湍流模型概述

1、大多數(shù)飛行器都是在高 Re數(shù)下飛行，表面的流態(tài)是湍流。為了準(zhǔn)確地確定湍流流態(tài)下的摩阻、熱流，湍流成為一個(gè)重要而困難的研究課題。（一）DNS目前處理湍流數(shù)值計(jì)算問(wèn)題有三種方法，第一種方法即所謂直接數(shù)值模擬方法（DNS亍法），直接求解湍流運(yùn)動(dòng)的 N-S方程，得到湍流的瞬時(shí)流場(chǎng)，即各種尺度的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，可以 獲得湍流的全部信息。隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的發(fā)展和先進(jìn)的數(shù)值方法的研究，DNST法已經(jīng)成為解決湍流的一種實(shí)際的方法。但由于計(jì)算機(jī)條件的約束，目前只能限于一些低Re數(shù)的簡(jiǎn)單流動(dòng)，不能用于工程應(yīng)用。目前國(guó)際上正在做的湍流直接數(shù)值模擬還只限于較低的需諾數(shù) （Re200）和非常簡(jiǎn)單的流動(dòng)外形，如平板邊界層、完全發(fā)

2、展的槽道流，以及后臺(tái)階流動(dòng)等。 用直接數(shù)值模擬方法處理工程中的復(fù)雜流動(dòng)問(wèn)題，即使是當(dāng)前最先進(jìn)的計(jì)算機(jī)也還差三個(gè)量級(jí)。（二）LES另一種方法稱做大渦模擬方法（LES方法）。這是一種折衷的方法，即對(duì)湍流脈動(dòng)部分 地直接模擬，將N-S方程在一個(gè)小空間域內(nèi)進(jìn)行平均（或稱之為濾波）， 以使從流場(chǎng)中去掉 小尺度渦，導(dǎo)出大渦所滿足的方程。 小渦對(duì)大渦的影響會(huì)出現(xiàn)在大渦方程中，再通過(guò)建立模型（亞格子尺度模型）來(lái)模擬小渦的影響。由于湍流的大渦結(jié)構(gòu)強(qiáng)烈地依賴于流場(chǎng)的邊界形 狀和邊界條件，難以找出普遍的湍流模型來(lái)描述具有不同的邊界特征的大渦結(jié)構(gòu)，宜做直接模擬。相反地，小尺度渦對(duì)邊界條件不存在直接依賴關(guān)系，而且一般具

3、有各向同性性質(zhì)。所 以亞格子模型具有更大的普適性，比較容易構(gòu)造，這是它比雷諾平均方法要優(yōu)越的地方。自從1970年Deardorff第一次給出具有工程意義的LES計(jì)算以來(lái)，LES方法已經(jīng)成為計(jì)算湍流的最強(qiáng)有力的工具之一，應(yīng)用的方向也在逐步擴(kuò)展，但是仍然受計(jì)算機(jī)條件等的限制，使之成為解決大量工程問(wèn)題的成熟方法仍有很長(zhǎng)的路要走。（三）RANS目前能夠用于工程計(jì)算的方法就是模式理論。所謂湍流模式理論，就是依據(jù)湍流的理論知識(shí)、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或直接數(shù)值模擬結(jié)果，對(duì)Reynolds應(yīng)力做出各種假設(shè)，即假設(shè)各種經(jīng)驗(yàn)的和半經(jīng)驗(yàn)的本構(gòu)關(guān)系，從而使湍流的平均Reynolds方程封閉。隨著計(jì)算流體力學(xué)的發(fā)展，湍流模式理論也

4、有了很大的進(jìn)步，有了非常豐碩的成果。 從對(duì)模式處理的出發(fā)點(diǎn)不同，可以將湍流模式理論分類成兩大類：一類稱為二階矩封閉模式，另一類稱渦粘性封閉模式。（1）雷諾應(yīng)力模式所謂二階矩封閉模式，是從Reynolds應(yīng)力滿足的方程出發(fā)，將方程右端未知的項(xiàng)（生成項(xiàng)，擴(kuò)散項(xiàng)，耗散項(xiàng)等）用平均流動(dòng)的物理量和湍流的特征尺度表示出來(lái)。典型的平均流動(dòng)的變量是平均速度和平均溫度的空間導(dǎo)數(shù)。這種模式理論，由于保留了Reynolds應(yīng)力所滿足的方程，如果模擬的好，可以較好地反映Reynolds應(yīng)力隨空間和時(shí)間的變化規(guī)律，因而可以較好地反映湍流運(yùn)動(dòng)規(guī)律。因此，二階矩模式是一種較高級(jí)的模式，但是，由于保留了 Reynolds應(yīng)力

