參數(shù)估計習(xí)題課復(fù)習(xí)課程

1、參數(shù)估計習(xí)題課精品資料第21講 參數(shù)估計習(xí)題課教學(xué)目的：1.通過練習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步掌握矩估計和最大似然估計的計算方法；2. 通過練習(xí)使學(xué)生理解無偏性和有效性對于評價估計量標(biāo)準(zhǔn)的重要性；3. 通過練習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步掌握正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計和單側(cè)置信限。教學(xué)重點：矩估計和最大似然估計，無偏性與有效性，正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計。教學(xué)難點：矩估計，最大似然估計，正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計。教學(xué)時數(shù)：2學(xué)時。教學(xué)過程：一、知識要點回顧1. 矩估計用各階樣本原點矩V - ° Xik作為各階總體原點矩EXk的估計，k 1,2,。若有n i 1參數(shù)g(E(X), E(X2)J|,E(Xk)，則參數(shù) 的矩估計

2、為nnn?(- Xi,- X：,，- X；)。n i=1 n i=1n i=12. 最大似然估計似然函數(shù)L( )f(Xi；)，取對數(shù)InL()，從 世Q=0中解得 的最大似然估i 1d計？。3. 無偏性，有效性當(dāng)E ?時，稱？為的無偏估計。當(dāng)D? D ?時，稱估計量？比？有效。二、典型例題解析xc1設(shè)f (x) e ，x ，求的矩估計 , x解EXxe0xdx,設(shè) u1 1x,x u,dx du則EX1ue u(_du)01uue10 o e udu 0(e)0=1故 丄，所以？ 1 。EXx2.設(shè)總體X在a,b上服從均勻分布，求a和b的矩估計。解由均勻分布的數(shù)學(xué)期望和方差知1E(X) -(a

3、 b)2(1)D(X) 112(b a)2(2)1由(1)解得b 2EX a，代入(2)得DX (2EX 2a)2， 整理得121 2DX (EX a)，解得3a E(X) ,3D(X)b E(X) J3D(X)故得a,b的矩估計為<? x 3 ?2i? x J371 n其中?2 1 (Xj x)2 on i 1x3設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x； )，求 的最大似然估計。x!4.解得n設(shè) L( ) f(x,)1In L()d In L()d設(shè)總體X的密度函數(shù)計。L(In L(d In L(dnXi1 e n(Xi!)(X2!).(Xn!)n(X)Ini 1nIn (Xi!)i 10,1 n

4、Xi Xn i 1f(x,)a)Xa"（a已知）,求參數(shù)的最大似然估nf(Xi,)(XiX2.Xn)1enXiai 1n Inn In aaXi(an1)InXii 1naXii 15.的兩個獨立的無偏估計量，且假定 D ? 2D ?，求常數(shù)c和d，使？c? d?為 的無偏估計，并使方差D ?最小。解由于 E? E(c? d?) cE? dE ? (c d),且知 E?，故得 c+d=1 又由于D ? D(c? d ?2) c2D? d2D? 2c2Dd2D ? (2c2 d2)D ?并使其最小，即使f 2c2 d2，滿足條件c+d=1的最小值。令 d=1-c，代入得 f 2c2 (

5、1 c)2， fc' 4c 2(1 c) 0, 6c 2 012解得 c 一, d 1 c 。337. 設(shè)某電子元件的壽命服從正態(tài)分布 N( , 2),抽樣檢查10個元件，得樣本均 值x 1200(h)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s 14(h)。求(1) 總體均值 置信水平為99%的置信區(qū)間；(2) 用x作為 的估計值，求絕對誤差值不大于10( h)的概率。解(1)由于 未知，s=14( h),根據(jù)求置信區(qū)間的公式得(X亠t (n 1),X -t (n 1).n 2. n 邁(12001414t°.005(9),1200 t°.005(9)、10 10查表得to.oo5(9) 3.

6、25，故總體均值置信水平為99%的置信區(qū)間為(1200 14.388, 1200 14.388)(1185.612, 1214.388)P(X10) P(-X乎)P(t (n1)10而、 寸)sJn珀'nP(t(9)2.2588)P(t(9)t0.025 (9)1 21-0.05=0.952)的一個樣本，確定常數(shù)c的值，使8.設(shè)X1,X2,.,Xn為正態(tài)總體N(僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝7解n 12EQ c (人 1 xji 1n 12 c E(Xi 1)i 1n 12 c E(Xi 1)i 1由于 E(x ) EXin 1Q c (x 1 Xi)2為2的無偏估計i

7、1n 12C E(x 1) (Xi)i 122(X 1)(Xi) (Xi)22E(x 1 )E(x ) E(Xi)0,所以有精品資料n 1n 1EQ c DXj 10 DxJ c (2 2) c2(n 1)i 1i 1由EQ（無偏性），故有2c（n1)1，所以c12(n 1)僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除謝謝9二、計算題解.設(shè)滾珠的直徑為X,平均直徑為卩，均方差為0：由矩估計法可知1.某工廠生產(chǎn)滾珠.從某日生產(chǎn)直=5(2) = X的產(chǎn)品中隨機抽取9個,測得直J徑（單位：mm）如下：x 丄 W - A (1461 十 148) - 1451而14.6 14.7 15.1 14.9 15.

