初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(2)

1、.初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、本章知識(shí)框架二、本章重點(diǎn)1圓的定義：(1) 線段 OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A 所形成的封閉曲線，叫做圓(2) 圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合2判定一個(gè)點(diǎn) P 是否在 O上設(shè) O的半徑為 R，OP d，則有d>r點(diǎn) P在O 外；dr點(diǎn) P 在 O 上；d<r點(diǎn) P在O 內(nèi)3與圓有關(guān)的角(1) 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)(2) 圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)

2、的弧相等 90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角(3) 弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半4圓的性質(zhì)：;.(1) 旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等(2) 軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)

3、過圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸垂徑定理及推論：(1) 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧(2) 平分弦 ( 不是直徑 ) 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧(3) 弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對(duì)的兩條弧(4) 平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦(5) 平行弦夾的弧相等5三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心(1) 三角形的內(nèi)心：是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I ”表示(2) 三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角

4、三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示(3) 三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的 2 倍，通常用 G表示(4) 垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)6切線的判定、性質(zhì)：(1) 切線的判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線到圓心的距離 d 等于圓的半徑的直線是圓的切線(2) 切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn)經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心(3) 切線長(zhǎng)：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做切線長(zhǎng)(4) 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相

5、等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角7圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1) 四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角(2) 各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等8直線和圓的位置關(guān)系：設(shè) O 半徑為 R，點(diǎn) O到直線 l 的距離為 d(1)直線和圓沒有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R(2)直線和 O有唯一公共點(diǎn)直線 l 和 O相切d R(3)直線 l 和 O 有兩個(gè)公共點(diǎn)直線 l和 O 相交 d<R9圓和圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為 R、r(R>r) ，圓心距;.(1)沒有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部外離d>

6、Rr (2)沒有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在外部?jī)?nèi)含 d<R r(3)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓外部外切dRr (4)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，的每個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)部?jī)?nèi)切dRr (5)有兩個(gè)公共點(diǎn)相交R r<d<Rr 10兩圓的性質(zhì)：(1) 兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線(2) 相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn)11圓中有關(guān)計(jì)算：圓的面積公式：，周長(zhǎng) C 2R圓心角為 n°、半徑為 R 的弧長(zhǎng)圓心角為 n°，半徑為 R，弧長(zhǎng)為 l 的扇形的面積弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)

7、矩形， 底面半徑為 R，母線長(zhǎng)為 l 的圓柱的體積為，側(cè)面積為 2 Rl ，全面積為圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長(zhǎng)為 l ，高為 h 的圓錐的側(cè)面積為 Rl ，全面積為，母線長(zhǎng)、圓錐高、底面圓的半徑之間有【經(jīng)典例題精講】例 1 如圖 23-2 ，已知 AB為O直徑， C為上一點(diǎn)， CDAB于 D， OCD的平分線 CP交 O于 P，試判斷 P 點(diǎn)位置是否隨C點(diǎn)位置改變而改變？;.分析：要確定 P 點(diǎn)位置，我們可采用嘗試的辦法， 在上再取幾個(gè)符合條件的點(diǎn)試一試，觀察P 點(diǎn)位置的變化，然后從中觀察規(guī)律解：連結(jié) OP，P 點(diǎn)為中點(diǎn)小結(jié)：此題運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推斷例 2 下列命題正確的是

8、( ) A相等的圓周角對(duì)的弧相等B等弧所對(duì)的弦相等C三點(diǎn)確定一個(gè)圓D平分弦的直徑垂直于弦解：A在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的劣弧相等，所以 A 不正確B等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此 B 正確C三個(gè)點(diǎn)只有不在同一直線上才能確定一個(gè)圓D平分弦 ( 不是直徑 ) 的直徑垂直于此弦故選 B例 3 四邊形 ABCD內(nèi)接于 O， A B C123，求 D分析：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角之和相等，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等解：設(shè) Ax， B2x， C3x，則 D A C B2xx2x3x 2x360°，x45° D90°小結(jié)：此題可變形為：四邊形 ABCD外切于 O，周長(zhǎng)為 2