5、的方程，加上平均運(yùn)動(dòng)的方程整個(gè)方程組總計(jì)15個(gè)方程，是一個(gè)龐大的方程組，應(yīng)用這樣一個(gè)龐大的方程組來(lái)解決實(shí)際工程問(wèn)題，計(jì)算量很大，這就極大地限制了二階矩模式在工程問(wèn)題中的應(yīng)用。（2）渦粘性模式Boussinesq仿照分子粘在工程湍流問(wèn)題中得到廣泛應(yīng)用的模式是渦粘性模式。這是由 性的思路提出的，即設(shè) Reynolds應(yīng)力為，2 、 2,、UiU j = -*T (U i ,j +U j,i + U k,k&ij ) + kij()3 3這里k =1 UUj是湍動(dòng)能，vt稱為渦粘性系數(shù)，這是最早提出的基準(zhǔn)渦粘性模式，即假設(shè)2雷諾應(yīng)力與平均速度應(yīng)變率成線性關(guān)系，當(dāng)平均速度應(yīng)變率確定后，六個(gè)雷諾

6、應(yīng)力只需要通過(guò)確定一個(gè)渦粘性系數(shù) ¥t就可完全確定，且渦粘性系數(shù)各向同性，可以通過(guò)附加的湍流量來(lái)?；热缤膭?dòng)能k,耗散率& ,比耗散率。以及其它湍流量E=k/& , l = k3/2/& ,q = Jk，根據(jù)引入的湍流量的不同，可以得到不同的渦粘性模式，比如常見(jiàn)的k - 6 , k-w模式，以及后來(lái)不斷得到發(fā)展的k-e, q-w, k-l等模式，渦粘性系數(shù)可以分別表示為八 2 ,k八,q八 , ,wT = C p_k / z , ¥t = C p , vT = Cpki, vT = Cp , vT = CJkl.oco為了使控制方程封閉，引入多少個(gè)

7、附加的湍流量，就要同時(shí)求解多少個(gè)附加的微分方程，根據(jù)求解的附加的微分方程的數(shù)目，一般可將渦粘性模式劃分為三類：零方程模式，半方程模型，一方程模式，兩方程模式。1)零方程模式所謂零方程模式是試圖直接用平均流動(dòng)物理量?；?#165;T，而不引入任何湍流量(如 k, &等)。例如，Prandttl的混合長(zhǎng)理論就是一種零方程模式:(5.7)式中l(wèi)稱為混合長(zhǎng)。在零方程模式的框架下，得到最為廣泛應(yīng)用的是Baldwin-Lomax模式22。該模式是對(duì)湍流邊界層的內(nèi)層和外層采用不同的混合長(zhǎng)假設(shè)。這是因?yàn)榭拷诿嫣帲牧髅}動(dòng)受到很大的抑制，含能渦的尺度減小很多，因此長(zhǎng)度尺度減小很多；另一方面，在邊界層外

8、緣，湍流 呈間歇狀，質(zhì)量、動(dòng)量和能量的輸運(yùn)能力大大下降，即湍流的擴(kuò)散能力減小。這樣，應(yīng)用混 合長(zhǎng)理論來(lái)確定渦粘性系數(shù)在這兩個(gè)不同的區(qū)域應(yīng)該有不同的形式。Baldwin-Lomax模式的具體數(shù)學(xué)描述如下。7vt )inny 壬 ycVt =(5.8 )j*t ) onty > yc這里yc是(*T )inn = (VT )ont的離壁面最小距離 V值。對(duì)于內(nèi)層，即y < yc，有WT)inn=l2Q(5.9)Q是渦量，Q =標(biāo)。七j , l是長(zhǎng)度尺度l = ky(1 exy(y+/A4)(5.10 )其中k=0.4是Karman常數(shù)，A+是?；?shù)，y *是無(wú)量綱法向距離：y&quo

