復(fù)變函數(shù)與積分變換第1章PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1復(fù)變函數(shù)與積分變換第復(fù)變函數(shù)與積分變換第1章章一、復(fù)變函數(shù)第1頁/共46頁 我們以復(fù)數(shù)為自變量的函數(shù)復(fù)變函數(shù)，研究其在復(fù)數(shù)域上的微積分，并以解析函數(shù)為中心內(nèi)容。第2頁/共46頁學(xué)習(xí)方法：要善于同實變函數(shù)進(jìn)行比較、區(qū)別，特別要注意復(fù)變函數(shù)特有的那些性質(zhì)與結(jié)果。第3頁/共46頁& 1. 1 復(fù) 數(shù)第4頁/共46頁 1. 在十六世紀(jì)中葉，時引進(jìn)了復(fù)數(shù)。他發(fā)現(xiàn)這個方程沒有根，并把這個方程的兩個根形式地表為 。在當(dāng)時，包括他自己在內(nèi)，誰也弄不清這樣表示有什么好處。事實上， 復(fù)數(shù)被Cardano引入后，在很長一段時間內(nèi)不被人隨著微積分的產(chǎn)生與發(fā)展，情況才有好轉(zhuǎn)。特別是由于 L.Euler的

2、研究結(jié)果，復(fù)數(shù)終于起了重要的作用。例如大家所熟知的Euler公式,1040 xx515515與cossiniei 背景介紹2. 直到十七與十八世紀(jì)，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程們所理睬，并被認(rèn)為是沒有意義的，不能接受的“虛數(shù)”。復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系。，揭示了第5頁/共46頁Gauss (德國1777-1855)與Hamilton (愛爾蘭1805-1865)定義復(fù)數(shù) 為一對有序數(shù)后，才消除人們對復(fù)數(shù)真實性的長久疑慮，“復(fù)變函數(shù)”這一數(shù)學(xué)分支到此才順利地得到建立和發(fā)展。3. 然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand(

3、法國.1768-1822）將復(fù)數(shù)用平面向量或點來表示，以及aib第6頁/共46頁 兩個復(fù)數(shù)相等是指它們的實部與虛部分別相等。 如果Imz=0，則z可以看成一個實數(shù)； 如果Imz不等于零，那么稱z為一個虛數(shù)； 如果Imz不等于零，而Rez=0，則稱z為一個純虛數(shù)。zyzxIm,Re iyxz 12 i0)Im()Re(0 zzz第7頁/共46頁 復(fù)數(shù)在四則運算這個代數(shù)結(jié)構(gòu)下，構(gòu)成一個復(fù)數(shù)域 (對加、減、乘、除運算封閉），記為C，復(fù)數(shù)域可以看成實數(shù)域的擴(kuò)張。相當(dāng)于代數(shù)中的多項運算 z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積、商為： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+

4、iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(2222221122222212121 zyxyxyxiyxyyxxzzz第8頁/共46頁定義 若z=x+iy , 稱z=x-iy 為z 的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)2121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222)Im()Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizzzzz （3）共軛復(fù)數(shù)第9頁/共46頁& （1）點的表示& （2）向量表示法& （3）三角表示法& （4）指數(shù)表示法第10頁/

5、共46頁（1） 點的表示),(yxiyxz一一對對有有序序?qū)崒崝?shù)數(shù) ),(),(),(yxPiyxzyxyxP平平面面上上的的點點一一對對有有序序?qū)崒崝?shù)數(shù)任任意意點點系系，則則在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐標(biāo)標(biāo) 此此時時，表表示示的的點點，可可用用平平面面上上坐坐標(biāo)標(biāo)為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù).)(Pyxiyxz 平平面面復(fù)復(fù)平平面面或或平平面面虛虛軸軸軸軸實實軸軸軸軸zyx)(yxPiyxz，復(fù)復(fù)平平面面上上的的點點 點的表示：A 數(shù)z與點z同義.xyo),(yx iyxz xy第11頁/共46頁,)(yxOPyxPiyxz ，點點（2） 向量表示法oxy(z)P(x,y)rz xy 稱向量的長度為

6、復(fù)數(shù)z=x+iy的?；蚪^對值；以正實軸 為始邊, 以 為終邊的角的弧度數(shù) 稱為復(fù)數(shù)z=x+iy的輻角.(z0時)OP向向量量A 00 OPzzyxrOPzArg:,|22記記作作輻輻角角模模： .iyxzOP 表表示示可可用用向向量量z=0時，輻角不確定。 第12頁/共46頁輻角無窮多：Arg z=0+2k， kZ，xyzz/)Argtan(0 時，時， 0把其中滿足 的0稱為輻角Argz的主值，記作0=argz。 0, 00, 0arctan0, 02, 0arctanargyxyxxyyxRyxxyz 計算argz(z0) 的公式2arctan2 xy第13頁/共46頁A 當(dāng)z落于一,四象

