點集拓撲學期末考試練習題含答案

1、點集拓撲學期末考試一、單項選擇題（每題1分）1、 已知X =a,b,c,d,e,下列集族中，（）是X上的拓撲. T =X,a, a, b, a,c,e T =X,*,a,b, c, a,b,d, a, b,c, e T =X,電a, a,b T = X,8,a, b, c, d, e 答案：2、設X = a, b, c，下列集族中，（）是X上的拓撲. T =X,a, a,b, c T =X,0, a, a,b, a,c T =Xg,a, b, a,c T =X,*,a, b, c答案：3、 已知X =a,b,c,d,下列集族中，（）是乂上的拓撲. T =X,©,a, a,b, a,c

2、,d T = X,O,a,b,c, a,b,d T =X,Qa, b, a,c,d T =X ,Q a, b答案：4、設X = a, b, c，下列集族中，（）是X上的拓撲. T =X,e,b, c, a,b T =X,e,a, b, a,b,a,c T =X3,a, b, a,c T =X,4,a, b, c答案：5、 已知X =a,b,c,d,下列集族中，（）是X上的拓撲. T =X,Qa,b, a,c,d T =X,4, a,b, a,c,d T =X,4,a, b, a,c,d T = X ,4,a, c, a,c答案：6、設X = a, b, c，下列集族中，（）是X上的拓撲. T

3、=X,Qa, b, b,c T =X,P,a,b, b,c T =X,a, a,c T =X,。, a, b, c答案：7、已知 X =a,b,c,d,拓才卜 T =X,9a，則（b=（）4X bb,c,d答案：8、已知 X =a,b,c,d，拓撲 T =X,%a，則（b,c,d=（）162) Xbb,c,d答案：9、已知 X=a,b，拓撲 T =X,O,a，則0=()4Xab10、已知 X =a,b，拓撲 T =X,e,a，則(b=()4Xab11、已知 X =a,b,c,d，拓撲 T =Xg,a，則a=()4Xa,bb,c,d答案：12、已知 X =a,b,c,d，拓撲 T =X,*,a，

4、則6=()4Xa,cb,c,d答案：答案：答案：13、設X =a,b,c,d,拓撲T =X>,a, b,c,d，則X的既開乂閉的非空真子集個數(shù)(34 答案：14、設X =a,b,c,拓撲T =X,4,a, b,c，則X的既開乂閉的非空真子集的個數(shù)為(34 答案：15、設 X =a,b,c,拓撲T =X>,b, b,c，則X的既開乂閉的非空真子集的個數(shù)為0123 答案：16、設 X =a,b，拓撲 T=X,e,b，則X的既開乂閉的子集的個數(shù)為(0123 答案：17、設X =a,b，拓撲T =X0,a,b，則X的既開乂閉的子集的個數(shù)為(34 答案：18、設X=ab,，拓撲T =X,e,

5、a, b, a,b,b,c , X的既開乂閉的非空真子集個數(shù)()34 答案：19、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集Q的內(nèi)部Q '是(R -Q R 答案：20、在實數(shù)空間中，有理數(shù)集Q的邊界f(Q)是(R -Q答案：21、在實數(shù)空間中，整數(shù)集Z的內(nèi)部Z '是(巾ZR-ZR答案：22、在實數(shù)空間中，整數(shù)集Z的邊界己(Z)是()eZR-ZR答案：23、在實數(shù)空間中，區(qū)間巾 0,124、在實數(shù)空間中，區(qū)間e2,325、在實數(shù)空間中，區(qū)間e0,10,1)的邊界是()(0,1)(0,1)2,3)的邊界是()(2,3)(2,3)0,1)的內(nèi)部是()(0,1)(0,1)答案：答案：答案：26、設X是一個

6、拓撲空間，A, B是X的子集，則下列關系中錯誤的是( d(A B) =d(A) d(B) d(AcB) =d(A)cd(B) A = A答案：27、 設X是一個拓撲空間，A, B是X的子集，則下列關系中正確的是( d(AuB) =d(A)ud(B) A-B 頊-B d(AcB) =d(A)cd(B) A = A答案：28、 設X是一個拓撲空間，A, B是X的子集，則下列關系中正確的是( d(AuB)=Ak/B A-B =A-B d(AcB) =d(A)cd(B) d(d(A) u Au d( A)答案：29、已知X是一個離散拓撲空間，A是X的子集，則下列結論中正確的是( d(A)=- d(A)