9、t; =U y/、w而u,是摩擦速度，其含義為印ur = JV w此處下標(biāo)w表示壁面。對(duì)于外層，即y a yc,有(5.11 )C T )out ( Fwake F kleb (y)其中2 Fwake - min( y max Fmax ,Cwk y maxU dif / Fmax )Fmax是下列函數(shù)的最大值：F(y) ="(1 -exp(-y /A )而ymax是F(y)達(dá)到最大值的位置。Fkleb是所謂的Klebanoff間歇函數(shù)：( r .v . Vf- /" u u / C kleb y 6Fkleb(y)= "5.5()Udif是平均速度分布中最大值和

10、最小值之差。幾個(gè)?；?shù)的值如下：A = 26.0; C = 0.02668;Ckleb = 0.3; Cwk =1.0,; K = 0.4.由上述?；P(guān)系中可以看出，Reynolds應(yīng)力完全地由當(dāng)時(shí)當(dāng)?shù)氐钠骄鲄?shù)用代數(shù)關(guān)系式所決定。平均流場(chǎng)的任何變化立刻為當(dāng)?shù)氐耐牧魉兄?，這表明零方程模式是一個(gè)平衡態(tài)模式，假定湍流運(yùn)動(dòng)永遠(yuǎn)處于和平均運(yùn)動(dòng)的平衡之中。實(shí)際上對(duì)大多數(shù)湍流運(yùn)動(dòng)而言，并非如此，特別是對(duì)平均流空間和時(shí)間有劇烈變化的情形，再有因?yàn)樽鴺?biāo)y顯式地出現(xiàn)在湍流模式中，零方程模式不具有張量不變性，當(dāng)將它應(yīng)用到復(fù)雜幾何外形的流動(dòng)的數(shù)值模擬會(huì)帶來(lái)困難。當(dāng)流動(dòng)發(fā)生分離時(shí)，Baldwin-Lomax模式

11、會(huì)遇到困難，這是因?yàn)樵诜蛛x點(diǎn)和再附點(diǎn)附近，摩擦速度 y為零，此時(shí)要引入一些人為的干涉來(lái)消除這些困難。計(jì)算實(shí)踐表明，只要流動(dòng)是附體的，零方程模式一般都可以較好地確定壓強(qiáng)分布， 但是摩阻和傳熱率的估算不夠準(zhǔn)確，特別是當(dāng)流動(dòng)有分離和再附時(shí)。這是因?yàn)楦襟w流壓 強(qiáng)分布對(duì)湍流應(yīng)力不敏感?？傊瑢?duì)附體流動(dòng)，如果只關(guān)心壓強(qiáng)分布，應(yīng)用零方程模式通?？梢越o出滿意的結(jié)果，而且模式應(yīng)用起來(lái)十分簡(jiǎn)便。但是對(duì)于我們計(jì)算摩阻的需求， 零方程模式是不能滿足要求。對(duì)于有分離、再附等復(fù)雜流動(dòng)，零方程模式是不適用的。2) 半方程模式為了能計(jì)算具有較強(qiáng)壓強(qiáng)梯度，特別是較強(qiáng)逆壓梯度的非平衡湍流邊界 層,Johnson-King于198

12、5年提出了一個(gè)非平衡代數(shù)模型，該模型仍采用渦粘性假設(shè)，把 渦粘性的分布與最大剪切應(yīng)力聯(lián)系在一起，內(nèi)層渦粘性與外層渦粘性分布用一個(gè)指數(shù)函數(shù)作光滑擬合，外層渦粘性系數(shù)作為一個(gè)自由參數(shù)，由描述最大剪切應(yīng)力沿流向變化的 常微分方程來(lái)確定，此常微分方程是由湍流動(dòng)能方程導(dǎo)出的，故此模型又稱為半方程模 型。JK模型雖然仍采用渦粘性假設(shè)，卻包含有雷諾應(yīng)力模型的特點(diǎn)。由于求解常微分 方程比一方程，二方程模型中求解偏微分方程要簡(jiǎn)單，省時(shí)的多，故用JK模型的工作量只略高于通常平衡狀態(tài)的零方程代數(shù)模型的工作量JK模型后又經(jīng)不斷修正，發(fā)展了JK1990A , JK1990J以及JK1992等改進(jìn)型3) 一方程模式Bal

