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文檔簡介
1、數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)一:matlab函數(shù)擬合學(xué)時(shí):4學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模赫莆沼胢atlab進(jìn)行函數(shù)擬合的方法。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容:實(shí)例1.(汽車剎車距離問題)某汽車司機(jī)培訓(xùn)課程中有這樣的規(guī)則:正常駕駛條件下,車速每增16公里/小時(shí),后面與前車的距離應(yīng)增一個(gè)車身的長度。實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的漸變辦法是“2秒準(zhǔn)則”:后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù)2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志,而不管車速如何。 這個(gè)規(guī)則的合理性如何是否有更合理的規(guī)則。下表是測得的車速和剎車距離的一組數(shù)據(jù)。車速(km/h)20406080100120140剎車距離(m)6.517.833.657.183.4118.0153.5解:模型假設(shè):(1) 剎車距離y等于反映距離
2、y1與制動(dòng)距離y2之和。即y=y1+y2.(2) 反應(yīng)距離y1與車速v成正比,比例系數(shù)為反應(yīng)時(shí)間k1。即y1=k1*v(3) 剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F,F(xiàn)作的功等于汽車動(dòng)能的改變,且F與車的質(zhì)量m成正比.即模型建立 由假設(shè)2,y1=k1v,由假設(shè)3,在F作用下行駛距離y2作的功F*y2使車速從v0,動(dòng)能的變化為mv2/2,又由牛頓第二定律可知Fam,其中剎車時(shí)的減速度a為常數(shù),于是y2=k2*v2,其中k2為比例系數(shù),實(shí)際k2=1/2a,由假設(shè)1,剎車距離為 y=k1v +k2v2模型求解:用最小二乘法擬合,則程式運(yùn)行過程有:>> v=20,40,60,80,100,120,140.
3、/3.6;>> s=6.5,17.8,33.6,57.1,83.4,118.0,153.5;>> fun=inline('k(1).*v+k(2).*v.*v','k','v');>> k=lsqcurvefit(fun,20,140,v,s)Optimization terminated: relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun.k = 0.6522 0.0853于是s=0.6522v+0.0853v2;模型應(yīng)用:因?yàn)樵趯?shí)際中k
4、2=1/2a 則a=5.86166 v=at1 且k1為反應(yīng)時(shí)間,即最終時(shí)間:t=k1+t1 ,t1為剎車時(shí)間。根據(jù)車速的不同剎車時(shí)間t1如下表:車速(km/h)20406080100120140剎車距離(m)6.256017.777534.564456.616883.9346116.5178154.3664剎車時(shí)間(秒)1.6002.5483.4964.4445.3926.3397.284后車司機(jī)從前車經(jīng)過某一標(biāo)志開始默數(shù)t秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志,t由下表給出:車速(km/h)01010-6060100100-140t(秒)1246則根據(jù)車速的快慢,隨著車速越快的時(shí)候,剎車時(shí)間越久所以2秒準(zhǔn)則是
5、不合理的。實(shí)例2:根據(jù)美國人口從1790年到1990年間的人口數(shù)據(jù)(如下表),確定人口指數(shù)增長模型(Logistic模型)中的待定參數(shù),估計(jì)出美國2010年的人口,同時(shí)畫出擬合效果的圖形。表1 美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年 份1790180018101820183018401850人口(×106)3.95.37.29.612.917.123.2年 份1860187018801890190019101920人口(×106)31.438.650.262.976.092.0106.5年 份1930194019501960197019801990人口(×106)123.2131.7
