多元函數(shù)的基本概念PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念（1）鄰域）鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx ),(00 PU |00PPP .)()(0| ),(2020 yyxxyx第1頁(yè)/共36頁(yè)（2）區(qū)域）區(qū)域.)(的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)為為則則稱(chēng)稱(chēng)，的的某某一一鄰鄰域域一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)如如果果存存在在點(diǎn)點(diǎn)是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，設(shè)設(shè)EPEPUPPE .EE 的內(nèi)點(diǎn)屬于的內(nèi)點(diǎn)屬于EP .為開(kāi)集為開(kāi)集則稱(chēng)則稱(chēng)的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即為開(kāi)集即為開(kāi)集第2頁(yè)/共36頁(yè)的的邊邊界界點(diǎn)

2、點(diǎn)為為），則則稱(chēng)稱(chēng)可可以以不不屬屬于于，也也本本身身可可以以屬屬于于的的點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)點(diǎn)也也有有不不屬屬于于的的點(diǎn)點(diǎn)，于于的的任任一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)既既有有屬屬如如果果點(diǎn)點(diǎn)EPEEPEEPEP 的邊界的邊界的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為 EE是連通的是連通的開(kāi)集開(kāi)集，則稱(chēng)，則稱(chēng)且該折線(xiàn)上的點(diǎn)都屬于且該折線(xiàn)上的點(diǎn)都屬于連結(jié)起來(lái)，連結(jié)起來(lái)，任何兩點(diǎn)，都可用折線(xiàn)任何兩點(diǎn)，都可用折線(xiàn)內(nèi)內(nèi)是開(kāi)集如果對(duì)于是開(kāi)集如果對(duì)于設(shè)設(shè)DDDD 第3頁(yè)/共36頁(yè)連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如例如，xyo開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱(chēng)稱(chēng)為為閉閉區(qū)區(qū)

3、域域.41| ),(22 yxyx例如例如，xyo第4頁(yè)/共36頁(yè)0| ),( yxyx有界閉區(qū)域有界閉區(qū)域；無(wú)界開(kāi)區(qū)域無(wú)界開(kāi)區(qū)域xyo例如例如，則稱(chēng)為無(wú)界點(diǎn)集為有界點(diǎn)集，否成立，則稱(chēng)對(duì)一切即，不超過(guò)間的距離與原點(diǎn)，使一切點(diǎn)如果存在正數(shù)對(duì)于點(diǎn)集EEPKOPKOPOEPKE41| ),(22 yxyx第5頁(yè)/共36頁(yè)（3）聚點(diǎn)）聚點(diǎn) 設(shè)設(shè) E是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，P 是平面上的是平面上的一個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)，如果點(diǎn) P 的任何一個(gè)去心鄰域內(nèi)總有的任何一個(gè)去心鄰域內(nèi)總有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集無(wú)限多個(gè)點(diǎn)屬于點(diǎn)集 E，則稱(chēng)，則稱(chēng) P 為為 E 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn). 1. 內(nèi)點(diǎn)是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)是聚點(diǎn)

4、；2. 邊界點(diǎn)是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)是聚點(diǎn)；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)第6頁(yè)/共36頁(yè)3. 點(diǎn)集點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合第7頁(yè)/共36頁(yè)（4）n維空間維空間 設(shè)設(shè)n為為取取定定的的一一個(gè)個(gè)自自然然數(shù)數(shù)，我我們們稱(chēng)稱(chēng)n元元數(shù)數(shù)組組),(21nxxx的的全全體體為為n維維空空間間，而而每每個(gè)個(gè)n元元數(shù)數(shù)組組),(21nxxx稱(chēng)稱(chēng)為為n

5、維維空空間間中中的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，數(shù)數(shù)ix稱(chēng)稱(chēng)為為該該點(diǎn)點(diǎn)的的第第i個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo).1. n維空間的記號(hào)為維空間的記號(hào)為;nR2. n維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 第8頁(yè)/共36頁(yè)),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 3. n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時(shí)，便為數(shù)軸、平面時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離、空間兩點(diǎn)間的距離3, 2, 1 n內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義鄰域：鄰域：設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為第9頁(yè)/共

6、36頁(yè) 設(shè)設(shè)D是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)DyxP ),(，變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱(chēng)稱(chēng)z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. .（5）二元函數(shù)的定義）二元函數(shù)的定義當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱(chēng)稱(chēng)為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念因變量等概念.類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)類(lèi)似地可定義三元及三元以上函數(shù)第10頁(yè)/共36頁(yè)例例1 1 求求 的定義域的定義域2

7、22)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD 第11頁(yè)/共36頁(yè)例例2 2 設(shè)設(shè)求求解解 000),(222222yxyxyxxyyxf)1,1(yxf)1,1(yxf22)1()1(11yxyx 22yxxy 第12頁(yè)/共36頁(yè)多元函數(shù)也有單值性與多值性的概念多元函數(shù)也有單值性與多值性的概念. . ),( ),(222RyxyxDyxP 當(dāng)當(dāng)222yxRz 222yxRz 2222Rzyx 例如：例如：?jiǎn)沃捣种沃捣种?第13頁(yè)/共36頁(yè) 一元函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性一元函數(shù)

