2017年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題(共27頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題八：幾何證明題【問題解析】幾何證明題重在訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)語言合情推理能力，幾何證明題和計算題在中考中占有重要地位根據(jù)新的課程標(biāo)準(zhǔn)，對幾何證明題證明的方法技巧上要降低，繁瑣性、難度方面要降低但是注重考查學(xué)生的基礎(chǔ)把握推理能力，所以幾何證明題是目前?？嫉念}型【熱點探究】類型一：關(guān)于三角形的綜合證明題【例題1】（2016·四川南充）已知ABN和ACM位置如圖所示，AB=AC，AD=AE，1=2（1）求證：BD=CE；（2）求證：M=N【分析】（1）由SAS證明ABDACE，得出對應(yīng)邊相等即可（2）證出BAN=CAM，由全等三角形的性質(zhì)得出B=C，由AAS證明A

2、CMABN，得出對應(yīng)角相等即可【解答】（1）證明：在ABD和ACE中，ABDACE（SAS），BD=CE；（2）證明：1=2，1+DAE=2+DAE，即BAN=CAM，由（1）得：ABDACE，B=C，在ACM和ABN中，ACMABN（ASA），M=N【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵【同步練】（2016·山東省菏澤市·3分）如圖，ACB和DCE均為等腰三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE（1）如圖1，若CAB=CBA=CDE=CED=50°求證：AD=BE；求AEB的度數(shù)（2）如圖2，若ACB=DCE=120°

3、;，CM為DCE中DE邊上的高，BN為ABE中AE邊上的高，試證明：AE=2CM+BN類型二：關(guān)于四邊形的綜合證明題【例題2】（2016·山東省濱州市·10分）如圖，BD是ABC的角平分線，它的垂直平分線分別交AB，BD，BC于點E，F(xiàn)，G，連接ED，DG（1）請判斷四邊形EBGD的形狀，并說明理由；（2）若ABC=30°，C=45°，ED=2，點H是BD上的一個動點，求HG+HC的最小值【考點】平行四邊形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)【分析】（1）結(jié)論四邊形EBGD是菱形只要證明BE=ED=DG=GB即可（2）作EMBC于M，DNBC于N，連接EC交BD

4、于點H，此時HG+HC最小，在RTEMC中，求出EM、MC即可解決問題【解答】解：（1）四邊形EBGD是菱形理由：EG垂直平分BD，EB=ED，GB=GD，EBD=EDB，EBD=DBC，EDF=GBF，在EFD和GFB中，EFDGFB，ED=BG，BE=ED=DG=GB，四邊形EBGD是菱形（2）作EMBC于M，DNBC于N，連接EC交BD于點H，此時HG+HC最小，在RTEBM中，EMB=90°，EBM=30°，EB=ED=2，EM=BE=，DEBC，EMBC，DNBC，EMDN，EM=DN=，MN=DE=2，在RTDNC中，DNC=90°，DCN=45

5、76;，NDC=NCD=45°，DN=NC=，MC=3，在RTEMC中，EMC=90°，EM=MC=3，EC=10HG+HC=EH+HC=EC，HG+HC的最小值為10【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用對稱找到點H的位置，屬于中考常考題型【同步練】（2016·山東省濟(jì)寧市·3分）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，延長CB至點F，使CF=CA，連接AF，ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO（1）已知BD=，求正方形ABCD的邊長

6、；（2）猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明類型三：關(guān)于圓的綜合證明題【例題3】（2016·山東濰坊）正方形ABCD內(nèi)接于O，如圖所示，在劣弧上取一點E，連接DE、BE，過點D作DFBE交O于點F，連接BF、AF，且AF與DE相交于點G，求證：（1）四邊形EBFD是矩形；（2）DG=BE【考點】正方形的性質(zhì)；矩形的判定；圓周角定理【分析】（1）直接利用正方形的性質(zhì)、圓周角定理結(jié)合平行線的性質(zhì)得出BED=BAD=90°，BFD=BCD=90°，EDF=90°，進(jìn)而得出答案；（2）直接利用正方形的性質(zhì)的度數(shù)是90°，進(jìn)而得出BE=DF，則BE=D

7、G【解答】證明：（1）正方形ABCD內(nèi)接于O，BED=BAD=90°，BFD=BCD=90°，又DFBE，EDF+BED=180°，EDF=90°，四邊形EBFD是矩形；（2）正方形ABCD內(nèi)接于O，的度數(shù)是90°，AFD=45°，又GDF=90°，DGF=DFC=45°，DG=DF，又在矩形EBFD中，BE=D【同步練】（棗莊市 2015 中考 -24）如圖，在ABC中，ABC=90°，以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE（1）判斷DE與O的位置關(guān)系，并說明理