6、150.7179.3204.0226.5251.4實(shí)例3、(錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途)計(jì)時(shí)器讀數(shù)n 與錄像帶轉(zhuǎn)過的時(shí)間t之間的關(guān)系為利用下表的數(shù)據(jù)確定兩個(gè)參數(shù)a、b的值。 t(分)0102030405060708090n 0000061711411601201924032760309634133715t(分)100110120130140150160170184n 400442804545480350515291552557526061實(shí)驗(yàn)二:用Lindo求解線性規(guī)劃問題學(xué)時(shí):4學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模赫莆沼肔indo求解線性規(guī)劃問題的方法,能夠閱讀Lindo結(jié)果報(bào)告。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容:實(shí)例1.一家廣告公司想在電視、
7、廣播上做公司的宣傳廣告,其目的是爭取盡可能多的影響顧客。下表是公司進(jìn)行市場調(diào)研的結(jié)果:電視網(wǎng)絡(luò)媒體雜志白天最佳時(shí)段每次做廣告費(fèi)用(千元)45862512受每次廣告影響的顧客數(shù)350880430180受每次廣告影響的女顧客數(shù)(千人)260450160100這家公司希望總廣告費(fèi)用不超過750(千元),同時(shí)還要求:(1)受廣告影響的女性查過200萬;(2)電視廣告的費(fèi)用不超過450(千元);(3)電視廣告白天至少播出4次,最佳時(shí)段至少播出2次;(4)通過網(wǎng)絡(luò)媒體、雜志做出的廣告要重復(fù)5到8次。解:實(shí)例2:求解書本上P130的習(xí)題1。列出線性規(guī)劃模型,然后用Lindo求解,根據(jù)結(jié)果報(bào)告得出解決方案。投
8、資規(guī)劃問題 某銀行經(jīng)理計(jì)劃用一筆資金進(jìn)行有價(jià)證券的投資,可供購進(jìn)的證券以及其信用等級(jí)、到期年限、收益如下表所示。按照規(guī)定,市政證券的收益可以免稅,其他證券的收益需按50%的稅率納稅。此外還有一下限制:(1)政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購進(jìn)400萬元;(2)所購證券的平均信用等級(jí)不超過1.4(信用等級(jí)數(shù)字越小,信用程度越高)(3)所購證券的平均到期年限不超過5年。證券名稱證券種類信用等級(jí)到期年限到期稅前收益(%)A市政294.3B代辦機(jī)構(gòu)2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5(1) 若該經(jīng)理有1000萬元資金,應(yīng)如何投資?(2) 如果能夠以2.75%的利率借到不超過100
9、萬元資金,該經(jīng)理應(yīng)如何操作?(3) 在1000萬元資金情況下,若證券A的稅前收益增加為4.5%,投資應(yīng)否改變?若證券C的稅前收益減少為4.8%,投資應(yīng)否改變?解:設(shè)投資證券A,B,C,D的金額分別為 x1,x2,x3,x4,x5(百萬元),按照規(guī)定限制1000萬元的資金約束,則線性規(guī)劃模型為: z=0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5 %最后收益 %政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券購進(jìn)總額限制 %總金額限制 %平均信用等級(jí)限制%平均到期年限限制在Lindo中輸入并要求做靈敏性分析有:Max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045
10、x5s.t.x2+x3+x4>4x1+x2+x3+x4+x5<106x1+6x2-4x3-4x4+36x5<04x1+10x2-x3-2x4-3x5<0x1>0x2>0x3>0x4>0x5>0end結(jié)果如下: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.2983637 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.181818 0.000000 X2 0.000000 0.030182 X3 7.363636 0.000000 X4 0.000000
11、0.000636 X5 0.454545 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3.363636 0.000000 3) 0.000000 0.029836 4) 0.000000 0.000618 5) 0.000000 0.002364 6) 2.181818 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 7.363636 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 0.454545 0.000000 NO. ITERATIONS= 0 RANGES IN WHICH THE BASIS IS
