圓弧加減速插補(bǔ)算法

1、機(jī)電工程學(xué)院數(shù)控加工技術(shù)課程設(shè)計(jì)插補(bǔ)算法實(shí)現(xiàn)學(xué) 號(hào)： S311077006專(zhuān) 業(yè)：機(jī)械工程學(xué)生姓名：胡曉鋒任課教師：李霞 副教授2011年 4 月基于PC的圓弧曲線加減速算法實(shí)現(xiàn)插補(bǔ)算法一直以來(lái)就是數(shù)控系統(tǒng)中的核心技術(shù)。從數(shù)控系統(tǒng)的原理來(lái)說(shuō)， 插補(bǔ)的本質(zhì)問(wèn)題就是對(duì)任意曲線進(jìn)行分解，成為若干段微小的曲線，當(dāng)對(duì)曲線 的分解達(dá)到無(wú)窮級(jí)時(shí)，每一段曲線便成為微小的直線段。然后利用與相應(yīng)微小 曲線相類(lèi)似的直線段代替，通過(guò)控制刀具按直線段行走進(jìn)行加工，完成為整個(gè) 曲線的插補(bǔ)運(yùn)算加工。實(shí)際問(wèn)題中不可能對(duì)任意曲線的分解達(dá)到無(wú)窮，因此總 是存在相應(yīng)的誤差。然而在實(shí)際運(yùn)用中對(duì)誤差的容忍度有限，因此只需在滿足 精度的

2、情況下進(jìn)行曲線的分解。對(duì)曲線的分解過(guò)程即是將其坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行密化， 不但要保證精度，還需要在極短的時(shí)間內(nèi)完成。受現(xiàn)代技術(shù)的限制，這一過(guò)程 目前還存在一定的問(wèn)題。由此而產(chǎn)生的對(duì)插補(bǔ)算法的研究也一直沒(méi)有停止過(guò)， 從經(jīng)典的逐點(diǎn)比較法到現(xiàn)在的自由曲面直接插補(bǔ)法，各種算法層出不窮。本次對(duì)圓弧的插補(bǔ)算法是基于 PC技術(shù)的算法，利用 MATLAB軟件編寫(xiě)相 應(yīng)的插補(bǔ)程序，實(shí)現(xiàn)對(duì)插補(bǔ)軌跡的模擬與分析。一、問(wèn)題描述本次設(shè)計(jì)針對(duì)圓弧曲線進(jìn)行插補(bǔ)，采用加減速的方式完成刀具的行走過(guò)程。 根據(jù)數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)原理，實(shí)現(xiàn)數(shù)控軌跡的密化。本次插補(bǔ)的難點(diǎn)在于對(duì)刀具行 走軌跡的自動(dòng)加減速進(jìn)行控制，由控制器發(fā)出相應(yīng)指令，當(dāng)?shù)毒咭圆煌俣?/p>

3、運(yùn) 行到不同位置時(shí)，能夠根據(jù)當(dāng)前的狀態(tài)判斷下一個(gè)插補(bǔ)周期需要的狀態(tài)，從而 連續(xù)平滑的完成插補(bǔ)過(guò)程。二、速度曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式刀具在進(jìn)行插補(bǔ)時(shí)的速度應(yīng)該是一個(gè)加速-勻速-減速的過(guò)程，各個(gè)過(guò)程與 時(shí)間的關(guān)系應(yīng)該由相應(yīng)的加速度來(lái)控制。因此曲線的形狀呈現(xiàn)一定的拋物線形。另初始進(jìn)給速度為F1,末端進(jìn)給速度為F2,指令速度為F,當(dāng)前速度為V， 減速距離為S，當(dāng)前距離為CS，n為插補(bǔ)周期個(gè)數(shù)，t為當(dāng)前時(shí)刻。則速度的數(shù) 學(xué)表達(dá)式如下：(F1<F)&&(CS>S)，起始時(shí)刀具加速運(yùn)動(dòng)。2FKF/2,加速度為a "n ；F1>=F/2,加速度為a=歸；(F1>=F)

4、&&(CS>10)，刀具做勻速運(yùn)動(dòng)。(F1>=F)&&(CS<S)，刀具做減速運(yùn)動(dòng)。V<4F2，加速度為&=折;2V>=F/2，加速度為a =tn 。其速度曲線如圖2.1所示。Q Figure 1回 秦Fik Edit View Insert ToolsWindow Hklp電Ddl H 鳥(niǎo)頭電巴®農(nóng)虜總| 口凰|口|圖2.1圓弧插補(bǔ)速度曲線三、插補(bǔ)軌跡的數(shù)學(xué)表達(dá)式本次插補(bǔ)對(duì)象為圓弧，因此其數(shù)學(xué)表達(dá)式為X2+Y2 = R2(3-1)這里對(duì)圓弧第一象限部分進(jìn)行插補(bǔ)，利用MATLAB軟件進(jìn)行圖形繪制，這里令圓直徑為50

