概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件

1、在實(shí)際問題中在實(shí)際問題中,一個隨機(jī)試驗(yàn)往往用幾個隨機(jī)變量一個隨機(jī)試驗(yàn)往往用幾個隨機(jī)變量整體地討論其結(jié)果整體地討論其結(jié)果. 如射擊時考慮子彈在靶標(biāo)上如射擊時考慮子彈在靶標(biāo)上的位置的位置, 我們我們用定義在同一個樣本空間用定義在同一個樣本空間上的兩上的兩個隨機(jī)變量個隨機(jī)變量 X 和和 Y 分別表示子彈在靶標(biāo)上的橫坐分別表示子彈在靶標(biāo)上的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)標(biāo)與縱坐標(biāo), 則子彈在靶標(biāo)上的位置可用二維隨則子彈在靶標(biāo)上的位置可用二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量（機(jī)變量或二維隨機(jī)向量（X，Y）表示）表示.定義定義1.1 設(shè)設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間的樣本空間,在樣本空間在樣本空間上定義兩個隨機(jī)變量上定義兩個隨

2、機(jī)變量X和和Y, 即對任意的即對任意的e , 都都賦予實(shí)數(shù)賦予實(shí)數(shù)X(e), Y(e), 我們稱向量（我們稱向量（X，Y）為）為二維隨二維隨機(jī)變量機(jī)變量或或二維隨機(jī)向量二維隨機(jī)向量. 類似地可定義類似地可定義三維隨機(jī)變量三維隨機(jī)變量以及任意以及任意有限維隨有限維隨機(jī)變量機(jī)變量. 我們把二維及二維以上的隨機(jī)變量稱為我們把二維及二維以上的隨機(jī)變量稱為多多維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量. 本章主要討論二維隨機(jī)變量本章主要討論二維隨機(jī)變量,其結(jié)果只其結(jié)果只要形式上加以處理要形式上加以處理, 可以推廣到三維或三維以上的可以推廣到三維或三維以上的隨機(jī)變量隨機(jī)變量.定義定義1.2 設(shè)設(shè)(X,Y)為為二維隨機(jī)變量二維隨

3、機(jī)變量, x,y為任意的實(shí)為任意的實(shí)數(shù)數(shù), 則稱二元函數(shù)則稱二元函數(shù))()(),(),(yYxXPyYxXPyxF 為為 (X,Y) 的的分布函數(shù)分布函數(shù)或或X和和Y的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù). . ,| ),( ),(),(),( ,),(概概率率內(nèi)內(nèi)的的矩矩形形區(qū)區(qū)域域落落在在處處的的函函數(shù)數(shù)值值就就是是隨隨機(jī)機(jī)點(diǎn)點(diǎn)在在點(diǎn)點(diǎn)布布函函數(shù)數(shù)則則聯(lián)聯(lián)合合分分坐坐標(biāo)標(biāo)的的看看成成平平面面上上的的隨隨機(jī)機(jī)點(diǎn)點(diǎn)如如果果把把yvxuvuGYXyxyxFYX 性質(zhì)性質(zhì)1 對任意的對任意的x和和y ,有有0F(x,y) 1; 性質(zhì)性質(zhì)2 F(x,y)關(guān)于關(guān)于x和和y都是單調(diào)不減的都是單調(diào)不減的. 證明證明

4、 對任意的對任意的 和和y,因?yàn)橐驗(yàn)樗运约醇赐砜勺C同理可證,對任意的對任意的x 和和有有21 xx ),(X),(X 21yYxyYx ),(X),(X 21yYxPyYxP ),(),( 21yxFyxF )()( 21x,yFx,yF 21 yy 性質(zhì)性質(zhì)3 對任意的對任意的x和和y ,有有 0),(),(lim yxFyFx0),(),(lim yxFxFy0),(),(lim yxFFyx1),(),(lim yxFFyx?),(),(lim yxFFyx不一定不一定,留給有興趣的同學(xué)課后思考留給有興趣的同學(xué)課后思考但但性質(zhì)性質(zhì)4 F(x,y)關(guān)于關(guān)于x和和y都是右連續(xù)的都是右連

5、續(xù)的. ),(), 0(),(lim0yhxFyxFyxFh ),()0,(),(lim0hyxFyxFyxFh 0),(),(),(),(),( 112112222121 yxFyxFyxFyxFyYyxXxP性質(zhì)性質(zhì)5 對于任意的對于任意的,有有即二元函數(shù)即二元函數(shù)F(x,y)是是矩增矩增的的2121 , yyxx ? ),()0, 0(),(lim)0,0(),(tysxFyxFyxFts 定義定義2.12.1 如果二維隨機(jī)變量如果二維隨機(jī)變量(X,Y)的可能取值是有的可能取值是有限組或可列無限組限組或可列無限組 則稱則稱(X,Y)為為二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量, ,將將(X,

6、Y)取每組值的概率取每組值的概率, 3 , 2 , 1, ),( jiyxji稱為二維離散型隨機(jī)變量稱為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的的聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律. ., 3 , 2 , 1, ,),( jipyYxXPijji).()(),( ,)()(),( jijijijiyYxXyYxXyYxXyYxX 即即積積事事件件的的與與表表示示事事件件記記號號二維離散型隨機(jī)向量二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)(X,Y)的分布律表的分布律表ijiiijjjpppxpppxpppxyyyYX2122221211211121解解 (X,Y)的可能取值為的可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)

