高中數(shù)學(xué)必修四_第三章：三角恒等變換

1、必修四 第三章：三角恒等變換【知識點(diǎn)梳理】：考點(diǎn)一：兩角和、差的正、余弦、正切公式兩角差的余弦：兩角和的余弦：兩角和的正弦：兩角差的正弦：兩角和的正切：兩角差的正切：注意：對于正切【典型例題講解】：例題1.已知是第四象限角，求的值.例題2.利用和、差角余弦公式求、的值。例題3.已知=，=，求的值。例題4.的值等于（ ）ABCD例題5.已知求的值.例題6.已知，那么的值是_例題7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊做兩個(gè)銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為（1） 求的值； （2） 求的值。例題8.設(shè)中，則此三角形是_三角形【鞏固練習(xí)】練習(xí)1. 求值（1）； （

2、2）； 練習(xí)2. 練習(xí)3.若，則等于（） 練習(xí)4. 已知，為銳角，求.考點(diǎn)二：二倍角公式及其推論： 在兩角和的三角函數(shù)公式時(shí)，就可得到二倍角的三角函數(shù)公式：；注意： 二倍角公式不僅限于2是的二倍的形式， 其它如4是2的二倍，的二倍等等，要熟悉這多種形 式的兩個(gè)角相對二倍關(guān)系，才能熟練地應(yīng)用二倍角公式，這是靈活運(yùn)用這些公式的關(guān)鍵二倍角公式的推論升冪公式：， 降冪公式：； ； .【典型例題講解】例題l.下列各式中，值為的是（ ） AB CD例題2.已知，且，則的值是 例題3.化簡例題4.（ ） ABCD例題5.已知，化簡：.例題6.若，則函數(shù)的最大值為 。例題7.已知，求證：.例題8.試以表示【鞏

3、固練習(xí)】練習(xí)1.(cossin) （ ） A B C D 練習(xí)2.若的內(nèi)角滿足，則=（ ） A. B. C. D. 練習(xí)3.計(jì)算練習(xí)4.已知函數(shù)，（1）求的定義域；（2）設(shè)是第四象限的角，且，求的值.練習(xí)5.證明 考點(diǎn)三：輔助角公式【典型例題講解】例題1.求函數(shù)的周期，最大值和最小值,單調(diào)區(qū)間,對稱軸，對稱中心，如何由y=sinx平移得到例題2.函數(shù)的最小值是 。例題3. 設(shè)函數(shù)的最小正周期為（）求的值 （）若函數(shù)的圖像是由的圖像向右平移個(gè)單位長度得到，求的單調(diào)增區(qū)間例題4.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為（）求的值；（）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的

4、橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間.例題5.已知函數(shù)（1） 當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求的值【鞏固練習(xí)】練習(xí)1.若方程有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是_.練習(xí)2. 函數(shù)的最小正周期是（ ）A. B. C. D. 練習(xí)3.若函數(shù)，則的最大值為 A1 B C D練習(xí)4.已知函數(shù)，則是（ ） A、最小正周期為的奇函數(shù) B、最小正周期為的奇函數(shù) C、最小正周期為的偶函數(shù) D、最小正周期為的偶函數(shù)練習(xí)5.設(shè)函數(shù)（）求的最小正周期（）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，求當(dāng)時(shí)的最大值【方法總結(jié)】：三角恒等變換的基本題型三角式的化簡、求值、證明是三角恒等變換的基本題型：1三角

5、函數(shù)式的化簡：（1）常用方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；切化弦，異名化同名，異角化同角； 三角公式的逆用等（2）化簡要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項(xiàng)數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)2三角函數(shù)的求值類型有三類：（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子 表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所

6、得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角3 三角等式的證明： （1）三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為 簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明三角函數(shù)的化簡、證明、求值做題技巧總結(jié)三角函數(shù)的化簡、證明、計(jì)算的恒等變形的基本思路是：一角二名三結(jié)構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇保坏谌^察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。基本的技巧有:1、巧變角（已知角與特殊角

