多元函數(shù)微分法2010PPT學(xué)習教案

1、會計學(xué)1多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法2010.,),(),(),(),(yxyxffyzxzzyxyxfyxfDyxfz或或記記為為簡簡稱稱為為偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)它它們們均均為為上上的的每每一一點點都都有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)域域若若 處處可可偏偏導(dǎo)導(dǎo)。在在點點偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)時時，簡簡稱稱的的與與對對處處同同時時存存在在對對在在點點當當函函數(shù)數(shù)00,00),()(),(MyxfyxyxMyxfz 第1頁/共32頁xyxzuxyzyeyxxzyzxz )3(;arctan)2( ;2)1( :,323求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)例1xxeyxyzyexyxxz 22326 ,

2、43)1(:解解第2頁/共32頁11;ln ;lnln)3( xxxyxxyxyzyzuxyzzyuyyzzxu2222222 ;)(11)2(yxxyzyxyxyxyxz 第3頁/共32頁).0 ,0(),0 ,0()2(.)0 ,0(),()1( )0 ,0(),( 0)0 ,0(),( ),(422yxffyxfyxyxyxxyyxf求求的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論設(shè)設(shè) .)0,0(),(.lim),(lim)1(:422)0,0(),()0,0(),(點點不不連連續(xù)續(xù)在在不不存存在在由由第第二二節(jié)節(jié)例例知知解解yxfyxxyyxfyxyx 0)0,0(),0(lim)0,0(0)0,0

3、()0,(lim)0,0().2(00 yfyffxfxffyyxx例2函數(shù)中，可導(dǎo)必連續(xù)。函數(shù)中，可導(dǎo)必連續(xù)。在該點連續(xù)。而在一元在該點連續(xù)。而在一元不能保證不能保證在一點的偏導(dǎo)數(shù)存在在一點的偏導(dǎo)數(shù)存在二元函數(shù)二元函數(shù)),( ),(yxfyxf第4頁/共32頁:偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的幾幾何何意意義義.)(,( ),(:),(0,00,00000軸軸的的斜斜率率處處的的切切線線對對在在點點表表示示曲曲線線yyxfyxMxxyxfzyxfy .)(,( )(:)(0,00,0000,0軸軸的的斜斜率率處處的的切切線線對對在在點點表表示示曲曲線線xyxfyxMyyx,yfzyxfx 第5頁/共32頁xy

4、z),(yxNyxMxT),(yxfz yT第6頁/共32頁3.2 高階偏導(dǎo)數(shù)二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) )(),()(),(y 22yzxyxfxyzxzyyxfxzyxxy .,., 階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)以以及及四四階階類類似似地地定定義義三三階階n)(),(y )(),( 2222yzyyxfzxzxyxfxzyyxx 二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)第7頁/共32頁.,),0(),(222222yzxzxyzyxzxxyxfzy 求求設(shè)設(shè)xyzxyxxyxzxxyzxxyzxyyxzyxxzyyyyyy 21122222221ln )(ln,ln )1(,:解解例3第8頁/共32頁0 1222222

5、222 zuyuxuzyxu滿滿足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程證證明明25222222252222322222)(2 2)(23)(1 zyxzyxxzyxxzyxxu 例4 )( 2)(21:2322223222zyxxxzyxxu 證證明明第9頁/共32頁25222222222522222222)(2 , )(2 :zyxxyzzuzyxxzyyu 同同樣樣可可得得0222222 zuyuxu第10頁/共32頁0)0 , 0()0, 0(lim)0 , 0( 0)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(:00 yfyffxfxffyyxx解解 (0,0).(0,0),0 00 ),(2

6、222223yxxyffyxyxyxyxyxf求求 22223522232422)(2),( ,)(3),(,0yxyxxyxfyxyxyxyxfyxyx 時時當當例5第11頁/共32頁,5,32222xyyyxyxyyyxy 中中例例而而中中例例?么么條條件件混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)相相等等需需要要什什00lim )0,0(),0(lim)0,0(00 yyfyffyxxyxy )0 , 0()0 , 0(1lim)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(00yxxyxyyxyxffxxxfxff 第12頁/共32頁. ),(),(, ),(),(),(:1 . 3偏導(dǎo)數(shù)的次序無關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的次序

7、無關(guān)即與求即與求則有則有連續(xù)連續(xù)內(nèi)內(nèi)的某鄰域的某鄰域在點在點若若定理定理yxfyxfyxyxfyxfxyyxyxxy 10 ),( ),(),( ),(),(),( ),(),( ),(),(:11 yyyxyxyyxFyxfyxxfyxyxfyxxfyyxfyyxxfFy則則設(shè)設(shè)證證明明 10 ),( ),(),( 21211 yxyyxxfyyyxfyyxxfyxyy第13頁/共32頁),(),( :0, 0, ),(),( 1,0 ),( : 43424343yxfyxfyxffyyxxfyyxxfyxyyxxfFyxxyyxxyxyyxxy 得得令令連連續(xù)續(xù)由由于于同同樣樣可可得得 第