7、 = X -A d(A) =A d(A) =X答案：30、已知X是一個平庸拓撲空間,若A = %則d(A)="若 A=(x1,x2),則 d(A) = XA是X的子集，則下列結論中不正確的是(若 AH%),則 d(A) = X -A若A#X ,則d(A)#X 答案：31、已知X是一個平庸拓撲空間，A是X的子集，則下列結論中正確的是（若 A = 8,則 d（A）=* 若 A=Xq,則 d（A）=X 若 A= x1, x2,則 d（A） = X - A 若 A=x,x2,則 d（A） = A 答案：32、設 X =a,b,c,d，令 B = a,b,c, c, d，則由 B 產(chǎn)生的 X

8、上的拓撲是（） X J>, c, d, c, d, a, b, c X , *, c, d, c, d X, 8,c, a, b,c X ,。, d, b, c, b, d, b, c, d答案：33、 設X是至少含有兩個元素的集合，pw X , T =GuX | pwGu。是X的拓撲，WJ（ 是T的基. B = p,x）| x.X p B = x）| xX B = p,x）| xwX B =x| xwXp答案：34、設X=a,b,c,則下列X的拓撲中（）以S =X,如a為子基. X ,巾, a, a, c X ,。, a X , *, a, b, a, b X , 8 答案：35、離散

9、空間的任一子集為（）開集閉集即開乂閉非開非閉答案：36、平庸空間的任一非空真子集為（）開集閉集即開乂閉非開非閉答案：37、實數(shù)空間R中的任一單點集是（）開集 閉集 既開乂閉 非開非閉 答案：38、實數(shù)空間R的子集A =1, - , 1 , 1,則A=（）4I39、在實數(shù)空間R AU 0A 答案：（SR中，下列集合是閉集的是（）整數(shù)集a,b）有理數(shù)集 無理數(shù)集40、在實數(shù)空間R中，下列集合是開集的是（）整數(shù)集Z 有理數(shù)集無理數(shù)集整數(shù)集Z的補集Z'答案：41、已知X =1,2,3上的拓撲T =X,e,1，則點1的鄰域個數(shù)是（42、 已知X = a, b,則X上的所有可能的拓撲有（）1個 2

10、個 3個 4個答案：43、已知X =a, b, c,則X上的含有4個元素的拓撲有（）個3579答案：44、設（X,T ）為拓撲空間，則下列敘述正確的為（）X £T, e毛T X毛T,。在T當T 'uT時，UU在T 當TVT時，nUT答案：45、 在實數(shù)下限拓撲空間R中，區(qū)間a,b）是（）開集 閉集 既是開集乂是閉集非開非閉答案：46、設X是一個拓撲空間，A, BuX ,且滿足d（A）u Bu A,則8是（）開集 閉集 既是開集乂是閉集非開非閉答案：47、 設 X =123 , T二仲,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓撲，A =1,2,則 X 的子空間 A 的拓撲為（）

11、T =巾,2, 1,2 T =8,X,1,2, 1,2 T =*A,1,2 T =8,X,1,2答案：48、 設 X =123 , T=W,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓撲，A =1,3,則 X 的子空間 A 的拓撲為（） T =。1,3,1,3 T =©,A,1 T =0,X,1,3, 1,3 T =0,X,1答案：49、 設 X=®, T=0,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓撲，A =2,3，貝U X 的子空間 A 的拓撲為（） T =。,3,2,3 T =0,A,2,3 T =P,X,2,3,2,3 T =*,X,3答案：50、 設X=®, T

12、二仲,X,1,2,1,3,1,2是X的拓撲，A=1,則X的子空間A的拓撲為（） T =。,1 T =0,A,1,2 T =©,X,1,3, 1,3 T =©,X,1答案：51、 設 X =1,2,3, T=0,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓撲，A=2,則 X 的子空間 A 的拓撲為（） T =。,2, 1,2 T =*A T = ,X,1,2答案：52、設 X =1,2,3, T=P,X,1,2,1,3,1,2是 X 的拓撲，A=3,則 X 的子空間 A 的拓撲為() T =曹,2, 1,2 T = ,X, 1,3 T =0,X,3 T =曹,3答案：53、 設R是

13、實數(shù)空間,Z是整數(shù)集，貝U R的子空間Z的拓撲為() T =0,Z T =P(Z) T =Z T =Z答案：54、設X=X1xX2“kX6是拓撲空間X,X2，X6的積空間.P是X到X的投射，則R是()單射連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射答案：55、設X=XxX2XxX6是拓撲空間X,X2，X6的積空間.R是X到X?的投射，M B是() 單射連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射答案：56、設乂=乂1小2牛小6是拓撲空間X,X2，X6的積空間.R是X到X3的投射，則R是()單射連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射答案：57、設X=XxX2XxX6是拓撲空間X,X2，X6的積空