8、由；（2）求證：BC2=CD2OE；（3）若cosBAD=，BE=6，求OE的長類型四：關(guān)于相似三角形的證明問題【例題4】（2016·黑龍江齊齊哈爾·8分）如圖，在ABC中，ADBC，BEAC，垂足分別為D，E，AD與BE相交于點F（1）求證：ACDBFD；（2）當(dāng)tanABD=1，AC=3時，求BF的長【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)【分析】（1）由C+DBF=90°，C+DAC=90°，推出DBF=DAC，由此即可證明（2）先證明AD=BD，由ACDBFD，得=1，即可解決問題【解答】（1）證明：ADBC，BEAC，BDF=ADC=BEC=90

9、6;，C+DBF=90°，C+DAC=90°，DBF=DAC，ACDBFD（2）tanABD=1，ADB=90°=1，AD=BD，ACDBFD，=1，BF=AC=3【同步練】（2016·湖北武漢·10分）在ABC中，P為邊AB上一點(1) 如圖1，若ACPB，求證：AC2AP·AB；(2) 若M為CP的中點，AC2， 如圖2，若PBMACP，AB3，求BP的長； 如圖3，若ABC45°，ABMP60°，直接寫出BP的長 【達(dá)標(biāo)檢測】1. （2016·黑龍江哈爾濱·8分）已知：如圖，在正方形ABC

10、D中，點E在邊CD上，AQBE于點Q，DPAQ于點P（1）求證：AP=BQ；（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長2. （2016·四川內(nèi)江）(9分)如圖6所示，ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AFBD，連接BF(1)求證：D是BC的中點；(2)若ABAC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論DCEFBA圖63. （煙臺市 2015 中考 -23）如圖，以ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點分別為D、E，且=（1）試判斷ABC的形狀，并說明理

11、由（2）已知半圓的半徑為5，BC=12，求sinABD的值4. （2015內(nèi)蒙古呼倫貝爾興安盟，第22題7分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線（1）求證：ADECBF；（2）若ADB是直角，則四邊形BEDF是什么四邊形？證明你的結(jié)論5. （煙臺市 2014 中考 -24）如圖，AB是O的直徑，延長AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足為點B，點D在PC上設(shè)PCB=，POC=求證：tantan=6. （2015梧州,第25題12分）如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過

12、E作EHAB于H（1）求證：HF=AP；（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長7. （2015北海,第25題12分）如圖，AB、CD為O的直徑，弦AECD，連接BE交CD于點F，過點E作直線EP與CD的延長線交于點P，使PED=C（1）求證：PE是O的切線；（2）求證：ED平分BEP；（3）若O的半徑為5，CF=2EF，求PD的長【參考答案】類型一：關(guān)于三角形的綜合證明題【同步練】（2016·山東省菏澤市·3分）如圖，ACB和DCE均為等腰三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE（1）如圖1，若CAB=CBA=CDE=CED=50°求證：A

13、D=BE；求AEB的度數(shù)（2）如圖2，若ACB=DCE=120°，CM為DCE中DE邊上的高，BN為ABE中AE邊上的高，試證明：AE=2CM+BN【考點】等腰三角形的性質(zhì)【分析】（1）通過角的計算找出ACD=BCE，再結(jié)合ACB和DCE均為等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可證出ACDBCE，由此即可得出結(jié)論AD=BE；結(jié)合中的ACDBCE可得出ADC=BEC，再通過角的計算即可算出AEB的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合頂角的度數(shù)，即可得出底角的度數(shù)，利用（1）的結(jié)論，通過解直角三角形即可求出線段AD、DE的長度，二者相加即可證出結(jié)論

14、【解答】（1）證明：CAB=CBA=CDE=CED=50°，ACB=DCE=180°2×50°=80°ACB=ACD+DCB，DCE=DCB+BCE，ACD=BCEACB和DCE均為等腰三角形，AC=BC，DC=EC在ACD和BCE中，有，ACDBCE（SAS），AD=BE解：ACDBCE，ADC=BEC點A，D，E在同一直線上，且CDE=50°，ADC=180°CDE=130°，BEC=130°BEC=CED+AEB，且CED=50°，AEB=BECCED=130°50°=

15、80°（2）證明：ACB和DCE均為等腰三角形，且ACB=DCE=120°，CDM=CEM=×（180°120°）=30°CMDE，CMD=90°，DM=EM在RtCMD中，CMD=90°，CDM=30°，DE=2DM=2×=2CMBEC=ADC=180°30°=150°，BEC=CEM+AEB，AEB=BECCEM=150°30°=120°，BEN=180°120°=60°在RtBNE中，BNE=90&#

