高級微觀經(jīng)濟學數(shù)學準備.

1、（一）函數(shù)1凹（凸）函數(shù)1.1凸集凸集：對于任意兩點和，且對于每一個，當且僅當為真時，集合為凸集。凸集要求集合內(nèi)兩點之間的連線必須也在集合內(nèi)，即該集合不存在任何孔，它的邊緣也不能有縮進。例如，平面中，一條線段就是一個凸集，而一個圓圈則不是。1.2凹（凸）函數(shù)介紹凸集是為了引入凹（凸）函數(shù)：不管是凹函數(shù)還是凸函數(shù)都要求其定義域是凸集。我們可以先舉個例子直觀感受下凹（凸）函數(shù)的特征，比如函數(shù)就是一個凹函數(shù)，它在定義域內(nèi)呈現(xiàn)出峰形；函數(shù)就是一個凸函數(shù)，它在定義域內(nèi)呈現(xiàn)谷底?，F(xiàn)在具體給出凹（凸）函數(shù)的定義：對于函數(shù)，其定義域內(nèi)任意兩個不同的點和,當且僅當時，函數(shù)f為凹函數(shù)。對于函數(shù)，其定義域內(nèi)任意兩個

2、不同的點和,當且僅當時，函數(shù)f為凸函數(shù)。若將不等號“” 和“”分別變換成嚴格不等號“”和“”，上述定義便成了嚴格凹函數(shù)和嚴格凸函數(shù)的定義。因為凹函數(shù)的定義域為凸集，因此點也一定在函數(shù)的定義域內(nèi)。我們可以利用凹（凸）函數(shù)和嚴格凹（凸）函數(shù)判斷函數(shù)極值的情況。凹函數(shù)一定存在絕對極大值，但絕對極大值可能不是唯一的，因為如果山峰包含一個平頂，則可能存在多重絕對極大值。僅當我們限定它為嚴格凹形函數(shù)時，絕對值才可能是唯一的。1.3凹（凸）函數(shù)與凸集的關(guān)系首先我們必須區(qū)別凸集與凸函數(shù)的概念。根據(jù)定義，可知當“凸的”在描述集合時，它要求該集合不能出現(xiàn)任何孔，邊緣也不能有縮進。這不同于之前的凹（凸）函數(shù)：當“凸

3、的”在描述函數(shù)時，它確定的是一條曲線或曲面是如何彎曲的。但凹（凸）函數(shù)確實與凸集有關(guān)。除了定義域都要求是凸集之外，它們都可以引致一個凸集。定理是凹函數(shù)是凸集；是凸函數(shù)是凸集。即，由函數(shù)上的點以及函數(shù)曲線（曲面）之下的點組成的集合若是凸集該函數(shù)為凹函數(shù)；由函數(shù)上的點以及函數(shù)曲線（曲面）之上的點組成的集合若是凸集該函數(shù)為凸函數(shù)。2擬凹（擬凸）函數(shù)不管是凹（凸）函數(shù)還是嚴格凹（凸）函數(shù)，它們對函數(shù)都有比較強的設(shè)定。但是通常，理論研究的工作之一是為保證獲得結(jié)果，識別出我們需要對函數(shù)進行的最弱的可行設(shè)定。擬凹（擬凸）函數(shù)則是一個相對而言更弱的條件。擬凹（擬凸）函數(shù)的定義如下：對于函數(shù)，其定義域內(nèi)任意兩個

4、不同的點和,當且僅當時，函數(shù)f為擬凹函數(shù)。對于函數(shù)，其定義域內(nèi)任意兩個不同的點和,當且僅當時，函數(shù)f為擬凸函數(shù)。若將不等號“” 和“”分別變換成嚴格不等號“”和“”，上述定義便適用于嚴格擬凹函數(shù)和嚴格擬凸函數(shù)的定義。我們也可以通過更直觀的方法檢驗函數(shù)的擬凹性和擬凸性。設(shè) 為函數(shù)在水平上的上等值集，為函數(shù)在水平上的下等值集。定理對于值域內(nèi)的所有y值，都是凸集是擬凹函數(shù)對于值域內(nèi)的所有y值，都是凸集是擬凸函數(shù)經(jīng)濟學中常假設(shè)擬凹的效用函數(shù)。根據(jù)定理，擬凹的效用函數(shù)保證了其上等值集為凸集這里有個問題，我的概念有些模糊，二元的效用函數(shù)下，介無差異曲線凸向原點也保證其上等值集為凸集，感覺那時上等值集是平面