7、的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如，等例題1、已知，那么的值是_例題2、已知，且，求的值例題3、已知，求的值例題4、求值：練習(xí)1. 已知(，)，(0，),()，sin()，求sin()的值練習(xí)2. 求值：2 、三角函數(shù)名互化(切化弦)例題1、求值例題2、函數(shù)的最小正周期為A B C D 例題3、=_練習(xí)1、化簡：練習(xí)2、已知，則 A. B. C. D. 3、公式變形使用（。例題1、已知A、B為銳角，且滿足，則_例題2、求值：_. 練習(xí)1、設(shè)中，則此三角形是_三角形4、三角函數(shù)次數(shù)的降升(降冪公式：，與升冪公式：，)。例題1、若，化簡為_例題2、函數(shù)的最小

8、值是_ .練習(xí)1、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為_練習(xí)2、設(shè)函數(shù).(1) 求函數(shù)的最大值和最小正周期.(2) 設(shè)A,B,C為ABC的三個(gè)內(nèi)角，若，且為銳角，求.5、 式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化(對角、函數(shù)名、式子結(jié)構(gòu)化同)。例題1、求證：；例題2、化簡sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.例題3、已知，求證：.練習(xí)1、 化簡：練習(xí)2、 若則 .練習(xí)3、當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為 A.2B.C.4 D. 6、 常值變換主要指“1”的變換（等）例題1 、已知，求例題2、 等于 （ ）練習(xí)1、 練習(xí)2、 等于( ) (A)sin3cos3(B)sin3cos3(C)sin3cos3(D)

9、cos3sin37、 正余弦“三兄妹”的內(nèi)存聯(lián)系“知一求二”例題1、 若 ，則 例題2、 若，求的值。練習(xí)1、已知?jiǎng)t 練習(xí)2、已知，試用表示的值【課后作業(yè)】考點(diǎn)一：兩角和、差的正、余弦、正切公式1. sin163°sin223°+sin253°sin313° 等于 （ ） A. B. C. D.2. (cossin) （ ） A B C D 3. 已知(,)，sin=,則tan()等于（ ） A. B.7 C. D.74.=_5.已知，那么的值為 6.已知，那么的值是_7.已知為銳角，則與的函數(shù)關(guān)系為 8. 化簡9.已知是第四象限角，求的值.10.已知s

10、in（+）=，sin（-）=，求的值。11.已知求的值.12.已知函數(shù)，的最大值是1，其圖像經(jīng)過點(diǎn)（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值考點(diǎn)二：二倍角公式及其推論1.已知 ，則的值為 ( ) A BCD2.已知，則= （ ） A. B. C. D. 3.已知，則的值為 ； 4.觀察下列等式： cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1可以推測，m n + p = 5 已知為銳角，化簡的值. 6.求值：7.證明 8.已知求的值9

11、. 已知，為銳角，求.10.已知，且，求的值11.已知=2，求（1）的值；（2）的值12設(shè)函數(shù)f(x)=2在處取最小值.（1）求的值;（2）在ABC中,分別是角A,B,C的對邊,已知,求角C.13.已知，且.（）求的值； （）若，求的值.14.已知函數(shù)（1）求的定義域；（2）設(shè)是第四象限的角，且，求的值.考點(diǎn)三：輔助角公式1.已知函數(shù)，的圖像與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，則的單調(diào)遞增區(qū)間是 A. B. C. D.2若函數(shù)，則的最大值為 A1 B C D3求值：_4函數(shù)的最小值是 。5.化簡6. 要得到一個(gè)奇函數(shù)，只需將函數(shù)的圖象（ ）A向右平移個(gè)單位B向右平移個(gè)單位C向左平移個(gè)單位D向左平移個(gè)單位7.已知函數(shù).（）求的最小正周期；（）求在區(qū)間上的最大值和最小值.8.已知函數(shù)（）將函數(shù)化簡成（，）的形式；（）求函數(shù)的值域.9.已知函