12、UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 0.043000 0.003500 0.013000 X2 0.027000 0.030182 INFINITY X3 0.025000 0.017333 0.000560 X4 0.022000 0.000636 INFINITY X5 0.045000 0.052000 0.014000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RH
13、S INCREASE DECREASE 2 4.000000 3.363636 INFINITY 3 10.000000 INFINITY 4.567901 4 0.000000 105.714287 20.000000 5 0.000000 10.000000 12.000000 6 0.000000 2.181818 INFINITY 7 0.000000 0.000000 INFINITY 8 0.000000 7.363636 INFINITY 9 0.000000 0.000000 INFINITY 10 0.000000 0.454545 INFINITY則有(1)證券A,C,E分
14、別投資2.082百萬元,7.364百萬元,0.454百萬元,最大稅后收益為0.298百萬元(2)由OBJECTIVE FUNCTION VALUE的DUAL PRICES中的第二行結(jié)果知,若資金增加100萬元,收益可增加0.0298百萬元,大于以2.75%的利率借到100萬元資金的利息0.0275百萬元,所以應(yīng)借貸,投資方案需將上面模型第二個(gè)約束右端改為11,求解得到:證劵A、C、E分別投資2.40百萬元,最大稅后收益為0.3007百萬元。(3)由OBJ COEFFICIENT RANGES的ALLOWABLE INCREASE中的x1、x3行的結(jié)果中目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的允許范圍(最優(yōu)解不變)可知,
15、證券A的稅前收益可增加0.35%,故若證券A的稅前收益增加為4.5%,投資不應(yīng)改變;證券C的稅前收益可減0.112%(注意按50%的稅率納稅),故證券C的稅前收益減少為4.8%,投資應(yīng)該改變。實(shí)驗(yàn)三:用Lingo求解非線性規(guī)劃問題學(xué)時(shí):2學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模赫莆沼肔ingo求解非線性規(guī)劃問題的方法。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容:求解書本上P132的習(xí)題6、7。列出非線性規(guī)劃模型,然后用Lingo求解,根據(jù)結(jié)果報(bào)告得出解決方案。解:由于所有可能的切割模式很多,這里不采用枚舉切割模式的方式建模,二是建立證書非線性規(guī)劃模型。記b=(290,315,350,455)為4種產(chǎn)品的長度,n=(15,28,21,30)為4種產(chǎn)品的需
16、求量,設(shè)第i種切割模式下每根原料鋼管生產(chǎn)4種產(chǎn)品的數(shù)量分別為r1,r2,r3,r4,該模式使用xi次,即使用該模式切割xi根原料鋼管(i=1,2,3,4),且切割模式次序是按照使用平率從搞到的排列的。約束條件為 (1) (2)切割模式:引入0-1變量yi=1表示使用第i種模式,yi=0表示不使用模式(1,2,3,4)而所謂節(jié)省,可以有兩種標(biāo)準(zhǔn),一是切割后剩余的總余料量最小,總余量:(5-1)二是切割原料鋼管的總根數(shù)最少??偢鶖?shù): (5-2)在選擇切割模式的時(shí)候受到以下條件的約束:(1)所使用的切割模式的種類不能超過4種。(2)使用頻率最高的一種切割模式按照一個(gè)原料鋼管價(jià)值的1/10增加費(fèi)用,使
17、用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價(jià)值的2/10增加費(fèi)用,以此類推。約束條件,滿足: (5-3)模式合理約束(每根余料不超過100mm): (5-4)整數(shù)約束: 為整數(shù)。每根鋼管長度為1850mm,可以求得所需要的鋼管數(shù)目下界為:選擇的模式數(shù)量大小約束:(5-4)用lingo進(jìn)行求解得到如下結(jié)果:實(shí)驗(yàn)四:統(tǒng)計(jì)分析學(xué)時(shí):4學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模河胢atlab或spss計(jì)算基本統(tǒng)計(jì)量,常見概率分布的函數(shù),參數(shù)估計(jì),假設(shè)檢驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容:實(shí)例:某校60名學(xué)生的一次考試成績?nèi)缦?93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97
18、78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 551)計(jì)算均值、標(biāo)準(zhǔn)差、極差、偏度、峰度,畫出直方圖;解:方法一:Analyze->Descriptive Statistics-> Descriptives->把成績y放到Variable中選擇最下面的一項(xiàng)->選擇Options->選擇 Mean,std.deviation,Range,Kurtosis,Skewness ->Conti
