矩陣的乘法及求逆運算PPT學習教案

1、會計學1矩陣的乘法及求逆運算矩陣的乘法及求逆運算 ()()ijijijAamsBbsnABmnCc 設(shè)設(shè)是是一一個個矩矩陣陣，是是一一個個矩矩陣陣，那那么么規(guī)規(guī)定定矩矩陣陣 與與矩矩陣陣 的的乘乘積積是是一一個個矩矩陣陣其其中中 skkjiksjisjijiijbabababac12211 1,2,;1,2,im jn.ABC 注意：注意： 要使要使C= =AB有意義，則有意義，則A的列數(shù)必須等于的列數(shù)必須等于B的行的行數(shù)，且矩陣數(shù)，且矩陣C的第的第i行第行第j列元素正好是列元素正好是A的第的第i行與行與B的的第第j列對應(yīng)元素乘積之和。列對應(yīng)元素乘積之和。第1頁/共19頁 溫馨提醒溫馨提醒1.

2、 乘積矩陣的第乘積矩陣的第i行第行第j列元素等于左矩陣的第列元素等于左矩陣的第i行元行元素與右矩陣的第素與右矩陣的第j列對應(yīng)元素乘積之和列對應(yīng)元素乘積之和.2. 只有當左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時，矩陣的只有當左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時，矩陣的乘積才有意義乘積才有意義.3. 兩個矩陣的乘積仍然是一個矩陣，且乘積矩陣的兩個矩陣的乘積仍然是一個矩陣，且乘積矩陣的行數(shù)等于左矩陣的行數(shù)，乘積矩陣的列數(shù)等于右矩行數(shù)等于左矩陣的行數(shù)，乘積矩陣的列數(shù)等于右矩陣的列數(shù)陣的列數(shù).4.矩陣的乘法不滿足交換律，而且不滿足消去律矩陣的乘法不滿足交換律，而且不滿足消去律，除非，除非A和和B可交換，即可交換，即AB

3、=BA。第2頁/共19頁方程組的矩陣表示：方程組的矩陣表示：111122133111213121222322112222333313233311322333a xa xa xaaaxaaaxa xa xa xxaaaa xa xa x對方程組對方程組111122133121122223323113223333(1)a xa xa xba xa xa xba xa xa xb記記111213112122232233313233,aaaxbAaaaxxbbxbaaa則方程組則方程組(1)可表示為可表示為.Axb第3頁/共19頁一、逆矩陣的概念一、逆矩陣的概念二、方陣可逆的判別定理二、方陣可逆的判別

4、定理三、逆矩陣的基本性質(zhì)三、逆矩陣的基本性質(zhì)四、用矩陣的初等變換求逆矩陣四、用矩陣的初等變換求逆矩陣第4頁/共19頁設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣，如有階方陣，如有 n 階方陣階方陣 B ，使，使:AB = BA = I則稱則稱 A 為可逆陣，為可逆陣，B 為為 A 的逆陣，記作的逆陣，記作 1.BA 一、逆矩陣的概念一、逆矩陣的概念第5頁/共19頁 性質(zhì)：性質(zhì)： (2)(3) A、B 均是同階可逆陣，則均是同階可逆陣，則 (4) (5)(6)若方陣若方陣 A 可逆，則其逆矩陣唯一可逆，則其逆矩陣唯一.(7)矩陣矩陣 A 可逆充分必要條件是可逆充分必要條件是11()AA111()kAAk111()

5、ABB A11()()TTAA*AAA AA I0A 第6頁/共19頁1*1AAA 逆矩陣求解方法一逆矩陣求解方法一伴隨矩陣法伴隨矩陣法逆矩陣求解方法二逆矩陣求解方法二初等變換法初等變換法1()()A EE A 行第7頁/共19頁逆矩陣求解方法三逆矩陣求解方法三因式分解法因式分解法12110-kKAAIIAAAAA若，即（）可逆，且有（I我們通過上式，求出）1123401123001120001 10001.0A例 求下面矩陣的逆矩陣，已知：第8頁/共19頁441123401123()001120001100001 00()0KIKAIA解：通過計算得，所以存在一個，使123=()()“()”

6、AIIAIAIAAA把這里的（I）替換上式中的，得100000123411101010000012301110001000001200111000100000100011000010000 +.000001第9頁/共19頁逆矩陣求解方法四逆矩陣求解方法四多項式法多項式法 我們知道，矩陣我們知道，矩陣A可逆的充分必要條件是有一常數(shù)項不為零的可逆的充分必要條件是有一常數(shù)項不為零的多項式多項式f(x)，滿足，滿足 f(A)=0，用這個知識點也可以求出逆矩陣。，用這個知識點也可以求出逆矩陣。 222-1,530-33530 .XXAIAAAIf xA例 已知矩陣滿足多項式試證明 是可逆矩陣，并求其可且

7、，即，逆矩陣。2 15530()33 AAIAAAII證：由，可得從而可知 為可逆矩陣，并且11533112110153330123313AAI 第10頁/共19頁逆矩陣求解方法五逆矩陣求解方法五解方程組法解方程組法12.3221343A例求的逆矩陣,AXAXI解：求可逆矩陣 的逆矩陣則它滿足123123(,)1000 ,1 ,0001XXXXAXAXAX 設(shè)，則第11頁/共19頁1231,2,3iiiixXxix利用消元解法求（）1132353220111AX 解得：第12頁/共19頁逆矩陣求解方法六逆矩陣求解方法六準對角矩陣準對角矩陣11220000,1, 2,00)iinnAAAAinA

8、定義：形如是矩陣。(A稱為準對角矩陣稱為準對角矩陣其求逆的方法：1122111111122221,000000000000nnnnnnAAAAAAAAA可以證明：如果都可逆，則準對角矩陣也可逆，且第13頁/共19頁1400003200150000.5A例已知，求。解：112233112233325150000040AAAAAAA 設(shè)第14頁/共19頁111112233521111341 5 7AAA 求得：111112213310004520000171700130000171710005AAAA所以第15頁/共19頁逆矩陣求解方法七逆矩陣求解方法七恒等變形恒等變形 有些計算命題表面上與求逆矩

9、陣無關(guān)，但實質(zhì)上只有求出其有些計算命題表面上與求逆矩陣無關(guān)，但實質(zhì)上只有求出其逆矩陣之后，才能解決問題。而求其逆矩陣常對所給矩陣進行恒逆矩陣之后，才能解決問題。而求其逆矩陣常對所給矩陣進行恒等變形，且常變?yōu)閮删仃嚦朔e等于單位矩陣的等式。等變形，且常變?yōu)閮删仃嚦朔e等于單位矩陣的等式。611 .1322312 2 AIAA例已知，求，其中解：解：恒等變形，得恒等變形，得:666611AIAAAA AI 1111111132231 22TTAAAAAAAA于是，因為 是正交矩,又陣以,所,第16頁/共19頁逆矩陣求解方法八逆矩陣求解方法八公式法公式法利用下述諸公式，能夠迅速準確地求出逆矩陣。利用下述諸公式，能夠迅速準確地求出逆矩陣。11 abdbAcdcaA（1）二階矩陣求逆公式（兩調(diào)一除）：若A=， 則1111( )( )( )()ijijiiijijEEEkEEkEkk初等矩陣求逆公式：（2）111000111101100011100011000100001AA