13、dwin-Barth(BB)模型是在二方程模型中，將某一導(dǎo)出的應(yīng)變量作為基本物理量而 得到的，應(yīng)用此一方程模型可避免求解兩方程時(shí)會(huì)遇到的某些數(shù)值困難。BB 一方程模型所選擇的導(dǎo)出應(yīng)變量為“湍流雷諾數(shù)”Rt。BB模型對(duì)計(jì)算網(wǎng)格的要求低，壁面的網(wǎng)格可以與采用BL代數(shù)模型的相當(dāng)，而不象兩方程k-e模型那樣要求壁面網(wǎng)格很細(xì)，這樣就避免了在k-e模型中流場(chǎng)求解的剛性問(wèn)題。Spalart-Allmaras(SA)模型與BB模型不同，不是直接利用k-e模型兩方程模型加于簡(jiǎn)化而得，而是從經(jīng)驗(yàn)和量綱分析出發(fā)，由針對(duì)簡(jiǎn)單流動(dòng)在逐漸補(bǔ)充發(fā)展而適用于帶有層流流動(dòng)的固壁湍流流動(dòng)的一方程模型，模型中選用的應(yīng)變量是與渦粘性

14、相關(guān)的量v ,除在粘性次層外，v與vT是相等的。上述兩種一方程模型具有相似的特點(diǎn)，它們不象代數(shù)模型那樣需要分為內(nèi)層模型，外層模型或壁面模型，尾流模型，同時(shí)亦不需要沿法向網(wǎng)格尋找最大值，因此易于用到非結(jié) 構(gòu)網(wǎng)格中去；但由于在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)，需要對(duì)整個(gè)流場(chǎng)求解一組偏微分方程，故比BL和JK模型更費(fèi)機(jī)時(shí)4)兩方程模式2.1 k-兩方程模式2.1.1 標(biāo)準(zhǔn)k-灑方程模式k-旅式是最為人所知和應(yīng)用最廣泛的兩方程渦粘性模式，為積分到壁面的不可壓縮/可壓縮湍流的兩方程渦粘性模式，各種不同版本的k-苛莫式常見(jiàn)于各種文獻(xiàn)中，選擇Jones-Launder模式作為一般性介紹。k-茍莫式最初的發(fā)展是為了改善混合長(zhǎng)(

15、mixing-length)模式和避免復(fù)雜流動(dòng)中湍流長(zhǎng)度尺度(turbulent length scale)的代數(shù)表示(algebraic prescription) 。它求解兩個(gè)湍流 標(biāo)量k和田勺輸運(yùn)方程。k方程表示湍動(dòng)能輸運(yùn)方程，哉T程表示湍動(dòng)能的耗散率。該模式對(duì)較小壓力梯度(relatively small pressure gradients)下的自由剪切流(free-shear-layer flows)具有較好的結(jié)果。對(duì)于壁面流動(dòng)(wall bounded flows),在零或者小平均壓力梯度下，模式結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得較為一致，但是對(duì)大的逆壓梯度(adversepressure g

16、radients) ,其結(jié)果就不太正確了。另外，在壁面附近，該模式需要壁面衰減函 數(shù)(wall-damping functions)和較好的網(wǎng)格分布。a.模式方程雷諾應(yīng)力的渦粘性模型為.tij = -心uj =2t(Sij -Snsj .3) -2：*氣 3這里Pt為渦粘性(eddy viscosity) , Sij為平均速度應(yīng)變 率張量(mean-velocitystrain-rate tensor),既流體密度，k為湍動(dòng)能，加為克羅內(nèi)克算子(Kronecker delta)。渦粘性定義為湍動(dòng)能k和湍流耗散率就勺函數(shù) =cf*2."基于量綱分析，渦粘性由流體密度R 湍流速度尺度 (

17、turbulent velocity scale) k2和長(zhǎng)度尺度(length-scale) k''/來(lái)標(biāo)度，最減函數(shù)f_i由湍流雷諾數(shù)Rq = Pk/P來(lái) ?；?。湍流輸運(yùn)方程可表示成以下形式湍流能量輸運(yùn)方程言+ 向j H+ =%Sij -佬 +4kSttXj ItXj IJcXj j這里右端項(xiàng)分別表示生成項(xiàng)(production term) 耗散項(xiàng)(dissipation term)(wall term) 。能量耗散輸運(yùn)方程和壁面項(xiàng)b.模式常數(shù)和參數(shù)模式中各常數(shù)的定義為c.i. -0.09 c1 =1.45 c 2 =1.92二k =1.0。； -1.3Pri =0.9近壁