7、限時，不變。 A 當(dāng)z落于第二象限時，加 。 A 當(dāng)z落于第三象限時，減 。 第14頁/共46頁oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212)(:zzzzzzzz 三三角角不不等等式式由由此此得得由向量表示法知之間的距離之間的距離與與點點2112zzzz (3). 三角表示法)sin(cos irz 得得由由 sincosryrx(4). 指數(shù)表示法得得公式公式再由再由 sincos:ieEuleri irez 第15頁/共46頁注意. 復(fù)數(shù)的各種表示法可以相互轉(zhuǎn)化,以適應(yīng) 不同問題的需要.5cos5sin. 5式式化化為為三三角角形形式式與與指指數(shù)數(shù)形形將將例例 iz .,

8、)3( ;3)2(;)1(. 422輻角輻角的模的模求求例例 eeeii.,; 3)3( ;)2( ;1)1(. 3輻輻角角主主值值輻輻角角及及的的模模求求例例 ii第16頁/共46頁& (1) 第17頁/共46頁定理1 兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘， 兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。證明 設(shè) z1=r1(cos1+isin1)=r1ei1 z2=r2(cos2+isin2)=r2ei2 則 z1z2=r1r2(cos1+isin1)( cos2+isin2) = r1r2cos (1+2)+isin(1+2) =r1r2e i(1+2)（1）乘積與商的幾何意義因此 |z1z

9、2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2第18頁/共46頁幾何意義 將復(fù)數(shù)z1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一個角度 Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。A 定理1可推廣到n 個復(fù)數(shù)的乘積。1 oxy(z)1z2 z1z22 z2第19頁/共46頁izzizz 2121, 1. 1則則設(shè)設(shè)例例, 2, 1, 021 mmArgz , 2, 1, 0222 nnArgz , 2, 1, 022)(21 kkzzArg knm22223 代入上式代入上式要使上式成立,必須且只需 k=m+n+1.第20頁/共46頁定理2 兩個復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商， 兩個復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除 數(shù)的

10、輻角之差。證明)(121212 ierrzzz Argz=Argz2-Argz1 即：由復(fù)數(shù)除法的定義 z=z2 /z1，即 z1z = z2|z|z1|=|z2|及Argz1+Argz=Arg z2（ z10）212211, iierzerz 設(shè)設(shè)第21頁/共46頁設(shè)z=re i，由復(fù)數(shù)的乘法定理和數(shù)學(xué)歸納法可證明 zn=rn(cos n+isin n)=rn ein。2.復(fù)數(shù)的乘冪定義 n個相同的復(fù)數(shù)z 的乘積，稱為z 的n次冪， 記作z n，即z n=zzz（共n個）。特別：當(dāng)|z|=1時，即：zn=cosn+isin n，則有 (cos+isin)n=cosn+isinn 一棣模佛(D

11、e Moivre)公式。第22頁/共46頁問題 給定復(fù)數(shù)z=re i ，求所有的滿足n=z 的 復(fù)數(shù)。nz 記記,zeni 由由設(shè)設(shè) iinnree 有有)(2,Zkknrn 3.復(fù)數(shù)的方根（開方）乘方的逆運算 當(dāng)z0時，有n個不同的值與 相對應(yīng)，每一個這樣的值都稱為z 的n次方根，nznkinnerz 2 )2sin2(cosnkinkrn )1, 2 , 1 , 0( nk第23頁/共46頁A 當(dāng)k=0，1，n-1時，可得n個不同的根， 而k取其它整數(shù)時，這些根又會重復(fù)出現(xiàn)。幾何上， 的n個值是以原點為中心， 為半徑的圓周上n個等分點，即它們是內(nèi)接于該圓周的正n邊形的n個頂點。nznr（見

12、見圖圖）如如)3 , 2 , 1 , 0()424sin424(cos2184 kkikik xyo0 1 2 3 822i 1第24頁/共46頁32:1i 例例求求6377224412(cossin),(0,1,2).33kkiik 77:12 cossin44ii 解解7523666124120122,2,2.iiieee即即第25頁/共46頁練習(xí)：求下列復(fù)數(shù)的模與輻角主值（1） （2） （3） （4） i 3i231iii25104ni231第26頁/共46頁解22(3)( 1)2,15arg( )arctan63zz （1 ）22321131313z 2arg( )arctan3z 1