14、間.P4是X到X4的投射，M巳是()單射連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射答案：58、設X=XkX2KkX6是拓撲空間X,X2，X6的積空間.P5是X到X5的投射，則是是( )單射連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射答案：59、設乂=乂1以2申小6是拓撲空間X1,X2，X6的積空間.F6是X到X6的投射，則P6是()單射連續(xù)的單射 滿的連續(xù)閉映射 滿的連續(xù)開映射答案：60、 設X1和X2是兩個拓撲空間，XX2是它們的積空間,Au X，BUX2,則有() AB 孝 A-B AB =AB (AxBAAb' 時(AX B) = E(A)苗(B)答案：(261、有理數(shù)集Q是實數(shù)空

15、間R的一個()不連通子集連通子集答案：開集以上都不對62、整數(shù)集Z是實數(shù)空間R的一個（）不連通子集連通子集開集以上都不對答案：63、無理數(shù)集是實數(shù)空間R的一個（）不連通子集連通子集開集以上都不對答案：64、設Y為拓撲空間X的連通子集,Z為X的子集，若Y uz uV , 則Z為（）不連通子集連通子集閉集 開集答案：65、設Xi,X2是平庸空間，則積空間XX2是（）離散空間不一定是平庸空間平庸空間不連通空間答案：66、設Xi,X2是離散空間，則積空間XxX2是（）離散空間不一定是離散空間平庸空間連通空間答案：67、設X1,X2是連通空間，則積空間X1xX2是（）離散空間不一定是連通空間平庸空間連通

16、空間答案：68、實數(shù)空間R中的連通子集E為（）開區(qū)間 閉區(qū)問 區(qū)問 以上都不對 答案：69、實數(shù)空間R中的不少丁兩點的連通子集 E為（）開區(qū)間 閉區(qū)問 區(qū)問 以上都不對答案：70、 實數(shù)空間R中的連通子集E為（）開區(qū)間 閉區(qū)問 區(qū)問 區(qū)間或一點答案：71、下列敘述中正確的個數(shù)為（）（I ）單位圓周S1是連通的；（皿）R -0是連通的(m) R2 -(0,0)是連通的 (W) R2和R同胚12 34答案：二、填空題(每題1分)1、 設X=a,b,則X的平庸拓撲為 ; 答案：T =X,。2、 設X =a,b，則X的離散拓撲為; 答案：T =X,如a, b3、 同胚的拓撲空間所共有的性質(zhì)叫 ； 答案

17、：拓撲不變性質(zhì)4、在實數(shù)空間R中，有理數(shù)集Q的導集是.答案：R5、Xd(A)當且僅當對丁 x的每一鄰域U有 答案：Uc(A x)#。6、設A是有限補空間X中的一個無限子集，則d(A)=; 答案：X7、設A是有限補空間X中的一個無限子集，貝U A=; 答案：X8、設A是可數(shù)補空間X中的一個不可數(shù)子集，則d(A)=; 答案：X9、 設A是可數(shù)補空間X中的一個不可數(shù)子集，則 A=; 答案：X10、 設 X = 1 , 2 ,3X 的拓撲 T =X ， 2 , 2 ,則 X 的子集 A = 1 , 2的內(nèi)部 為;答案：211、設X = 1 , 2 ,3X的拓撲T =X。, 1 , 2則X的子集A =

18、1 , 3的內(nèi)部 為;答案：112、設X =1 , 2, 3X的拓撲T =X S , 1 , 2,則X的子集A = 1 , 2的內(nèi)部為答案：113、設X = 1 , 2 ,3X的拓撲T =X由， 2 , 2 ,則X的子集A = 1 , 3的內(nèi)部為;答案：14、 設X=a,b,c,則X的平庸拓撲為 ; 答案：T =X,。15、設X =a,b,c，則 X 的離散拓撲為 答案：T =XRa,b, c, a,b,a,c,b,c16、設 X =1, 2, 3X 的拓撲 T =X 4 ,2 ,3 , ,2 則 X 的子集 A = 1 , 3的內(nèi)部為;答案：317、設 X =1 , 2, 3X 的拓撲 T

19、=X & , 1 ,3 , 1 則 X 的子集 A=1 , 2的內(nèi)部為;答案：118、"XtY是拓撲空間X到Y的一個映射，若它是一個單射，并且是從X到它的象集f(X) 的一個同胚，則稱映射f是一個. 答案：嵌入19、"XtY是拓撲空間X到Y的一個映射，如果它是一個滿射，并且Y的拓撲是對丁映射f而言的商拓撲，則稱f是一個；答案：商映射20、 設X,Y是兩個拓撲空間，"XtY是一個映射，若X中任何一個開集U的象集f (U)是Y 中的一個開集，則稱映射f是一個 答案：開映射21、 設X,Y是兩個拓撲空間，f :Xt Y是一個映射，若X中任何一個閉集U的象集f (