18、衰減函數(shù)-2f-exp(-3.4 (1 0.02 Ret)2、f2 = 1 -0.3exp(-Ret)ReW我振=2Z2Us行)%2這里/為平行于壁面的流動(dòng)速度。c.邊界條件積分到壁面的無(wú)滑移邊界條件為k =02.1.2可實(shí)現(xiàn)性k - 模式上述標(biāo)準(zhǔn)k- &模式，對(duì)于高平均切變率流動(dòng)會(huì)出現(xiàn)非物理的結(jié)果（例如當(dāng)Sk/&3.7時(shí)，其中S=j2SjSj ）。為了保證模式的可實(shí)現(xiàn)性，模式函數(shù)Cp不應(yīng)該是常數(shù)，而應(yīng)當(dāng)是平均慶變率的函數(shù)。實(shí)驗(yàn)表明，對(duì)邊界層流動(dòng)和均勻切變流,Cp的值是非常不同的。為此人們根據(jù)可實(shí)現(xiàn)性對(duì)模式的約束條件，建議采用以下形式的Cp (Reynolds, 1987, S

19、hih,1994)C1cHkA。AsU(5.19 )式中_ *"j"j - ；jk而Qj是在以角速度 與k旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中得到的平均旋轉(zhuǎn)速率。1=6cos , cos ( . 6w)3w=Sj：3Ski, SijSij.(5.20 )上述關(guān)系式中唯一未確定的系數(shù)是A。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可以設(shè)其為常數(shù)。對(duì)邊界層流動(dòng)。可以取A = 4.0。對(duì)其他流動(dòng)，A）的數(shù)值可以調(diào)節(jié)。壁面項(xiàng)2.1.3 低 Reynolds 數(shù) k - s上述幾種k &模式適用于高 Reynolds數(shù)情形。但是對(duì)近壁區(qū)，湍流需諾數(shù)很低，對(duì) 湍流動(dòng)力學(xué)而言粘性效應(yīng)非常重要，此時(shí)湍流Reynolds數(shù)的效應(yīng)必

20、須加以考慮。我們研究摩阻的計(jì)算關(guān)注的恰恰是近壁區(qū)，因此低 Reynolds數(shù)k 耳模式的研究是十分重要的?，F(xiàn)將有關(guān)結(jié)果整理如下：低Reynolds數(shù)下的渦粘性和k E模式方程為k(k .；)t = Cpf pP (5.22 )zt(:k),t( ： Uik),i =(T)k,jUiUjUi,j -己(5.23)IL:Jk,j.i- 2.i .i3 )t (:Ui ；),i =( ) <j C"1：S ； C2f2 /-C3T S,jS,j- J_,jk+S P式中1S = . 2SijSij , Sij "(Uij U j,i)一.2 2一-;Ui U j k -ij

21、JT (U i,j , U j,i - U k,k' ij )33所有?；?shù)如下:C .11* k4 AsU -znC1 = max )0.43,5 +nC2 =1.9,C3 =1.0Sk；k =1.0, 。 -1.2 k* I_U = .SijSij jij ,*Sijc 1,=Sij -U k,k'3f j T -exp"a1 Ra2R2a3R3a4R4a5R5f1 =1 -exp'-a1 Ra?R2a3R3a4R4asR5'其中f2 =1 - 0.22 exp或36 j13Rt =k2此處 山和 比f(wàn)2稱為阻尼函數(shù)，是個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式用來(lái)反映近壁區(qū)低

22、雷諾數(shù)效應(yīng),系數(shù)a和a：列表如下:Ii2345ai-33.3X 10-5-6.0X 10-76.6 X 10-9-3.6 X 10-128.4X 10a-32.53 X 10-5-5.7X 10-76.55 X 10-9-3.6 X 10-128.3X 102.1.4 常見(jiàn)k-曬方程模式在文獻(xiàn)中有許多種 k - &渦粘性模式。為了便于比較，我們將幾種常見(jiàn)的 k - &模式作 一歸類。它們的主要區(qū)別一是在 k禾日&的方程及其邊界條件，另一方面是阻尼函數(shù)fp的取法。模式代號(hào)作者ChChien, 1982LBLam and Bremhorst, 1981NTNagano an