5、上可以畫出來的。但現(xiàn)在這里的上等值集為凸集應(yīng)該是三維的，兩個凸集有關(guān)系嗎？。3函數(shù)間關(guān)系（1）是（嚴格）凹函數(shù)是（嚴格）凸函數(shù)；（2）是（嚴格）擬凹函數(shù)是（嚴格）擬凸函數(shù)；（3）是（嚴格）凹函數(shù)是（嚴格）擬凹函數(shù)（反之不成立）；（4）是（嚴格）凸函數(shù)是（嚴格）擬凸函數(shù)（反之不成立）；（5）單調(diào)函數(shù)既是擬凹函數(shù)也是擬凸函數(shù)（6）凹（凸）函數(shù)相加仍為凹（凸）函數(shù)，擬凹和擬凸函數(shù)則沒有類似關(guān)系。（二）無約束的最優(yōu)化問題1一元函數(shù)的無約束極值本講義將討論的函數(shù)范圍限定在二次連續(xù)可微函數(shù)的范圍里。給定一個二次連續(xù)可微的一元函數(shù),。易知，它在處取得極值的一階必要條件為：。而該極值究竟是極大值還是極小值得看

6、的符號：若，則為唯一的絕對極大值；若，則為唯一的絕對極小值。利用上述極值的導數(shù)條件，我們可以推導出極值的微分條件，即：極值的一階必要條件：對于任意非零，函數(shù)的一階全微分為零；對于任意非零，我們也可以通過計算函數(shù)的二階全微分來判斷極值的情況。綜上，當函數(shù)為二次連續(xù)可微時，它取得極值的必要條件為：（1）函數(shù)在取得絕對極大值，對于任意非零都成立； （2）函數(shù)在取得絕對極小值，對于任意非零都成立。在滿足必要條件的前提下，函數(shù)取得唯一的絕對極值時充分條件為，對于任意非零都成立函數(shù)在取得唯一絕對極大值；，對于任意非零都成立函數(shù)在取得唯一絕對極小值。只要將改為一階微分向量，以上極值的微分條件能直接從單變量的

7、情況推廣至兩個甚至多個變量的情況。2多元函數(shù)的最優(yōu)化問題2.1一階條件穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值是指選擇變量的最優(yōu)解還是指函數(shù)的最優(yōu)解?產(chǎn)生疑問是因為蔣中一那本書里提到的是穩(wěn)定值的概念，用的是后一種表述。前一種表述是高微筆記上記的。 ：上的函數(shù)的穩(wěn)態(tài)值，在該點處，下面幾個等式同時成立：定理如果在點最優(yōu)解能不能這么表示？在Reny的附錄里有表達式，我們可能得到局部最大（小）值，即對于一個盡可能小的鄰域內(nèi)，所有點都有 ，那么穩(wěn)態(tài)條件必然滿足。2.2二階條件直覺上，多元函數(shù)與一元函數(shù)一樣，在穩(wěn)態(tài)值取得最大值還是最小值與的符號有關(guān)。我們先對進行微分，可得：其中，為海塞矩陣。根據(jù)楊格定理：，因此海塞矩陣為對稱矩陣。在

8、判斷的符號之前，我們先正（負）定矩陣及其判定方法。定義若對于所有的，始終成立，則稱正定，A為正定矩陣；若對于所有的，始終成立，則稱負定，A為負定矩陣；若對于所有的，始終成立，則稱半正定，A為半正定矩陣；若對于所有的，始終成立，則稱半負定，A為半負定矩陣。根據(jù)以上定義，若要判斷的符號，我們只需判定與其對應(yīng)的海塞矩陣的正（負）定。其實，通過判定海塞矩陣的正（負）定，我們也可以判定函數(shù)的凹（凸）性，即對于二次連續(xù)可微函數(shù)， （1）其海塞矩陣負定函數(shù)為嚴格凹函數(shù)存在唯一絕對極大值；（2）其海塞矩陣正定函數(shù)為嚴格凸函數(shù)存在唯一絕對極小值。接下來介紹正負定的判定方法。定義主子陣：對矩陣A，由A 的 k個主