16、176;，BEN=60°，BE=BNAD=BE，AE=AD+DE，AE=BE+DE=BN+2CM【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、解直角三角形以及角的計算，解題的關(guān)鍵是：（1）通過角的計算結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)證出ACDBCE；（2）找出線段AD、DE的長本題屬于中檔題，難度不大，但稍顯繁瑣，解決該題型題目時，利用角的計算找出相等的角，再利用等腰三角形的性質(zhì)找出相等的邊或角，最后根據(jù)全等三角形的判定定理證出三角形全是關(guān)鍵類型二：關(guān)于四邊形的綜合證明題【同步練】（2016·山東省濟(jì)寧市·3分）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，

17、延長CB至點F，使CF=CA，連接AF，ACF的平分線分別交AF，AB，BD于點E，N，M，連接EO（1）已知BD=，求正方形ABCD的邊長；（2）猜想線段EM與CN的數(shù)量關(guān)系并加以證明【考點】正方形的性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可求得；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得CEAF，進(jìn)一步得出BAF=BCN，然后通過證得ABFCBN得出AF=CN，進(jìn)而證得ABFCOM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)即可證得CN=CM【解答】解：（1）四邊形ABCD是正方形，ABD是等腰直角三角形，2AB2=BD2，BD=，AB=1，正方形ABCD的邊長為1；（2）CN=CM證明：CF

18、=CA，AF是ACF的平分線，CEAF，AEN=CBN=90°，ANE=CNB，BAF=BCN，在ABF和CBN中，ABFCBN（AAS），AF=CN，BAF=BCN，ACN=BCN，BAF=OCM，四邊形ABCD是正方形，ACBD，ABF=COM=90°，ABFCOM，=，=，即CN=CM類型三：關(guān)于圓的綜合證明題【同步練】（棗莊市 2015 中考 -24）如圖，在ABC中，ABC=90°，以AB的中點O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點D，E是BC的中點，連接DE，OE（1）判斷DE與O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求證：BC2=CD2OE；（3）若cosBAD

19、=，BE=6，求OE的長思路分析：本題考查了切線的判定，垂徑定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點故對于題（1）可以連接OD，BD，由AB為圓O的直徑，得到ADB為直角，從而得出三角形BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，由直角三角形ABC中兩銳角互余，利用等角的余角相等得到ADO與CDE互余，可得出ODE為直角，即DE垂直于半徑OD，可得出DE為圓O的切線；對于題（2）首先可證明OE是ABC的中位線，則AC=2OE，然后證明ABCBDC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等

20、，即可證得；對于題（3）在直角ABC中，利用勾股定理求得AC的長，之后根據(jù)三角形中位線定理OE的長即可求得解題過程：（1）證明：連接OD，BD，AB為圓O的直徑，ADB=90°，在RtBDC中，E為斜邊BC的中點，CE=DE=BE=BC，C=CDE，OA=OD，A=ADO，ABC=90°，即C+A=90°，ADO+CDE=90°，即ODE=90°，DEOD，又OD為圓的半徑，DE為O的切線；（2）證明：E是BC的中點，O點是AB的中點，OE是ABC的中位線，AC=2OE，C=C，ABC=BDC，ABCBDC，即BC2=ACCDBC2=2CDOE

21、；（3）解：cosBAD=，sinBAC=，又BE=6，E是BC的中點，即BC=12，AC=15又AC=2OE，OE=AC=規(guī)律總結(jié)：熟練把握切線的判定，垂徑定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點是解決本題的關(guān)鍵要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可類型四：關(guān)于相似三角形的證明問題【同步練】（2016·湖北武漢·10分）在ABC中，P為邊AB上一點(1) 如圖1，若ACPB，求證：AC2AP·AB；(2) 若M為CP的中點，AC2， 如圖2，若PBMACP，AB3，求BP的長； 如圖3，若ABC45°，ABMP6

22、0°，直接寫出BP的長 【考點】相似形綜合，考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，勾股定理?！敬鸢浮?（1）證ACPABC即可；（2）BP；【解析】（1）證明：ACPB，BACCAP，ACPABC，AC：ABAP：AC，AC2AP·AB；（2）如圖，作CQBM交AB延長線于Q，設(shè)BPx，則PQ2xPBMACP，PACCAQ，APCACQ，由AC2AP·AQ得：22（3x）（3x），x 即BP；如圖：作CQAB于點Q，作CP0CP交AB于點P0，AC2，AQ1，CQBQ ，設(shè)P0QPQ1x，BP1x，BPMCP0A，BMPCAP0，AP0CMP

23、B，MP P0CAP0 BPx（1x），解得xBP1【達(dá)標(biāo)檢測】1. （2016·黑龍江哈爾濱·8分）已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQBE于點Q，DPAQ于點P（1）求證：AP=BQ；（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=BA，BAQ=ADP，再根據(jù)已知條件得到AQB=DPA，判定AQBDPA并得出結(jié)論；（2）根據(jù)AQAP=PQ和全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行判斷分析【解答】解：（1）正方形ABCDAD=BA，