19、nue->返回界面后OK 則有如圖即均值為80.10 標(biāo)準(zhǔn)差為9.711極差為44偏度為-0.480 峰度為0.274直方圖有:Graphs->Histogram->把成績y放到Variable中,則有如下圖方法二:Analyze->Descriptive statistics->Explore則有如圖瀏覽2)檢驗(yàn)分布的正態(tài)性;解:analysisNonparametric Tests->1-Sample K-S 則有如圖NPar 檢驗(yàn)即該分布為正態(tài)分布。3)若檢驗(yàn)符合正態(tài)分布,估計(jì)正態(tài)分布的參數(shù)并檢驗(yàn)參數(shù).T檢驗(yàn):Analyze->Compare M
20、eans->One-sample T test->把y選入Test Variable中,則有下圖 即實(shí)驗(yàn)五:用matlab進(jìn)行回歸分析學(xué)時(shí):4學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)?zāi)康模赫莆誱atlab進(jìn)行回歸分析的方法。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容:實(shí)例2:財(cái)政收入預(yù)測問題:財(cái)政收入與國民收入、工業(yè)總產(chǎn)值、農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、總?cè)丝?、就業(yè)人口、固定資產(chǎn)投資等因素有關(guān)。下表列出了1952-1981年的原始數(shù)據(jù),試構(gòu)造預(yù)測模型。年份國民收入(億元)工業(yè)總產(chǎn)值(億元)農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值(億元)總?cè)丝冢ㄈf人)就業(yè)人口(萬人)固定資產(chǎn)投資(億元)財(cái)政收入(億元)19525983494615748220729441841953586455475587962
21、136489216195470752049160266218329724819557375585296146522328982541956825715556628282301815026819578377985756465323711139286195810281235598659942660025635719591114168150967207261733384441960107918704446620725880380506196175711564346585925590138271196267796446167295251106623019637791046514691722664085
22、266196494312505847049927736129323196511521581632725382867017539319661322191168774542298052124661967124916476977636830814156352196811871565680785343191512730319691372210168880671332252074471970163827477678299234432312564197117803156790852293562035563819721833336578987177358543546581973197836848558921
23、1366523746911974199336968919085937369393655197521214254932924213816846269219762052430995593717388344436571977218949259719497439377454723197824755590105896259398565509221979270260651150975424058156489019802791659211949870541896568826198129276862127310007273280496810實(shí)驗(yàn)六 用Lingo求解大規(guī)模線性規(guī)劃問題實(shí)驗(yàn)?zāi)康模赫莆沼肔ingo求
24、解大規(guī)模線性規(guī)劃問題的方法。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容:求解全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽05年B題問題2:DVD的分配。會(huì)員每次租賃3張DVD,現(xiàn)在給出網(wǎng)站手上的100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的1000位會(huì)員的在線訂單,如何對這些DVD進(jìn)行分配,才能使會(huì)員獲得最大的滿意度?現(xiàn)有DVD張數(shù)和當(dāng)前需要處理的會(huì)員的在線訂單(表格格式示例)DVD編號(hào)D001D002D003D004DVD現(xiàn)有數(shù)量10401520會(huì)員在線訂單C00016000C00020000C00030003C00040000注:D001D100表示100種DVD, C0001C1000表示1000個(gè)會(huì)員, 會(huì)員的在線訂單用數(shù)字1,2,表示,數(shù)字越小
