（3 69）式可得=gij、v r 3#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)m 1,試求(2)聲學(xué)波的最高頻率爲(wèi)X ；(3)相應(yīng)的聲子能量（以 eV為單位）；(4)在300K可以激發(fā)頻率為-ax ,Amin 和的聲子的數(shù)目;(5)解:(1)如果用電磁波來激發(fā)長光學(xué)波振動，電磁波的波長大小。4m5. Mmmax2Hr6.70 1013rad/sec ： 1.07 1013Hz'min=2:5.99 1013rad

38、/sec ： 0.95 1013Hz mo Amax3.00 1013rad/sec ： 0.48 1013Hzmax107 1013 越"41 計eVof v 9N齊-；.-：m3.4對一堆雙原子鏈，已知原子的質(zhì)量m= 8.35X 1027kg，另一種原子的質(zhì)量 W 4m,力常數(shù)3 = 15N (1)光學(xué)波的最高頻率和最低頻率max和-min ;#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)rn : 3.95 10'eVLrAax =1.9710°eV二 )住Rax A0221 ,f n )們 min 產(chǎn) 0276 ,( n)(0max st 0.873C c .Ott

39、-(4)光速 c=v ,2.810m = 28>mV U max3.5設(shè)有一維晶體，其原子的質(zhì)量均為 m而最近鄰原子間的力常數(shù)交替地等于和10 1 ,且 最近鄰的距離為a/2，試畫出色散關(guān)系曲線，并給出 q = 0和q - : /a處的門q。 解：設(shè)標(biāo)為奇數(shù)的原子和附近為偶數(shù)的原子所處的環(huán)境不同，參看圖，B 10p B 10p25固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)X2n-1X2nX2n+1X2n+2原子的運動方程應(yīng)是mX2n =10： X2n 1 X2n - ： X?n -mXon .1 二：Xon 2 一 X?n 1 一 ： X?n 1X2n J_ X2n即mX2n =1：10X2n 1 XonJ -

40、 “XonmX2n 1 =:遼X2n .2 10Xon -1% 1求格波解，令iaX2n=Ae0代入運動方程，可導(dǎo)出線性方程組為:“11BI m 丿_ eiqa/2 10ejqa/2 mia-1oeiqa/2e 鄧/2b = 0m令二0，從A , B有非零解的系數(shù)行列式等于零的條件可得m(11 就2 2 (<(10eiqa/2 +ra/2)(eiqa/2 +10e網(wǎng)/2)】=0可解出 2 = $ 11 二、20 c o Sa 10 1色散關(guān)系見下圖27固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)0q = 0 時，cosqa =1, 、一一 22 0，.在一維雙原子鏈中，如3.6求證Msinqa

41、#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)證m 21 cos qa) 2M由書中（3.22 ）式知，雙一維原子鏈聲學(xué)支#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)m M1 - 1 Mmsin2qa1/2(m M )#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)>> m， . 4mM ： ： 1 由近似式 1-xmM（當(dāng) x ： 1）：m M M-lsin2qa1/22(m + M )mM2P . 2 sin qa m M2 .2 sin qa，M(m M)1 1-mMsinqa1/2(M m)P1m(Mm)24MmMm)2 +3品曠M m M m29固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)-1 ( m42il/2-

42、icos qa 1 4+2 M2 1c o sqa 2 1 c o sqa M2cos2qa)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)3.7在一維雙原子晶格振動情況中，證明在布里淵區(qū)邊界q = _2a處，聲學(xué)支格波中所有輕原子靜止，而光學(xué)支格波中所有重原子M靜止。畫出這時原子振動的圖象。由（ 3- 18）第一式得定浮，當(dāng)一方時COS""且對聲學(xué)支1/2，代入上式即得:B 22M=0，故A= 0,輕原子靜止再由（3 18）第二式得B 2 - cosqa時 cosqa 二 02a且對光學(xué)支，二M，代入上式即得A 22：M=0 故B= 0,重原子靜止#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理

43、學(xué)習(xí)題指導(dǎo)3.8設(shè)固體的熔點T對應(yīng)原子的振幅等于原子間距 a的10%的振動，推證，對于簡單晶格,/<1/2接近熔點時原子的振動頻率=-50kBT i ，其中m是原子質(zhì)量。a i M 丿解當(dāng)質(zhì)量為M的原子以頻率及等于原子間距a的10%的振幅振動時，其振動能為：E = M 2 A =丄皿旦 在熔點T時，原子的能量可按照能量均分定理處理，即一2 2 101（ a 丫個一維原子的平均能量為 kBT，于是有一M2 | =kBT，由此得2110 丿/<1/2心'摯1 a I M 丿1 丫3.9按德拜近似，試證明高溫時晶格熱容Cv=3NkB1- 丨20"丿證明：由書可知 Cv

44、=9NkB(T/TGD)3jT e x dx在咼溫時，yQd，則在整個積分范圍內(nèi)X為小量，因此可將上式中被積函數(shù)化簡為2 =(ex 1)(e4xxA2_x/2-e )4x2 * 3 >2xx +、24丿2x 22":八1 12/ 2 2彳 x=X 1 1231固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)3將上式代入Cv的表達(dá)式，得Cv =9NkB（T/T0D）= 9NkB(T/T0D)3-3JT丿1 -20 I T丿#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)= 3NkB 1-丄 9.-20 I T丿3.10設(shè)晶格中每個振子的零點振動能為，試用德拜模型求三維晶格的零點振動能22解：由（3

45、 69）式知，狀態(tài)密度：' - gV二0D2'23V -2 3v316二23 V16二2 v36-<1/32 V 1v N3.11E0 =32166二2 Nv3 DV在德拜近似的基礎(chǔ)上， 討論由一個N個原子組成的二維晶格的比熱,證明在低溫下其比熱正比于T2 證明：（解法一）此題可推廣到任意維 m,由于#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)dN =g q dq =Cdqm =C1qm1dqd 33固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)1 m 1g =C q<dq#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)而德拜模型中二vq，故g2qmJ-mJCv ：kB令x，則上式變?yōu)閤 m1 xp e x2 dx0 ex-1kTcv 二 TmJT ex 2dx = Tmex -1在低溫時： e則積分.。打idx為一個于T無關(guān)的常數(shù)故CvTm對三維m= 33Cv T對本題研究的二維m = 2Cv ：:T2對一維m= 1(解法二)德拜模型考慮的格波是彈性波，波速為.維波矢空間內(nèi),格波的等頻線是一個個的圓環(huán)，如圖所示#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)2_qdq =S d 2 二 v2在q > (q dq)區(qū)間內(nèi)波速為v的格波數(shù)目S dz =(2兀式中S是二維晶格的總面積，由此可得波速為v的格波的模式密度#固體物理學(xué)習(xí)題指導(dǎo)dzd_S_2v2考慮到二維介質(zhì)有兩支格波，一支縱波，