9、對角線元素及其對應(yīng)的非對角線元素來得到的矩陣，稱為A的k階主子陣；由A 的 前k個主對角線元素及其對應(yīng)的非對角線元素來得到的矩陣，為k階前主子陣高微筆記里是前主子陣。看以后感覺那里記的概念不準確，就用了金老師上課用的解釋，但只有順序主子式的介紹，不知道適不適合前主子陣。主子陣的行列式為主子式；前主子陣的行列式為順序主子式。我們用表示的k階順序主子式（其中），如:，,。定理對于二次連續(xù)可微函數(shù)，（1）海塞矩陣正定；（2）海塞矩陣負定。用表示海塞矩陣H的指標（1,2,3，n）的任意排序，為的k階順序主子式，則（3）海塞矩陣半正定；（4）海塞矩陣半負定。從而，我們給出極值的充分條件：已知二次連續(xù)可微

10、函數(shù)， (1)其海塞矩陣負定嚴格凹函數(shù) 為函數(shù)的唯一絕對極大值；(2)其海塞矩陣正定嚴格凸函數(shù) 為函數(shù)的唯一絕對極小值。3舉例：二元函數(shù)的無約束極值問題有一個二次連續(xù)可微函數(shù)，可知其海塞矩陣為，則，,，根據(jù)之前的判定規(guī)則， (1) ，為嚴格凹函數(shù)；(2) ，為嚴格凸函數(shù)；(3) ，為凹函數(shù)；(4) ，為凸函數(shù)；若，我們就可以根據(jù)函數(shù)的凹凸性來判定函數(shù)在點取得的是絕對極大值還是絕對極小值。（三）具有約束條件的最優(yōu)化問題之前的部分只是考慮了無約束條件的最優(yōu)化問題，這即是說在求極值的過程中，我們沒有對選擇變量的值進行約束，從而求得的解可能是負值，也可能很大。然而考慮到經(jīng)濟學是建立在稀缺的資源如何配置

11、的問題上的，因而在經(jīng)濟學的最優(yōu)化求解過程中，我們通常不得不面臨資源的稀缺性即對選擇變量的值加上約束條件。約束條件大致分三類：等式約束、非負約束以及更普遍的，其它形式的不等式約束。我們將依次介紹對應(yīng)的求解方法。從現(xiàn)在開始，討論將以最大化問題為主，在解決最大化問題后會稍微提及解決最小化問題的方法。1等式約束關(guān)于解決等式約束的方法，其實我們已經(jīng)學過了，就是利用拉格朗日方法求解的過程。現(xiàn)在簡要回顧拉格朗日函數(shù)。1.1二元目標函數(shù)、一個等式約束的約束最優(yōu)化條件考慮二元函數(shù)下，具有約束條件的最優(yōu)化問題其中c是一個常數(shù)，z和g都是二次連續(xù)可微函數(shù)。該問題的拉格朗日函數(shù)為：一階條件要求：求出上述一階條件，可得

12、。二階條件：將拉格朗日乘子也看作是變量，則最大化拉格朗日函數(shù)的過程可視為無約束最優(yōu)化過程。這也就是說，如果解滿足L的無約束極值中極大值的二階條件，我們便可確定 是我們約束最優(yōu)化問題的解。事實上在二階條件求導過程中，這里與無約束最優(yōu)化關(guān)鍵區(qū)別在于， 與的取值不再是任意非零即可，等式約束中與的取值有關(guān)。對等式約束兩邊求一階全微分，可得：， 因此等式約束要求。對函數(shù)進行二階全微分可得：對進行二階全微分，化簡可得：將上式代入，可得：而。定義 為加邊海塞矩陣, 它是由海塞矩陣和一階導數(shù)（邊）構(gòu)成的矩陣，用表示，H上面的-表示邊。 。則綜上，我們可以得到目標為二元函數(shù)、僅包含一個等式約束的最優(yōu)化條件：當滿

13、足拉格朗日函數(shù)的一階條件時，為約束極?。ù螅┲怠?.1.1嚴格擬凹（擬凸）函數(shù)與約束極值的關(guān)系當函數(shù)y是二次連續(xù)可微時，我們還可以用函數(shù)的一階導數(shù)和二階導數(shù)（整理成加邊行列式）的方法來檢驗：設(shè)（1）z為嚴格擬凹函數(shù)；（2）z為嚴格擬凸函數(shù)。將B與之前的加邊海塞矩陣進行比較，可以發(fā)現(xiàn)兩個不同之處：一為B中的加邊元素是函數(shù)f而非g的一階偏導數(shù)，二為B中的其余元素是f而非拉格朗日函數(shù)L的二階偏導數(shù)。然而，在線性等式約束的特定情況下（這類等式約束在經(jīng)濟學中經(jīng)常遇到），可簡化為,即。從而，拉格朗日函數(shù)為從而且。回到“邊”，我們注意到線性約束函數(shù)產(chǎn)生一階導數(shù)，因而一階條件可寫為。因此B中的邊只不過是的邊被