8、14頁/共32頁定義定義 3.23.23.3 全微分全微分),(),(yxfyyxxfz :),(),( 處的全增量處的全增量在在yxyxfz , )()(),(),( ),(),(22有有關(guān)關(guān)而而與與無無關(guān)關(guān)與與其其中中的的全全增增量量可可表表示示為為在在點點如如果果yxyxyxoyxyxfyyxxfzyxyxfz yxdzdzyxyxfzyxyxyxfz ,),(),(,),(),( 即即記為記為的全微分的全微分在點在點為為處可微處可微在點在點則稱則稱第15頁/共32頁如果函數(shù)f在區(qū)域D內(nèi)處處可微，則稱f為區(qū)域D內(nèi)可微函數(shù)。yyzxxzdz 則則可可微微在在點點若若函函數(shù)數(shù)必必要要條條件件

9、定定理理,),(),()(2yxyxfz 且且處存在偏導(dǎo)數(shù)處存在偏導(dǎo)數(shù)在在,),(),()2(yzxzyxyxf ;),(),()1(處處連連續(xù)續(xù)在在yxyxf第16頁/共32頁),(),(lim)()(),(),(),(),()1()0,0(),(22yxfyyxxfyxoyxyxfyyxxfzyxyxfzyx 處處可可微微在在證證明明處處連連續(xù)續(xù)在在),(),(yxyxf第17頁/共32頁 )(lim),(),(lim 00 xxoxyxfyxxfxzxx于于是是處處可可微微在在),(),(),(),(),(),(),(),()2(yoyyxfyyxfxoxyxfyxxfyxyxfz )(

10、lim),(),(lim 00yyoyyxfyyxfyzyy第18頁/共32頁由于自變量的微分等于自變量的改變量由于自變量的微分等于自變量的改變量, ,即即,d ,dyyxx 從而全微分可寫成從而全微分可寫成可微可微連續(xù)和可偏導(dǎo)連續(xù)和可偏導(dǎo)可微可微可偏導(dǎo)可偏導(dǎo)? ?dyyzdxxzdz 第19頁/共32頁.)0 , 0(),(),0 , 0(),0 , 0(00 0sin),(222222處處的的可可微微性性在在并并討討論論求求設(shè)設(shè)yxfffyxyxyxyxyxfyx 0000lim)0 , 0(), 0(0lim)0 , 0( 0000lim)0 , 0()0 ,(0lim)0 , 0(:

11、yyyfyfyfxxxfxfxfyx解解例6第20頁/共32頁22)()()sin(yxyx ) 0 , 0()0 ,0(fyxff 而而22)()()0 , 0()0 , 0(yxyfxffyx 22)()()sin(yxyx 而極限而極限220)()()sin(limyxyx 不存在。不存在。第21頁/共32頁,.,62:的條件的條件高階無窮小高階無窮小是比是比加上加上必須再必須再但它并不一定是全微分但它并不一定是全微分表達式表達式當偏導(dǎo)數(shù)存在時可得到當偏導(dǎo)數(shù)存在時可得到而非充分條件而非充分條件要條件要條件偏導(dǎo)數(shù)存在是可微的必偏導(dǎo)數(shù)存在是可微的必知知及例及例由定理由定理注注 yyzxxzz

12、dzyyzxxz 才能保證全微分存在，且yyzxxzdz 第22頁/共32頁定理3.3（充分條件） .,在在該該點點可可微微則則函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在點點的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)若若fyxMyzxzyxfz 0,1010,:2121 yyxfxyxfyyyxfxyyxxfyxfyyxfyyxfyyxxfyxfyyxxfzyxyx證證明明 yxyyxfxyxfyx ,第23頁/共32頁 ;0;0lim,0lim;002222 oyxyxyyxxyx又又而而由定義知，f 在M點可微。第24頁/共32頁 處處在在求求全全微微分分2, 12)2( )1(:34xyxzezyx dydxdzyzxzyxyzy

13、xxzdyxedxyedzyxyx123412,34:2, 13,242 1:)2,1(2433 處處在在解解例例8處處的的全全微微分分。在在求求函函數(shù)數(shù))1 , 1 , 1()ln(2zyxu 第25頁/共32頁例例 9 設(shè)二元設(shè)二元函函數(shù)數(shù)00 01sin),(22222222 yxyxyxyxyxf）（問在問在(0,0)處，處，f (x, y)的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？偏的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)？導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)？f(x, y)是否可微？是否可微？解：解： 01sinlim0,00,0lim0,02200 xxxxfxffxxx第26頁/共32頁同樣同樣 00,0 yf022 yx時時 不不

14、存存在在yxfyxfyxyxyyxyyxfyxyxxyxxyxfyyxxyxyx,lim,lim1cos21sin2,1cos21sin2,0,0,0,0,222222222222 第27頁/共32頁所以在一點可微，在此點所以在一點可微，在此點 偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)。偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)。 .0,0 ,0,1sin 0 ,00 ,0222222 dfyxfyxoyxyxyfxffyx且且可可微微在在而而第28頁/共32頁f 的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) f 可微可微f 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在存在( (可導(dǎo)可導(dǎo)) )f 連續(xù)連續(xù)幾個概念之間的關(guān)系見下圖：幾個概念之間的關(guān)系見下圖：第29頁/共32頁與一元函數(shù)類似，多元函數(shù)的微分運算法則：設(shè)f(x,y),g(x,y)是可微函數(shù)，則：; 0),(,),(),(),(),(),()