23、d Tagawa, 1990LSLaunder and Sharma, 1974MKMyong and Kasagi, 1988YSYang and Shih, 1991S&LShih and Lumley, 1993CMOTTZhu and Shih, 1995所有上述八種模式都可以用一個(gè)統(tǒng)一的方程組表示:、=C,i.f,i. k(5)冒4D(6)箜二伯+EW + Caf1% 四-J dt & W s “衣i _如EP+e有關(guān)的項(xiàng)，D, E, T列表如下:ModelTDEChk_ 2 k；y22"-2 exp(_0.5y ) yModelff1f2Ch1 -exp(

24、-0.115y )Rt2RtLB_0.165Rk、2 / 20.5、(1 -e k) (1 =)Rt1f321-exp(-R2)NT4.1R：377;Rt 2 1-.3exp(-(三)2)6.5+y 21-exp)6LSexp-3.4(1 + Rt /50)2 j1 - .3exp(-R2)MK(13；5p(*2/1 -gexp(-+1 -exp()25kLBZ00NTkz00LSkz一 32)2vvtW2u、W )MKkz00YSk +7V £0Wt*U、2zw)S&Lkz0Wt公2 w)CMOTTkz0VVT甘U '2 檔y勺阻尼函數(shù)fp, f1和f2對(duì)不同的模式

25、有不同的表示式。式中Rk,y保日Rt定義為Rky 、，Rk = , y =V模式中出現(xiàn)的?；?shù)分別為:2凸，VV zModelCC1C2-k。zCh.091.351.801.01.3LB.091.441.921.01.3NT.091.451.901.41.3LS.091.441.921.01.3MK.091.401.801.41.3YS.091.441.921.01.3S&L.091.441.921.01.3CMOTEq (5.19)1.441.921.01.3T對(duì)不問(wèn)的模式有不問(wèn)的處理連界條件的方法：ModelB.C.for kwB.C. for pYS1 - exp( .004y

26、 5e ' y + 2e_6y單 _8e*y單)Rt2 心以七）S&L1 -exp.004R-5eR2n -6 3o-8 4'2e Rk - 8e Rk )Rt2RtCMOTT., 一 _ -_5 _ 21 一 exp(-.004Rk - 5e R+ 2e&R： 8/rF )Rt2RtCh00LB；：2k' :ykNT02:yLS00?kMK0' 一 2:y；,k 2YS024S&L0.25 u20.251 4CMOTT2u0.25 u0.251 一TV2.2其它雙方程模式渦粘性系數(shù)的量綱為速度X長(zhǎng)度，當(dāng)用 k, 8來(lái)?；瘯r(shí)，它們之間的關(guān)

27、系為2 .Vt =Cpk / 8。我們注意到，對(duì)標(biāo)準(zhǔn) k- 6模式的&萬(wàn)程，在固壁上有奇點(diǎn)|可題(壁面上湍動(dòng)能k=0)，這是因?yàn)槟Ｊ讲槐M合理帶來(lái)的非物理的奇點(diǎn)。此外在計(jì)算中由于k,&在壁面附近變化劇烈，必須在物面附近將網(wǎng)格劃分得非常小，才能得到合理的結(jié)果。為了克服這些困難，人們?cè)噲D尋找其它的湍流量來(lái)代替k,8?？赡艿倪x擇有切=&/k, i=k/8, I =k3/2/&, q = Jk,相應(yīng)地，渦粘性系數(shù)可表示成：、T =C.U,、.T =Ck ," T =Cj，、T =C.kI.現(xiàn)在就來(lái)介紹幾種典型的模式：2.2.1 k-w 兩方程模式 (Wilcox

28、)k-與模式是最為人所知和應(yīng)用最廣泛的兩方程渦粘性模式，為積分到壁面的不可壓縮/可壓縮湍流的兩方程渦粘性模式，最主要文獻(xiàn)來(lái)自Wilcox。求解湍動(dòng)能 k 和它的缶=&/k, w = k/a, l=k3/2/a, q = Jk, (specificdissipation rate)的對(duì)流輸運(yùn)方程已經(jīng)證明Wilcox k-由模式在粘性子層比 k-相有更好的數(shù)值穩(wěn)定性。由于壁面附近, 值較大，模式不象 k-咨莫式或者其它兩方程模式，它不需要顯式的壁面衰減函數(shù)。對(duì)于比較 緩的逆壓梯度流動(dòng)，該模式在對(duì)數(shù)區(qū)域給出的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較為符合。a.模式方程雷諾應(yīng)力的渦粘性模型為tij = 2、（S|j-