14、正的標量乘。通過順序提取的橫邊和縱邊的公因子，得到結(jié)果，在線性約束情況下，與總有相同的符號。由此可知，在線性約束的條件下，我們可以通過直接判斷目標函數(shù)的嚴格擬凹（凸）性去判斷約束極值的情況：(1)目標函數(shù)為嚴格擬凹函數(shù)函數(shù)在穩(wěn)態(tài)值取得唯一的約束絕對極大值；(2)目標函數(shù)為嚴格擬凸函數(shù)函數(shù)在穩(wěn)態(tài)值取得唯一的約束絕對極小值。1.1.2擬凹（凸）函數(shù)與凹（凸）函數(shù)的關(guān)系平滑、遞增、擬凹的效用函數(shù)上等值集為凸集凸的向下傾斜的無差異曲線。因為等產(chǎn)量曲線的概念幾乎與無差異曲線是一致的，我們可以類推：平滑、遞增、擬凹的生產(chǎn)函數(shù)上等值集為凸集凸的向下傾斜的等產(chǎn)量曲線。自己的總結(jié)，邏輯對么？1.2多元目標函數(shù)、

15、m個等式約束的約束最優(yōu)化條件現(xiàn)在將拉格朗日方法應(yīng)用于多元函數(shù)。面臨的最優(yōu)化問題為：拉格朗日函數(shù)為：一階條件：二階條件：此時加邊海塞矩陣為：定義。利用我們直接給出多元目標函數(shù)、m個等式約束的約束最優(yōu)化條件：為滿足一階必要條件的解，則(1)函數(shù)在點取得唯一的約束絕對極大值；(2) 函數(shù)在點取得唯一的約束絕對極小值。2非負約束考慮一元可微函數(shù)：由于約束條件，因此可能會出現(xiàn)三種情況：（1）在x大于零時取得絕對極大值。此時我們得到了一個內(nèi)點解。在這種情況下，一階條件是，和經(jīng)典問題一樣。（2）x等于零時取得絕對極大值。此時我們得到了一個邊界解，但仍然成立。（3）x小于零時取得絕對極大值。此時我們也得到了邊

16、界解，但因為作為非線性約束問題中的一個局部極大值，候選點必須必可行域中的鄰近點高，從而要求。綜上，為了在內(nèi)找到的極大值， 必須滿足以下三個條件中的一個：（1）且； （2）且；（3）且；將上述三個條件合成一個論述：，且，其中，第三個等式表達了三個條件的一個共同特點，即x和至少有一個是零，因此兩者的乘積一定是零。這個特點是指x與互補松弛。當問題包含n個選擇變量時：解決的思路與一元函數(shù)相同，這里我們直接給出該約束最優(yōu)化的必要條件：(1)給定非負約束，多元函數(shù) 在穩(wěn)態(tài)值處取得約束極大值，則滿足(1)給定非負約束，多元函數(shù) 在穩(wěn)態(tài)值處取得約束極小值，則滿足3其它形式的不等式約束現(xiàn)在我們在非負約束的基礎(chǔ)上

17、，再引入不等式約束。為簡化，我們先處理兩個選擇變量和一個不等式約束條件的問題:在虛擬變量s的幫助下，我們可以將上述問題變換為：若沒有非負約束，則我們可利用拉格朗日函數(shù)求解：一階條件為：但由于x與s必須是非負的，因此1.1部分的思路，上述一階條件應(yīng)改為：且；且；。注意仍然成立，為何？因為一定成立。進而，將以及代入第二個條件，則第二個條件與第三個條件可變?yōu)椋呵覐亩覀兛梢杂脹]有虛擬變量的等價形式來表達的一階條件（這時）：且；且。上述討論可以直接的方式應(yīng)用于n個選擇變量和個約束條件的問題。拉格朗日函數(shù)L的形式為：則該非線性約束問題的庫恩-塔克條件為（極大化）：且；且。如果問題是求極小值，那么可以將它