8、014.8 15.1 15.2 14.8玄14.91.用矩估計法估計該日生產(chǎn)的滾 珠的平均直徑和均方差.£ 丄文仙一疔丄(146-1491)'4(414一91屮=0.03654,二二 I 丿11解.設(shè)(Xi, X2,；Xn)是來自X的一樣本.由極大似然估計原理；參數(shù)B的似然函數(shù)為：=1冃2.設(shè)總體X的密度函數(shù)為上式兩邊取對數(shù)似然方程為din L(&)O<A<1心1 6其他3J其中(B>0)；求B的極大似然 估計量.10/；(昭=相111舊 + (日1)£10方；5-1解似然方程得B的極大似然估計量是匕l(fā)：i .i=i3.設(shè)總體X的密度函數(shù)為

9、解.設(shè)(Xi； X2；;Xn)是來自X的樣本.(1)由矩估計法0<z<l其他求a的極大似然估計量和矩 估計量.Eg =jJ(®+ l)Aa4L<k即參數(shù)a的矩估計量是精品資料& = = -21-Z.(2)由極大似然估計原理,參數(shù)a的似然函數(shù)為,i =13-1上式兩邊取對數(shù)In£2 十 1）十&i=l似然方程為da1 E=i解似然方程得到參數(shù)a的極大似然估計量是柱=_.i=l僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除 謝謝15設(shè) f（X）e x, x 00, x 0,求的矩估計。EX 0xe Xdx,設(shè) u1 1 x,x u,dx du則EXue

10、 u(du)1 ueuu100 e du 0(e)故Ex，所以? I3. 一地質(zhì)學(xué)家研究密歇根湖湖地區(qū)的巖石成分，隨機地自該地區(qū)取100個樣品，每個樣品有10塊石子，記錄了每個樣品中屬石灰石的石子數(shù)。假設(shè)這 100次觀察相互獨立，并由過去經(jīng)驗知，它們都服從參數(shù)為n=10, P的二項分布。P是該地區(qū)一塊石子是石灰石的概率。求p的極大似然估計值，該地質(zhì)學(xué)家所得的數(shù)據(jù)如下樣品中屬石灰石的石子數(shù)2 22101673 612310觀察到石灰石的樣品個數(shù)解：入的極大似然估計值為P=X =0.499(1)f(x)0cex (0 1) ,x c0,其它(2)f(x) 0 x 0 1,0 x 1 0,其它.4.

11、設(shè) X1, X1,，Xn為總體的樣本，求各未知參數(shù)的極大似然估計值和估計量其中c>0為已知，41，B為未知參數(shù)其中6>0，B為未知參數(shù)。解（1）似然函數(shù)L(B)f (Xi)i 10ncn 0 (xx2Xn)ln L(0)n ln( 0) n 01n c(10)i 1ln Xi,d In L(0)d0n In cIn xii 1nln c（解唯一故為極大似然估計量）(2)L(0)nf (Xi)i 1n0 ° (x1x20 1Xn),l nL(0)-n¥ln(0)( .一 01) lnxi2i 1d ln L(0)n1 1nln Xi0,i 10 (nln xi )

12、2。（解唯一）故為極大似然估計量。d 020 2. 0In xii 16.設(shè)樣本X1,X2,|Xn來自總體XN（u,0.25），如果要以99.7%的概率保證X u0.1，試問樣本容量n應(yīng)取多大？解：X = n（0,1）。現(xiàn)要求使P X u 0.1 pjx 二 0.2Vn 2 （0.2亦）1 0.9970.5/ Jn即（0.20.9985，查表得，（0.2'匸）2.96，所以n=219，即樣本容量為219。8. 設(shè)總體X具有分布律X123Pk仔 2 0(10)(10) 2其中0 （0< 0 <1）為未知參數(shù)。已知取得了樣本值 x1=1，x2=2，x3=1，試求0的 矩估計值和最大似然估計值。解：（1）求0的矩估計值精品資料E(X) 1 e2 2 20(1e) 3(1 e)