5、，其M函數(shù)如下：x仁 50;y仁0;x2=0;y2=50;r=50;i=0:pi/20:1/2*piplot(r*cos(i),r*s in (i);其圓弧軌跡如圖3.1所示圖3.1圓弧軌跡四、插補(bǔ)原理設(shè)被插補(bǔ)圓弧如圖4.1所示，其半徑為R,圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)0,端點(diǎn)為A 和C。根據(jù)采樣插補(bǔ)原理，圓弧插補(bǔ)的任務(wù)是，沿給定的圓弧軌跡在兩端點(diǎn)之 間進(jìn)行坐標(biāo)密化，并使插補(bǔ)點(diǎn)之間的距離'：Li滿足速度和精度要求。根據(jù)圖中關(guān) 系，位于圓弧軌跡上的插補(bǔ)點(diǎn)坐標(biāo)可按下式求得：洛=Rcos”(4-1)Rs in 耳這樣，根據(jù)進(jìn)給方向、進(jìn)給速度和精度要求控制的增加或減少，即可控 制懂點(diǎn)沿圓弧軌跡逆時(shí)針或順時(shí)

6、針運(yùn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)逆圓或順圓插補(bǔ)圖4.1圓弧插補(bǔ)原理由于式(4-1)就是圓弧的參數(shù)方程，因此可確保其計(jì)算的插補(bǔ)點(diǎn)位于圓弧指 令軌跡上。剩下的問(wèn)題是，如何使插補(bǔ)速度和逼近誤差滿足要求，為此采取以 下措施。(1)速度控制由圖3可知，兩相鄰插補(bǔ)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置角有以下關(guān)系:(4-2)式中厶弓為步距角(插補(bǔ)直線段 L對(duì)應(yīng)的圓心角)。(4-3)如果對(duì)步距角進(jìn)行控制，使其滿足R 60000 R式中F為進(jìn)給速度(mm/ min )；T為插補(bǔ)周期(ms)。則可使插補(bǔ)誤差的運(yùn)動(dòng)速度滿足給定的進(jìn)給速度F。(2)誤差控制為滿足誤差的要求，可按給定的允許誤差對(duì) 弓進(jìn)行約束控制，使其最大值滿足max2、e(2R-e)R(4-

7、4)式中e為所允許的最大徑向誤差這樣，實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中各種若 ："max，則按式(4-3)求出的進(jìn)行插 補(bǔ)運(yùn)算，否則按厶4 -"max進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算。因?yàn)槭?4-4)的計(jì)算可在預(yù)處理階段 完成，所以上述誤差控制不會(huì)影響插補(bǔ)的實(shí)時(shí)性。五、柔性加減速控制為充分利用機(jī)床的有效工作行程，要求機(jī)床運(yùn)動(dòng)具有極短的加減速過(guò)渡過(guò) 程。而僅從時(shí)間上去考慮縮短過(guò)渡過(guò)程，而不對(duì)機(jī)床的加減速動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行合 理的控制，必將給擊穿鋼結(jié)構(gòu)帶來(lái)很大的沖擊。為解決問(wèn)題，一方面要求數(shù)控 系統(tǒng)能因機(jī)而異，另一方面需在控制系統(tǒng)中采用特殊方法來(lái)實(shí)現(xiàn)這種動(dòng)態(tài)規(guī)律。 顯然，傳統(tǒng)數(shù)控系統(tǒng)采用的固定加減速控制方法是無(wú)法實(shí)現(xiàn)這一

8、要求的。為此 采用一種可根據(jù)任意曲線對(duì)數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行自動(dòng)加減速控制的方法。這種 方法將自動(dòng)加減速控制有傳統(tǒng)的固定模式推向新的柔性模式，為有效提高數(shù)控 機(jī)床的動(dòng)態(tài)性能探索出一條新的途徑。在數(shù)控系統(tǒng)軟件中，設(shè)計(jì)一條通用的與加減速數(shù)據(jù)庫(kù)內(nèi)容無(wú)關(guān)的通道，由 其獨(dú)立完成加減速計(jì)算和軌跡控制。該方法的實(shí)現(xiàn)原理圖如圖 5.1所示。圖5.1柔性加減速控制原理圖1、柔性自動(dòng)加速控制設(shè)給定的加速曲線如圖5.2所示，現(xiàn)將其作為樣板以數(shù)表形式存放于加減 速曲線庫(kù)中。圖中，fd為加速過(guò)程進(jìn)給速度總該變量(樣板速度差)，td為加速 過(guò)程所需時(shí)間(樣板加速時(shí)間)。根據(jù)加速曲線數(shù)表實(shí)現(xiàn)加速控制的過(guò)程如下：根據(jù)加速開(kāi)始前的