20、U)是Y 中的一個閉集，則稱映射f是一個 答案：閉映射22、若拓撲空間X存在兩個非空的閉子集A,B ,使得Ac B=©, Au B = X,則X是一個 ；答案：不連通空間23、若拓撲空間X存在兩個非空的開子集A,B ,使得Ac B=。Au B = X,則X是一個 ；答案：不連通空間24、若拓撲空間X存在著一個既開乂閉的非空真子集，則 X是一個 答案：不連通空間25、設Y是拓撲空間X的一個連通子集，ZuX滿足YuZuV ,則Z也是X的一個 ;答案：連通子集26、拓撲空間的某種性質(zhì)，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它在任何一個連續(xù)映射下的象所具有，則稱這個性質(zhì)是_個 ;答案：在連續(xù)映射下

21、保持不變的性質(zhì)27、拓撲空間的某種性質(zhì)，如果為一個拓撲空間所具有也必然為它的任何一個商空間所具有，則稱這個性質(zhì)是一個 ;答案：可商性質(zhì)28、若任意nN1個拓撲空間Xi,X2，Xn,都具有性質(zhì) 巳則積空間乂1*"% 也具有性質(zhì)P，則性質(zhì)P稱為； 答案：有限可積性質(zhì)29、設X是一個拓撲空間，如果X中有兩個非空的隔離子集 A,B,使得AuB = X,則稱X是一個 ;答案：不連通空間.三.判斷(每題4分，判斷1分，理由3分)1、.從離散空間到拓撲空間的任何映射都是連續(xù)映射 () 答案:V理由：設X是離散空間，Y是拓撲空間，f:XTY是連續(xù)映射，因為對任意 AUY，都有f (RUX,由丁 X中

22、的任何一個子集都是開集，從而 L(A)是X中的開集，所以f :Xt Y 是連續(xù)的.2、設T1,T2是集合X的兩個拓撲，則T1cT2不一定是集合X的拓撲()答案：X理由：因為(1) Ti,T2是X的拓撲，故XS Ti, X,卜T2,從而X,隊T1CT2；(2)對任意的 A,Bw T1CT2,則有A,Bw Ti且A,Bw T2,由丁 Ti, T 2是X的拓撲，故AcBw Ti 且 AcBw T2,從而 AcBw T1CT2；(3 )對任意的T，仁cT2,則TT1,T V T2,由丁 T1, T2是X的拓撲，從而U典t，Uw, Uuwt'U 在 T2,故 UuWT'UW T1CT2；

23、綜上有T1 CT2也是X的拓撲.3、從拓撲空間X到平庸空間Y的任何映射都是連續(xù)映射()答案：/理由：設f:XTY是任一滿足條件的映射，由丁 Y是平庸空間，它中的開集只有Y,*,易知它 們在f下的原象分別是X,©,均為X中的開集，從而f：XTY連續(xù).4、設A為離散拓撲空間X的任意子集，WJ d(A)i ()答案：/理由：設p為X中的任何一點，因為離散空間中每個子集都是開集，所以 p是X的開子集，且有pq (A-p)=。，即p d( A),從而d(A) = e .5、設A為平庸空間X ( X多丁一點)的一個單點集，WJ d(A)=e()答案：X理由：設A=y,則對丁任意xX,x"

24、;y,x有唯一的一個鄰域 X，且有yXc(A-x),從而 Xc(a-x)。，因此x是A的一個凝聚點，但對丁 y的唯一的鄰域X,有xc(A-y) = ©,所 以有 d A =X - A=.6、 設A為平庸空間X的任何一個多丁兩點的子集，WJ d(A)=X ()答案：V理由：對丁任意xX,因為A包含多丁一點，從而對丁 x的唯一的鄰域X，且有XC(A-x)#、 因此x是A的一個凝聚點，即xE(A)，所以有d(A)=X.7、 設X是一個不連通空間，WJ X中存在兩個非空的閉子集 A,B，使得Acb=O,AuB = X ()答案：V理由：設X是一個不連通空間，設 A,B是X的兩個非空的隔離子集