13、3232,32(32 )(32 )1313iiiii （2）第27頁/共46頁1025104413 ,iiiiiii 22|( 1)310,z arg( )arctan 3z （3）|1 ,z arg( )2,3nzk (23nkk 滿滿足足的的 ）313cossin233nniinnei 313arg( )arctan 3)23iiez ( (模模為為1 1, ,(4)第28頁/共46頁& 1.平面點集& 2. 簡單曲線（或Jordan曲線)& 3. 單連通域與多連通域第29頁/共46頁1. 平面點集鄰域復(fù)平面上以 z 0為中心，任意 0為半徑的圓 | z -z 0|

14、(或 0 | z z 0| 0, 對任意 z D, 均有|z|R，則D是有界區(qū)域；否則無界。閉區(qū)域 區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,.D記為記為(1) 圓環(huán)域:0z 2r1r(2) 上半平面:(3) 角形域:(4) 帶形域:xyo;201rzzr ; 0Im z;arg z.Imbza 第32頁/共46頁.xyIm,Re軸軸的的直直線線軸軸和和表表示示分分別別平平行行于于 zz.0Im,0Re表表示示下下半半復(fù)復(fù)平平面面表表示示右右半半復(fù)復(fù)平平面面 zz.,00為為半半徑徑的的圓圓內(nèi)內(nèi)所所有有的的點點以以為為圓圓點點表表示示以以rzrzz 第33頁/共46頁2. 簡單曲線（或Jordan曲線)

15、,)()(),()()(baCtytxbtatyytxx 、實實變變函函數(shù)數(shù)表表示示為為：平平面面上上一一條條連連續(xù)續(xù)曲曲線線可可令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;則曲線方程可記為：z=z(t)， atb.0)( )( ,)( )( 22則則稱稱該該曲曲線線為為光光滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線。( )( )z az b稱稱和和為為這這條條曲曲線線的的起起點點和和終終點點。第34頁/共46頁重點 設(shè)連續(xù)曲線C：z=z(t)，atb，對于t1(a，b), t2 a, b,當(dāng)t1t2時，若z(t1)=z(t2)，稱z(t1)為曲線C的重

16、點。 定義 稱沒有重點的連續(xù)曲線C為簡單曲線或 Jordan曲線;若簡單曲線C 滿足z(a)=z(b)時，則稱此曲線C是簡單閉曲線或Jordan閉曲線 。 z(a)=z(b)簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線第35頁/共46頁3. 單連通域與多連通域簡單閉曲線的性質(zhì) 任一條簡單閉曲線 C：z=z(t)， ta，b，把復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的部分：一個是有界區(qū)域，稱為C的內(nèi)部；一個是無界區(qū)域，稱為C的外部；還有一個是它們的公共邊界。z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部外部邊界定義 復(fù)平面上的一個區(qū)域 D ，如果D內(nèi)的任何簡單閉曲線的內(nèi)部總在D內(nèi)，就稱 D為單連通域；非單連

17、通域稱為多連通域。第36頁/共46頁例如 |z|0）是單連通的； 0r|z|R是多連通的。單連通域多連通域多連通域單連通域第37頁/共46頁ab0Im abaz直線：直線：)()( tabtaz是實數(shù)，所以是實數(shù)，所以即即abaz 解第38頁/共46頁1. 南極、北極的定義 , 0 的球面的球面點點取一個與復(fù)平面切于原取一個與復(fù)平面切于原 z , 與原點重合與原點重合球面上一點球面上一點 S , NS點點直線與球面相交于另一直線與球面相交于另一作垂直于復(fù)平面的作垂直于復(fù)平面的通過通過 . , 為南極為南極為北極為北極我們稱我們稱SNNSPyzZx第39頁/共46頁 球面上的點, 除去北極 N 外, 與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系. 我們可以用球面上的點來表示復(fù)數(shù). 球面上的每一個點都有唯一的復(fù)數(shù)與之對應(yīng), 這樣的球面稱為復(fù)球面.2. 復(fù)球面的定義我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點相對應(yīng), 記作 . 因而球面上的北極 N 就是復(fù)數(shù)無窮大 的幾何表示. 第40頁/共46頁3. 擴(kuò)充復(fù)平面的定義包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無窮遠(yuǎn)點在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面, 或簡稱復(fù)平面.復(fù)球面的優(yōu)越處:能將擴(kuò)充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點明顯地表示出來.對于復(fù)數(shù) 來說, 實部,虛部,輻角等概念均無意義, 它的模規(guī)定為正無窮大，即 |.z 第41頁/共46