9、進(jìn)給速度F1,加速過(guò)程結(jié)束后進(jìn)給速度 F2,求出加速 過(guò)程速度差FD =FF1，并據(jù)此計(jì)算出實(shí)際速度差與樣板速度差的比值Fd 二 F2-F1(5-1)根據(jù)加速開(kāi)始前到當(dāng)前時(shí)刻所經(jīng)過(guò)的插補(bǔ)周期個(gè)數(shù)n,計(jì)算出查表時(shí)間C =T為采樣時(shí)周期tn 5n/K(5-2)根據(jù)tn差加速曲線表可得樣板速度增量 fn。由此可計(jì)算出經(jīng)過(guò)n個(gè)插補(bǔ)周期后實(shí)際速度的該變量斤二 fnK(5-3)進(jìn)一步，經(jīng)求出的n周期速度該變量Fn代入下式，求出當(dāng)前插補(bǔ)周期的實(shí)際進(jìn)給速度Fj =Fi：Fn(5-4)最后，根據(jù)所求得的F計(jì)算當(dāng)前采樣周期中插補(bǔ)直線的長(zhǎng)度，并據(jù)此進(jìn)行2、自動(dòng)減速控制設(shè)給定的減速曲線如圖5.3所示，如同加速控制一樣

10、將去作為樣板以數(shù)表的形式存放于加減速曲線庫(kù)中。根據(jù)加速曲線數(shù)表實(shí)現(xiàn)自動(dòng)減速控制的過(guò)程如下：同加速過(guò)程一樣，減速過(guò)程速度差為 Fd = R - F2。按照與加速控制相同的過(guò)程，求出查表時(shí)間tn，并查減速曲線表得樣板速 度增量fn，由此可計(jì)算出經(jīng)過(guò)n個(gè)插補(bǔ)周期后實(shí)際速度的改變量吒卄。-仆(5-5)進(jìn)一步，將求出的n周期改變量，F(xiàn)n代入下式，求出當(dāng)前插補(bǔ)周期的實(shí)際進(jìn)給速度FTi-Fn(5-6)最后，根據(jù)F計(jì)算當(dāng)前插補(bǔ)周期中插補(bǔ)直線段的長(zhǎng)度，并據(jù)此進(jìn)行軌跡計(jì)算，即可實(shí)現(xiàn)滿足圖5.4所示曲線要求的自動(dòng)減速控制。對(duì)于自動(dòng)減速控制，減速前還需要預(yù)測(cè)減速點(diǎn)，以決定何時(shí)開(kāi)始減速。確 定減速點(diǎn)的依據(jù)是減速距離s,

11、其計(jì)算公式為：FV-F2fd)2Sd -F1 - F2fdtdF2(5-7)六、式中td為樣板減速時(shí)間;Sd為樣板減速距離。樣板減速距離Sd可通過(guò)下式以離線方式預(yù)先求出，并存儲(chǔ)于加減速數(shù)據(jù)庫(kù)® 二 0 f (t)dt 八 f：ti 4式中fi為樣板減速曲線f(t)的離散取值；m為樣板減速曲線離散點(diǎn)總數(shù)；:t為豎直幾分的時(shí)間增量。(5-8)程序流程圖插補(bǔ)程序流程圖如圖6.1所示初始化速度小于指令速度速度大于指令速度否是否達(dá)到精度要求圖6.1程序流程圖七、代碼插補(bǔ)程序部分代碼如下：clear allv1=input(' 輸入起始速度 ' )v2=input(' 輸

12、入末端速度 ' )x1=100;y1=0;x2=0;y2=100;R=100;x=x1;y=y1;X=x;Y=y;T=0.01;t=0;N=t;v0=30;v=v1;V=v; a_max=10;a=0;A=a;rad=0;status=1;if (v2>v0)&&(v2-v0)>(a_max/2)%距離判斷res_s=(v0+v2)/2*(v2-v0)/a_max+1/2);elseres_s=(v0+v2)*sqrt(v2-v0)/a_max/2);endif (v2<v0)&&(v0-v2)>(a_max/2) res_s=(

13、v0+v2)/2*(v0-v2)/a_max+1/2);else res_s=(v0+v2)*sqrt(v0-v2)/a_max/2);endif v2=v0res_s=0;endc_s=R*pi/2;while rad<(pi/2)while c_s>res_st=t+T;switch statuscase 1if v1<v0%加速if (v0-v1)<=(1/2*a_max)if (v-v1)<(v0-v)ap=a; a=2*a_max*t;a1=a;t1=t;elseap=a;a=a1-2*a_max*(t-t1);endvp=v; v=v+1/2*(a+a