25、表示會(huì)員的偏愛程度越高,數(shù)字0表示對應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會(huì)員的在線訂單中。所有數(shù)據(jù)將可從提示:可建立如下0-1規(guī)劃模型:其中cij是偏愛指數(shù),其中0改成-1,其他數(shù)字如果是c,則用11-c代替。綜合實(shí)驗(yàn):DVD在線租賃實(shí)驗(yàn)?zāi)康模和ㄟ^求解全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽05年B題,掌握綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件求解復(fù)雜問題的方法。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容:隨著信息時(shí)代的到來,網(wǎng)絡(luò)成為人們生活中越來越不可或缺的元素之一。許多網(wǎng)站利用其強(qiáng)大的資源和知名度,面向其會(huì)員群提供日益專業(yè)化和便捷化的服務(wù)。例如,音像制品的在線租賃就是一種可行的服務(wù)。這項(xiàng)服務(wù)充分發(fā)揮了網(wǎng)絡(luò)的諸多優(yōu)勢,包括傳播范圍廣泛、直達(dá)核心消費(fèi)群、強(qiáng)烈的互動(dòng)性、感官性強(qiáng)、成本相
26、對低廉等,為顧客提供更為周到的服務(wù)??紤]如下的在線DVD租賃問題。顧客繳納一定數(shù)量的月費(fèi)成為會(huì)員,訂購DVD租賃服務(wù)。會(huì)員對哪些DVD有興趣,只要在線提交訂單,網(wǎng)站就會(huì)通過快遞的方式盡可能滿足要求。會(huì)員提交的訂單包括多張DVD,這些DVD是基于其偏愛程度排序的。網(wǎng)站會(huì)根據(jù)手頭現(xiàn)有的DVD數(shù)量和會(huì)員的訂單進(jìn)行分發(fā)。每個(gè)會(huì)員每個(gè)月租賃次數(shù)不得超過2次,每次獲得3張DVD。會(huì)員看完3張DVD之后,只需要將DVDa放進(jìn)網(wǎng)站提供的信封里寄回(郵費(fèi)由網(wǎng)站承擔(dān)),就可以繼續(xù)下次租賃。請考慮以下問題:1) 網(wǎng)站正準(zhǔn)備購買一些新的DVD,通過問卷調(diào)查1000個(gè)會(huì)員,得到了愿意觀看這些DVD的人數(shù)(表1給出了其中
27、5種DVD的數(shù)據(jù))。此外,歷史數(shù)據(jù)顯示,60%的會(huì)員每月租賃DVD兩次,而另外的40%只租一次。假設(shè)網(wǎng)站現(xiàn)有10萬個(gè)會(huì)員,對表1中的每種DVD來說,應(yīng)該至少準(zhǔn)備多少張,才能保證希望看到該DVD的會(huì)員中至少50%在一個(gè)月內(nèi)能夠看到該DVD?如果要求保證在三個(gè)月內(nèi)至少95%的會(huì)員能夠看到該DVD呢?2) 表2中列出了網(wǎng)站手上100種DVD的現(xiàn)有張數(shù)和當(dāng)前需要處理的1000位會(huì)員的在線訂單(表2的數(shù)據(jù)格式示例如下表2,具體數(shù)據(jù)請從3) 繼續(xù)考慮表2,并假設(shè)表2中DVD的現(xiàn)有數(shù)量全部為0。如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員,你如何決定每種DVD的購買量,以及如何對這些DVD進(jìn)行分配,才能使一個(gè)月內(nèi)95%的會(huì)員得
28、到他想看的DVD,并且滿意度最大?(一次分配,DVD數(shù)量不夠,需要進(jìn)行二次分配)4) 如果你是網(wǎng)站經(jīng)營管理人員,你覺得在DVD的需求預(yù)測、購買和分配中還有哪些重要問題值得研究?請明確提出你的問題,并嘗試建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。表1 對1000個(gè)會(huì)員調(diào)查的部分結(jié)果DVD名稱DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意觀看的人數(shù)200100502510表2 現(xiàn)有DVD張數(shù)和當(dāng)前需要處理的會(huì)員的在線訂單(表格格式示例)DVD編號(hào)D001D002D003D004DVD現(xiàn)有數(shù)量10401520會(huì)員在線訂單C00016000C00020000C00030003C00040000注:D001D100表示100種DVD, C0001C1000表示1000個(gè)會(huì)員, 會(huì)員的在線訂單用數(shù)字1,2,表示,數(shù)字越小表示會(huì)員的偏愛程度越高,數(shù)字0表示對應(yīng)的DVD當(dāng)前不在會(huì)員的在
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