25、使得AdB=X,顯然AB = 0 ,并且這時有：白=百-X =(白-A) (B - B) = B從而B是X的一個閉子集，同理可證A是X的一個閉子集，這就證明了 A,B滿足A 一 B = , A _ B = X8、若拓撲空間X中存在一個既開乂閉的非空真子集，則 X是一個不連通空間() V 理由：這是因為若設A是X中的一個既開乂閉的非空真子集，令 B = A，貝U A,B都是X中的 非空閉子集，它們滿足AuB = X，易見A,B是隔離子集，所以拓撲空間X是一個不連通空.五.簡答題(每題4分)1、設X是一個拓撲空間,A,B是X的子集，且Au B.試說明d(A)ud(B).答案：對丁任意xd(A),設

26、U是x的任何一個鄰域，則有Uc(Ax)=*，由于Au B ,從而 U c(B x) U c(Ax)孝巾，因此 xd(B),故 d(A)ud(B).2、設X,Y,Z都是拓撲空間.f:XTY, g:YTZ都是連續(xù)映射，試說明g"f:XTZ也是連 續(xù)映射.答案：設W是Z的任意一個開集，由丁 g:YZ是一個連續(xù)映射，從而g(W)是Y的一個開 集，由f:XTY是連續(xù)映射，故 "(gW(W)是X的一開集，因此(gof疽(W)= "(gM(W) 是X的開集，所以g，f :XT Z是連續(xù)映射.3、 設X是一個拓撲空間，AUX.試說明：若A是一個閉集，則A的補集A是一個開集.答案：

27、對丁 WxA',則x宅A ,由丁 A是一個閉集，從而x有一個鄰域U使得Uc(A-x)=6, 因此Uca=1,即U UA',所以對任何x亡A', A是x的一個鄰域，這說明 A是一個開集.4、 設X是一個拓撲空間，AUX.試說明：若A的補集A'是一個開集，則A是一個閉集.答案：設x任A,則xWA',由丁 A'是一個開集，所以A是x的一個鄰域，且滿足 AcA = e,因此x任A ,從而A A ,即有A = A，這說明A是一個閉集.5、在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：x y 仁 x, yW(-°°,1)或者 x,y 1,2)或者 x,

28、 y W2,E)設在這個等價關系下得到的商集 Y = 0,1,2，試寫出Y的商拓撲T.答案：T = ,Y,0,0,16、 在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：x y u x, y 亡(°°,1或者 x, yw (1 , 2或者 x, y。(2, +皿)設在這個等價關系下得到的商集 Y = 1,2,3，試寫出Y的商拓撲T答案：T = ,Y,3,2,37、在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：x y = x, y 在(-°°,1)或者 x, y 在1,2)或者 x, y 2,e)設在這個等價關系下得到的商集 Y = -1,1,2，試寫出Y的商拓撲T.答案：T = ,Y

29、, -1, -1,18、在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：x y = x, y w (-,1)或者 x, y w 1,2)或者 x, y w 2,e)設在這個等價關系下得到的商集 Y = -2,1,2，試寫出Y的商拓撲T.答案：T = ,Y, -2, -2,19、 在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：x y仁x,y日(-叫,1或者x,尸(1,2或者x,y (2,+勺設在這個等價關系下得到的商集 Y =。,2,3，試寫出Y的商拓撲T .答案：T = ,Y,3,2,310、在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：x yu x,y W-8,1或者 x, y (1,2或者 x,yw (2,+x)設在這個等價關系下得

30、到的商集 Y =。,2,4，試寫出Y的商拓撲T .答案：T = ,Y,4,2,411、在實數(shù)空間R中給定如下等價關系：x y= x,yw (-",1或者 x,尸(1,2 或者 x,y (2,+°°)設在這個等價關系下得到的商集 丫= -1,2,4,試寫出Y的商拓撲T.答案：T = ,丫,4,2,4六、證明題(每題8分)1、設f ：X tY是從連通空間X到拓撲空間Y的一個連續(xù)映射.則f(X)是Y的一個連通子集.證明：如果f (X)是Y的一個不連通子集，則存在Y的非空隔離子集A,B使得f(X) =AuB 3分丁是 "(A), "(B)是X的非空子集，并且：(f(A) - f ”(B) _.(f "(B)- f(A)_1_11_1,(f1(A)- f1(B) (f(B) - f(A)=f(A - B) (A - B)=所以 "(A), f(B) 是 X 的非空隔離子集 此外，f(g)f (= B) f ( A 方B,這說臥X0f連通X淅盾.X而f (X)是Y的一個連通子集 8分2、 設Y是拓撲空間X的一個連通子集，證明：如果A和B是X的兩個無交的開集使得Yu Au B,則或者Yu A,或者YUB.證明：因為A,