29、 Snnij . 3） - 2，k、' ij . 3這里Pt為渦粘性(eddy viscosity) , Sij為平均速度應(yīng)變 率張量(mean-velocitystrain-rate tensor),防流體密度，k為湍動(dòng)能，5 j為克羅內(nèi)克算子(Kronecker delta)。渦粘性定義為湍動(dòng)能k和比耗散率切的函數(shù)t= :?k k和切的輸運(yùn)方程為一"k ；:t；:xjcP© + d廿改jb.模式常數(shù)和參數(shù)*:k:ujk -（。0工：xj模式中各常數(shù)的定義為-=邑40- 0.5* _一 - 0.5：xj9100Prt =0.9=tijSj - L"kc.

30、邊界條件對(duì)邊界層流動(dòng)，壁面無(wú)滑移邊界條件為k =06=102這里y1為離開(kāi)壁面第一個(gè)點(diǎn)的距離，且y1。對(duì)稱邊界條件采用零梯度條件，各種附加的邊界條件將在具體流動(dòng)中討論。2.2.2 SST 兩方程模式（Menter）模式在近壁處采用 Wilcox k-與模式,k-切 SST 剪切應(yīng)力輸運(yùn)（shear-stress-transport） 在邊界層邊緣(boundary layer edges)和自由剪切層(free-shear layers)采用k-破式(k-缶形式)其間通過(guò)一個(gè)混合函數(shù)(blending function*過(guò)渡，屬于積分到壁面的不可壓縮/可壓縮湍流的兩方程渦粘性模式。為了有效結(jié)合

31、k-切和k-話莫式，統(tǒng)一寫成k-與形式a.模式方程渦粘性定義為a1k'.T =max ai ;，.咯這里。是渦量的絕對(duì)值，a1 =0.31 , F2是混合函數(shù)。F2 = tanhmax 2.° 2Vk500 心_,20.99仍y Py 仍vt的形式解決了湍流剪切應(yīng)力在逆壓梯度邊界層的輸運(yùn)。k和缶由相應(yīng)的模式輸運(yùn)方程得到。湍動(dòng)能輸運(yùn)方程Pujk-W+bk扣蟲 TtijSij-時(shí)p詠a 桐 Icxj j湍流比耗散率方程-(ib/t)E'=%-EP"2+2(1-F1)EnL.J、Vi/'f-.'f-.f-.cxj涿j /切。xjoxj上式中最后一項(xiàng)

32、代表交錯(cuò)擴(kuò)散項(xiàng)(cross-diffusion term) ,生成項(xiàng)P, =2 泌*b.模式常數(shù)和參數(shù)F = tanhmin1 i A 500 的 4"孫1 ,max , 2 , >_0.99by Py 切 CDkccy這里 CDk . = max這里CDkeo代表k-。模式中的交叉擴(kuò)散(cross-diffusion)SST模式常數(shù). c *_ 一a1 =0.31 - = 0.09 i:; =0.41模式參數(shù) ”皿,喝由e來(lái)表示，用*12分別表示原始k-切模式系數(shù)和轉(zhuǎn)化的k-8vJ模式系數(shù)©=Fi*i+(1Q 幗這里。=農(nóng)k"EInner model系數(shù)：

33、；k1 =0.85。1 =0.5 "0.075Ml,1 = ： 1. 1 2；頊.* = 0.553Outer model 系數(shù)：；刑=1.0。2 =0.856 w =0.08282 - - 2：*_；. 2 ' 2= 0.4402.2.3 k - 丁模式方程為*="+3"可廣:(5.29)(5.30)D' = |k+*T "i ' -V+*T " w,i +C1 ：UiUjUi,j +C2DtLl 'J _I L戶 k?；?shù)為C1 = C0.92,k=0.4, oT =1.5.對(duì)低雷諾數(shù)流動(dòng)有(5.31)fj=1-exp*-(a1R a2R2 a3R3)'(5.32)其中R = i " (u. up)i v Vv J2C2 =1.921 -0.22exp(-Rt2/36) -1在k - 模式的框架下，Speziale(1990) 33提出了下列的模式:：'t = C , I