18、轉(zhuǎn)化為極大化問題，然后應(yīng)用以上條件求解。此處僅介紹用庫恩-塔克條件求解非線性規(guī)劃中的極大值問題。按水平的方向解讀上式，我們可以看見庫恩-塔克條件在極大化問題中包括了一組與選擇變量與拉格朗日乘數(shù)的條件。從垂直的方向來解讀，對于每一個選擇變量和拉格朗日函數(shù)，都有一個邊際條件（第一列）、一個非負約束（第二列）和一個互補松弛條件（第三列）。在任一個給定條件下，與選擇變量相關(guān)的一組邊際條件與拉格朗日成熟的一組邊際條件在不等號方向上是不同的。若滿足約束規(guī)范，庫恩-塔克條件極大（?。┗瘲l件可以作為總體極大（小）值的必要條件。1.2舉例我們現(xiàn)在就將庫恩-塔克條件應(yīng)用于效用最大化問題：拉格朗日函數(shù)為：該問題的約

19、束條件為線性的，因而它一定滿足約束規(guī)范（之后解釋），故可利用庫恩-塔克條件求解，可得：且；且；且；且。寫出庫恩-塔克條件后，典型的方法是通過試錯法來求解。步驟如下：(1)首先給選擇變量賦值為零。通過消除某些項來使條件簡化。如果適當?shù)姆抢窭嗜粘藬?shù)可以滿足所有邊際不等式，那么零解將是最優(yōu)的。對于當前這個例子，當或時，沒有意義，因此該問題中x和y都是正數(shù)。此步驟跳過。（2）如果零解違反一些不等式，那么可以嘗試讓一個或更多選擇變量為正數(shù)。對于每個正的選擇變量，我們可以通過互補松弛條件使不等式邊際條件轉(zhuǎn)換為嚴格等式邊際條件。應(yīng)用于當前例子，則：；由于，其它條件可變?yōu)椋?；這時我們?nèi)匀徊荒芎喕瘲l件且。因此

20、我們需要步驟(3)。（3）假設(shè)函數(shù)對拉格朗日乘數(shù)的偏導取不等號；若這個假定導致矛盾，那我們應(yīng)該將該偏導等于零進行測算。因此，我們先假設(shè)則，那么有。但這一解違反了約束，故舍去。那么，我們假設(shè)則。1.3約束規(guī)范之前多次強調(diào)，庫恩-塔克條件只有在滿足規(guī)范約束時，才是極值的必要條件。那么約束規(guī)范具體是什么？先介紹幾個概念。令是可行區(qū)域邊界上的一個可能的解點，并令表示由所提到的邊界點移動的特定方向。測試向量：若某一向量滿足條件（i）如果第j個選擇變量在點x*處取得零值，那么只允許在xj軸上有非負變化，即：若，那么；（ii）如果在點x*處恰好滿足第i個約束條件的等式約束，那么將只允許的取值使得約束函數(shù)值不

21、增加（對極大值問題），即：若，則必須成立；則該向量為測試向量。規(guī)范弧：若某一弧段滿足條件（i）從點x*處出發(fā)；（ii）整個包含在可行區(qū)域內(nèi)；（iii）與已知測試向量相切；則該弧段我們成為該測試向量的規(guī)范弧。有了這些預備知識后，約束規(guī)范可簡單地表達為：如果對可行區(qū)域邊界上的任意點x*，對每一測試向量dx，存在一規(guī)范弧，那么，就滿足約束規(guī)范。約束規(guī)范的定義看上去有些抽象，有興趣的同學可以借助參考書中的例子求解理解掌握這一概念。如果實際求解中，我們遇到可行區(qū)域是僅由線性約束形成的凸集，那么約束規(guī)范總是滿足，且?guī)於?塔克條件在最優(yōu)解處總成立。這時就免去了檢驗約束規(guī)范是否滿足的步驟。(四)最優(yōu)化的其他主題接下來我們將回到經(jīng)典的等式約束最優(yōu)化領(lǐng)域來討論包絡(luò)定理。1極大值函數(shù)極大值函數(shù)是當選擇變量都是最優(yōu)值時候的目標函數(shù)。這些選擇變量的最優(yōu)值是外生變量和參數(shù)的函數(shù)。一旦選擇變量的最優(yōu)值代入原目標函數(shù)中，那么目標函數(shù)就間接地稱為參數(shù)的函數(shù)。因此，極大值函數(shù)也稱間接目標函數(shù)。它是當參數(shù)發(fā)生變化的時候，目標函數(shù)極大（?。┲底兓能壽E。舉例：通過求解我們可得。將最優(yōu)值代入U=u(x,y)，則可得間接效用函數(shù)：。2包絡(luò)定理包絡(luò)定理：即使在外生變量可能作為內(nèi)生選擇變量的解的一部分間接進入極大值函數(shù)的情況下，也只有