14、p)*T;if (v>v0)a=0;v=v0;endelseif (v0-v)>(1/4*a_max) if a<a_max ap=a;a=2*a_max*t;vp=v; v=v+1/2*(a+ap)*T;elsea=a_max;vp=v; v=v+a*T;enda2=a;t2=t;elseap=a; a=a2-2*a_max*(t-t2);vp=v; v=v+1/2*(a+ap)*T;if (v>v0)a=0;v=v0;endendendend%減速if v1>v0if (v1-v0)<=(1/2*a_max)if (v1-v)<(v-v0)ap=a

15、;a=-2*a_max*t;a1=a;t1=t;elseap=a;a=a1+2*a_max*(t-t1);endvp=v; v=v+1/2*(a+ap)*T;if (v<v0)a=0;v=v0;endelseif (v-v0)>(1/4*a_max) if a>(-a_max) ap=a;a=-2*a_max*t;vp=v; v=v+1/2*(a+ap)*T;else a=-a_max;vp=v; v=v+a*T;enda2=a;t2=t;elseap=a; a=a2+2*a_max*(t-t2);vp=v; v=v+1/2*(a+ap)*T;if (v<v0)a=0;

16、v=v0;endendendendendrad=rad+p_rad;x=R*cos(rad); y=sqrt(R*R-x*x);c_s=R*(pi/2-rad);X=X x;Y=Y y;V=V v;A=A a;N=N t;t3=t;endx=x2;y=y2;X=X x;Y=Y y;plot(N,V, 'r' )figureplot(X,Y, 'g' )figureplot(N,A, 'b' )八、結(jié)果分析在 MATLAB 程序窗口輸入以上命令并點(diǎn)擊運(yùn)行之后，輸入相應(yīng)的參數(shù)，可得到以下數(shù)據(jù)：速度曲線、加速度曲線、圓弧軌跡。分別如圖8.1-8.3 所

17、示。圓就軌跡圓弧軌跡曲線與設(shè)置的參數(shù)一致，是半徑為 100,圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)。從速度曲線可知，刀具在初始階段起步時(shí)速度變化較緩慢，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間 后速度迅速上升，達(dá)到路程中段左右開(kāi)始以恒定的速度運(yùn)行，之后產(chǎn)生與加速 過(guò)程相類(lèi)似的變化趨勢(shì)。刀具的這種變化曲線同實(shí)際運(yùn)用各種較為相似，即刀 具在運(yùn)行過(guò)程中有充分的緩沖時(shí)間，這樣可減少系統(tǒng)產(chǎn)生的沖擊，有利于加工 過(guò)程平穩(wěn)，快速的進(jìn)行。而速度曲線的變化趨勢(shì)直接受加速度曲線變化趨勢(shì)的影響。由加速度曲線 可知，系統(tǒng)初始加速度為 0，當(dāng)控制器發(fā)送指令后在較短的時(shí)間內(nèi)完成加速度 的上升，到達(dá)一定程度后以恒定的加速度運(yùn)行。而減速過(guò)程與加速過(guò)程正好相 反。在加速度的控制

18、之下，刀具平穩(wěn)、快速的實(shí)現(xiàn)圓弧軌跡的插補(bǔ)運(yùn)算。九、問(wèn)題提出以上通過(guò)利用 MATLAB 軟件做出了圓弧軌跡的加減速算法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)圓弧 軌跡的插補(bǔ)仿真。驗(yàn)證了利用加減速方式控制刀具軌跡進(jìn)行數(shù)控插補(bǔ)加工的正 確性。然而這樣的程序存在一定的不足之處。例如，要實(shí)現(xiàn)該插補(bǔ)的前提是采樣 周期較小。前面程序的編制中最初采樣周期設(shè)定為5ms,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的快速性非常好，然而這僅僅是在軟件仿真中實(shí)現(xiàn)。之后將其改為了10ms，系統(tǒng)速度也相應(yīng)減慢。這樣的減慢對(duì)整個(gè)機(jī)床是十分有利的,因?yàn)閿?shù)控該系統(tǒng)的處理器通常 來(lái)說(shuō)計(jì)算速度是很有限的，大多數(shù)數(shù)控機(jī)床的處理器速度要低于常用的計(jì)算機(jī) 速度，甚至要低于工控機(jī)速度，因此就算以10ms為采樣周期，系統(tǒng)速度也不一定能夠跟得上，導(dǎo)致產(chǎn)生嚴(yán)重的丟步問(wèn)題，使得加工過(guò)程的斷續(xù)，這將降低 曲線的插補(bǔ)質(zhì)量。當(dāng)改變采樣