8、的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)的定義在多元函數(shù)中不再適用，但質(zhì)的定義在多元函數(shù)中不再適用，但有界性的定有界性的定義仍適用義仍適用：設(shè)有：設(shè)有n元函數(shù)元函數(shù)y=f(x)，其定義域?yàn)椋涠x域?yàn)镈 Rn，集合，集合X D. .若存在正數(shù)若存在正數(shù)M，使對(duì)，使對(duì) x X，有有|f(x)| M，則稱(chēng)，則稱(chēng)f(x)在在X上有界，上有界，M稱(chēng)為稱(chēng)為f(x)在在X上的一個(gè)界上的一個(gè)界. .第14頁(yè)/共36頁(yè)（6） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域?yàn)闉镈，對(duì)對(duì)于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值為為),(yxfz ，這這樣

9、樣，以以x為為橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)、y為為縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)、z為為豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)在在空空間間就就確確定定一一點(diǎn)點(diǎn)),(zyxM，當(dāng)當(dāng)x取取遍遍D上上一一切切點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，得得一一個(gè)個(gè)空空間間點(diǎn)點(diǎn)集集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這這個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集稱(chēng)稱(chēng)為為二二元元函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.（如下頁(yè)圖）（如下頁(yè)圖）第15頁(yè)/共36頁(yè)二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第16頁(yè)/共36頁(yè)xyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:第17頁(yè)/共36頁(yè)例例3

10、 3、已知、已知 求求 . .,),(22yxyxxyf ),(yxf例例4 4、已知、已知 求求 . .),(yxf22(,),yf xyxyx二元函數(shù)也有復(fù)合函數(shù)二元函數(shù)也有復(fù)合函數(shù)第18頁(yè)/共36頁(yè)定定義義 1 1 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域?yàn)闉?,(,000yxPD是是其其聚聚點(diǎn)點(diǎn)，如如果果對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ，總總存存在在正正數(shù)數(shù) ，使使得得對(duì)對(duì)于于適適合合不不等等式式 20200)()(|0yyxxPP的的一一切切點(diǎn)點(diǎn)，都都有有 |),(|Ayxf成成立立， 則則稱(chēng)稱(chēng) A A 為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)),(),(000yxpyxp趨趨于于

11、時(shí)時(shí)的的極極限限， 記記為為 Ayxfyxyx ),(lim),(),(00 （或或)0(),( Ayxf這這里里|0PP ）. 第19頁(yè)/共36頁(yè)說(shuō)明說(shuō)明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似第20頁(yè)/共36頁(yè)例例2 2 求證求證 證證01sin)(lim2222)0,0(),( yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(22

12、22yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立第21頁(yè)/共36頁(yè)例例3 3 求極限求極限 .)sin(lim222)0,0(),(yxyxyx 解解222)0 , 0(),()sin(limyxyxyx ,)sin(lim22222)0 , 0(),(yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx22)0 , 0(),()sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim222)0 , 0(),( yxyxyxyxu2 第22頁(yè)/共36頁(yè)例例4 4 設(shè)設(shè)),(lim)0,0(),(yxfyx , 00, 0),(222222yxyxyxxyyxf證明證明 不存在

13、不存在解解取取kxy 22)0,0(),(limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在第23頁(yè)/共36頁(yè)例例5 5 證明證明 不存在不存在 證證263)0,0(),(limyxyxyx 取取,3kxy 263)0,0(),(limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在第24頁(yè)/共36頁(yè)),(000yxp第25頁(yè)/共36頁(yè)例例6 6 證明證明 不存在不存在 1( , )(0,0)lim(1)x yx yxy第26頁(yè)/共

14、36頁(yè)定義定義 2 2 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, PD是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ，總 存 在 正 數(shù)總 存 在 正 數(shù) ， 使 得 對(duì) 于 適 合 不 等 式， 使 得 對(duì) 于 適 合 不 等 式 |00PP的 一 切 點(diǎn)的 一 切 點(diǎn)DP ， 都 有， 都 有 |)(|APf成立，則稱(chēng)成立，則稱(chēng) A A 為為n元函數(shù)元函數(shù))(Pf當(dāng)當(dāng)0PP 時(shí)的極限，記為時(shí)的極限，記為 APfPP )(lim0. .n元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限利用點(diǎn)函數(shù)的形式有利用點(diǎn)函數(shù)的形式有第27頁(yè)/共36頁(yè) 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)

15、集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, PD是其聚點(diǎn)且是其聚點(diǎn)且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 則稱(chēng)則稱(chēng)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf在點(diǎn)在點(diǎn)0P處連續(xù)處連續(xù). . 設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)，如如果果)(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱(chēng)稱(chēng)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn).定義定義3 3第28頁(yè)/共36頁(yè)例例7 7 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在

16、極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)第29頁(yè)/共36頁(yè)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在果在D D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D D上上取得介于這兩值之間的任何值至少一次取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定）最大值和最小值定理理（2）介值定理）介值定理第30頁(yè)/共36頁(yè)（3）有界定理）有界定理 在有

17、界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)必定上的多元連續(xù)函數(shù)必定有界有界多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)：由常量及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有：由常量及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域第31頁(yè)/共36頁(yè)例例8 8.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處連續(xù)，于是處連續(xù)，于是點(diǎn)點(diǎn)在在的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則的定義域的內(nèi)點(diǎn)，則是是數(shù)，且數(shù)，且是初等函是初等函時(shí)，如果時(shí)，如果一般地，求一般地，求第32頁(yè)/共36頁(yè)多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的（注意趨近方式的任意性任意性）多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義第33頁(yè)/共