24、BAD=90°，即BAQ+DAP=90°DPAQADP+DAP=90°BAQ=ADPAQBE于點Q，DPAQ于點PAQB=DPA=90°AQBDPA（AAS）AP=BQ（2）AQAP=PQAQBQ=PQDPAP=PQDPBQ=PQ2. （2016·四川內(nèi)江）(9分)如圖6所示，ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AFBD，連接BF(1)求證：D是BC的中點；(2)若ABAC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論DCEFBA圖6考點三角形例行，特殊四邊形的性質(zhì)與判定。(1)證明：點E是AD的

25、中點，AEDEAFBC，AFEDCE，F(xiàn)AECDEEAFEDC AFDCAFBD，BDDC，即D是BC的中點 (2)四邊形AFBD是矩形證明如下：AFBD，AFBD，四邊形AFBD是平行四邊形 ABAC，又由(1)可知D是BC的中點，ADBCAFBD是矩形3. （煙臺市 2015 中考 -23）如圖，以ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點分別為D、E，且=（1）試判斷ABC的形狀，并說明理由（2）已知半圓的半徑為5，BC=12，求sinABD的值思路分析：（1）連結(jié)AE，如圖，根據(jù)圓周角定理，由=得DAE=BAE，由AB為直徑得AEB=90°，根據(jù)等腰三角形的判定方

26、法即可得ABC為等腰三角形；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得BE=CE=BC=6，再在RtABE中利用勾股定理計算出AE=8，接著由AB為直徑得到ADB=90°，則可利用面積法計算出BD=，然后在RtABD中利用勾股定理計算出AD=，再根據(jù)正弦的定義求解解題過程：解：（1）ABC為等腰三角形理由如下：連結(jié)AE，如圖，=，DAE=BAE，即AE平分BAC，AB為直徑，AEB=90°，AEBC，ABC為等腰三角形；（2）ABC為等腰三角形，AEBC，BE=CE=BC=×12=6，在RtABE中，AB=10，BE=6，AE=8，AB為直徑，ADB=90°，AEBC=

27、BDAC，BD=，在RtABD中，AB=10，BD=，AD=，sinABD=規(guī)律總結(jié)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理4. （2015內(nèi)蒙古呼倫貝爾興安盟，第22題7分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，BD是對角線（1）求證：ADECBF；（2）若ADB是直角，則四邊形BEDF是什么四邊形？證明你的結(jié)論考點：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定分析：（1）由四邊形ABC

28、D是平行四邊形，即可得AD=BC，AB=CD，A=C，又由E、F分別為邊AB、CD的中點，可證得AE=CF，然后由SAS，即可判定ADECBF；（2）先證明BE與DF平行且相等，然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，再連接EF，可以證明四邊形AEFD是平行四邊形，所以ADEF，又ADBD，所以BDEF，根據(jù)菱形的判定可以得到四邊形是菱形解答：（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AD=BC，AB=CD，A=C，E、F分別為邊AB、CD的中點，AE=AB，CF=CD，AE=CF，在ADE和CBF中，ADECBF（SAS）；（2）若ADB是直角，則四邊形BEDF是菱形，理由如下：解：由

29、（1）可得BE=DF，又ABCD，BEDF，BE=DF，四邊形BEDF是平行四邊形，連接EF，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的中點，DFAE，DF=AE，四邊形AEFD是平行四邊形，EFAD，ADB是直角，ADBD，EFBD，又四邊形BFDE是平行四邊形，四邊形BFDE是菱形點評：本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及菱形的判定，利用好E、F是中點是解題的關(guān)鍵5. （煙臺市 2014 中考 -24）如圖，AB是O的直徑，延長AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足為點B，點D在PC上設(shè)PCB=，POC=求證：tantan=【解析】：連接AC先求出PBDPAC，再求出

30、=，最后得到tantan=【解答】：證明：連接AC，則A=POC=，AB是O的直徑，ACB=90°，tan=，BDAC，PBD=A，P=P，PBDPAC，=，PB=0B=OA，=，tanatan=【點評】：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及圓周角的知識，本題解題的關(guān)鍵是求出PBDPAC，再求出tantan=6. （2015梧州,第25題12分）如圖，在正方形ABCD中，點P在AD上，且不與A、D重合，BP的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，垂足為Q，過E作EHAB于H（1）求證：HF=AP；（2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長考點： 正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理所有分析： （1）先根據(jù)EQBO，EHAB得出EQN=BHM=90°根據(jù)EMQ=BMH得出EMQBMH，故QEM=HBM由ASA定理得出APBHFE，故可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出BP的長，根據(jù)EF是BP的垂直平分線可知BQ=BP，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出QF=BQ的長，由（1）知，APBHFE，故EF=BP=4，再根據(jù)EQ=EFQF即可得出結(jié)論解答： （1