7、,則則(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為例例1 袋中有袋中有2個黑球個黑球3個白球個白球,從袋中隨機(jī)取兩次從袋中隨機(jī)取兩次,每每次取一個球次取一個球,取后不放回取后不放回.令令求求(X,Y)的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律. 第二次取到白球第二次取到白球第二次取到黑球第二次取到黑球第一次取到白球第一次取到白球第一次取到黑球第一次取到黑球, 0, 1 , 0, 1YX2064353)0, 0( YXP2064253)1, 0( YXP性質(zhì)性質(zhì)1 證證 所以所以 性質(zhì)性質(zhì)2 證證 , 1),(0 jiyYxXP因?yàn)橐驗(yàn)?0 ijp10 ijp1111, ijijjiijpp1)(),(1111 PyY

8、xXppijjiijij證證 性質(zhì)性質(zhì)3 聯(lián)合分布律完全反映了聯(lián)合分布律完全反映了(X,Y)的概率性質(zhì)的概率性質(zhì):設(shè)設(shè)G是一平面區(qū)域是一平面區(qū)域, 則則即隨機(jī)點(diǎn)即隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在區(qū)域落在區(qū)域G上的概率是上的概率是(X,Y)在在G上取上取值所對應(yīng)的概率之和值所對應(yīng)的概率之和. GyxijjipGYXP),( ),() ),( (),(),(GyxjijiyYxXPGYXP GyxijGyxjijijipyYxXP),(),( ),( 性質(zhì)性質(zhì)4 4 二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函的聯(lián)合分布函數(shù)為數(shù)為 其中和式是對一切滿足其中和式是對一切滿足xix, ,yjy的來求

9、和的來求和. . yyxxijjipyYxXPyxF, ),(),(例例2 令隨機(jī)變量令隨機(jī)變量X表示在表示在1,2,3,4中中等可能地等可能地取一個取一個值值, 令隨機(jī)變量令隨機(jī)變量Y表示表示在在1至至 X中等可能地取一個值中等可能地取一個值. 求求(X,Y) 的聯(lián)合分布律和的聯(lián)合分布律和F(2,2),F(3,3),F(4,4)之值之值.解解)|()(),(iXjYPiXPjYiXPpij ijiji, 0),/1)(4/1(故故 (X,Y) 的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為Y X 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12

10、1/16 4 0 0 0 1/16 )2, 2()2 , 2( YXPF)3, 3()3 , 3( YXPF)4, 4()4 , 4( YXPF31121121811218141000 218181410 1000000161161121161121811611218141 則稱則稱(X,Y)為為二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量, f(x,y)稱為稱為(X,Y)的的概率密度概率密度或稱為或稱為X和和Y的的聯(lián)合概率密度聯(lián)合概率密度或或聯(lián)合密聯(lián)合密度函數(shù)度函數(shù). yxdudvvufyxF),(),(定義定義2.2 設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y).如果存在如果存在非負(fù)

11、可積非負(fù)可積函數(shù)函數(shù)f(x,y),對任意實(shí)數(shù)對任意實(shí)數(shù)x,y, 有有(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)具有性質(zhì)具有性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 非負(fù)性非負(fù)性: f(x,y) 0性質(zhì)性質(zhì)2 歸范性歸范性: 1),(),( dudvvufF GdudvvufGYXP),(),(yxyxFyxf ),(),(2性質(zhì)性質(zhì)3 f(x,y)完全反映了二維連續(xù)型隨機(jī)變量完全反映了二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率性質(zhì)的概率性質(zhì): 設(shè)設(shè)G為平面上的任意區(qū)域?yàn)槠矫嫔系娜我鈪^(qū)域, 則則性質(zhì)性質(zhì)4 二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)與密度的分布函數(shù)與密度函數(shù)的關(guān)系函數(shù)的關(guān)系: 在在f(x,

12、y)的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處，有，有解解 (1)由由 得得所以所以 k=6(2) 例例3 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度的概率密度求求:(1)常數(shù)常數(shù)k; (2) 其他其他010),(yxkxyxf).1( YXP1),( dudvvuf61110kkxdydxx 416),()1(12/101 xxyxdyxdxdxdyyxfYXP例例4 4 設(shè)二維隨機(jī)向量設(shè)二維隨機(jī)向量( (X,Y) )具有概率密度具有概率密度(1)(1)求求F( (x, ,y) )和和P( (YX).).解解 (1)(1) 其其他他00, 02),(2(yxeyxfyx yxdudvvufyxF),(),(

13、 其其他他00, 0,20)2(0yxdudveyvux 其他其他00, 0),1)(1(2yxeeyx(2) (2) 將將( (X,Y) )看著平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)看著平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo). .G是是xoy平平面上直線面上直線y=x下方的部分下方的部分. .),()(GYXPXYP vuvduedve202 Gdudvvuf),(vvedve20 3103 dvev 關(guān)于二維隨機(jī)向量的討論關(guān)于二維隨機(jī)向量的討論, ,可以推廣到可以推廣到n( (n2)2)維隨機(jī)向量的情況維隨機(jī)向量的情況. . 設(shè)設(shè)( (X1, X2, Xn) )為為n維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量, , 對于任意對于任意n個實(shí)數(shù)個實(shí)數(shù)x1, x2, xn, n元函數(shù)元函數(shù) F( (x1, x2, xn)=)=P( (X1x1,X2 x2, Xn xn) )稱為稱為n維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量( (X1, X2, Xn) )的分布函數(shù)或隨機(jī)的分布函數(shù)或隨機(jī)變量變量X1, X2, Xn的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù). .它具有類似于二它具有類似于二維隨機(jī)向量的分布函數(shù)的性質(zhì)維隨機(jī)向量的分布函數(shù)的性質(zhì). .(1) 設(shè)設(shè)G為平面上的有限區(qū)域?yàn)槠矫嫔系挠邢迏^(qū)域, 如果如果(X,Y)的概率密度的概率密度其中其中A(G)是區(qū)域是區(qū)域G的面積的面積,稱稱