9、0，且 ABBC CD1 2 3，求 AD的長(zhǎng)例 4 為了測(cè)量一個(gè)圓柱形鐵環(huán)的半徑， 某同學(xué)采用如下方法： 將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為 30°的三角板和一個(gè)刻度尺，用如圖 23-4 所示方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以求得鐵環(huán)半徑若測(cè)得 PA5cm，則鐵環(huán)的半徑是_cm分析：測(cè)量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切線長(zhǎng)性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識(shí)進(jìn);.行合作解決，即過 P 點(diǎn)作直線 OP PA，再用三角板畫一個(gè)頂點(diǎn)為 A、一邊為 AP、大小為 60°的角，這個(gè)角的另一邊與 OP的交點(diǎn)即為圓心 O，再用三角函數(shù)知識(shí)求解解：小結(jié)：應(yīng)用圓的知識(shí)解決實(shí)際問題，應(yīng)將實(shí)際問

10、題變成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型例 5已知相交于 A、B 兩點(diǎn)，的半徑是 10，的半徑是 17，公共弦 AB 16，求兩圓的圓心距解：分兩種情況討論：(1) 若位于 AB的兩側(cè) ( 如圖 23-8) ，設(shè)與 AB交于 C，連結(jié)，則垂直平分 AB，又 AB 16 AC8在中，在中，故(2) 若位于 AB的同側(cè) ( 如圖 23-9) ，設(shè)的延長(zhǎng)線與 AB交于 C，連結(jié)垂直平分 AB，又 AB 16， AC8在中，在中，故;.注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個(gè)點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時(shí)，要注意雙解或多解問題三、相關(guān)定理：1. 相交弦定理圓內(nèi)的兩條

11、相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）說明 ：幾何語(yǔ)言：若弦 AB、CD交于點(diǎn) P，則 PA·PB=PC·PD（相交弦定理）例 1 已知 P 為 O內(nèi)一點(diǎn)， O半徑為，過P 任作一弦 AB，設(shè)，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為。解：由相交弦定理得，即，其中2. 切割線定理推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)說明：幾何語(yǔ)言：若AB是直徑， CD垂直 AB于點(diǎn) P，則 PC2=PA·PB例 2 已知 PT切 O于 T，PBA為割線，交 OC于 D， CT為直徑，若 OC=BD=4cm，

12、AD=3cm，求 PB長(zhǎng)。解：設(shè) TD= ，BP= ，由相交弦定理得：即，（舍）由切割線定理，由勾股定理，四、輔助線總結(jié)1.圓中常見的輔助線1）作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等2）作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進(jìn)行證明3）作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算4）作弦構(gòu)造同弧或等弧所對(duì)的圓周角5) 作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角直角6) 遇到切線，作過切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角7) 遇到切線，作過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角8) 欲證直線為圓的切線時(shí)，分兩種情況： (1) 若知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連結(jié)公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直；

13、 (2) 不知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長(zhǎng)等于圓的半徑;.9) 遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)10) 遇到三角形的內(nèi)心，常作： (1) 內(nèi)心到三邊的垂線； (2) 連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)11) 遇相交兩圓，常作： (1) 公共弦； (2) 連心線12) 遇兩圓相切，常過切點(diǎn)作兩圓的公切線13) 求公切線時(shí)常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊2、圓中較特殊的輔助線1) 過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線2) 將割線、相交弦補(bǔ)充完整3) 作輔助圓例 1 如圖 23-10 ， AB是 O的直徑，弦 CD AB，垂足為 E，如果 AB

14、10， CD8，那么 AE的長(zhǎng)為 ( )A2B3C4D5分析：連結(jié) OC，由 AB是 O的直徑，弦 CDAB知 CDDE設(shè)AEx，則在 Rt CEO中，即，則，(舍去)答案： A例 2 如圖 23-11 ， CA為 O的切線，切點(diǎn)為 A，點(diǎn) B 在 O 上，如果 CAB55°，那么 AOB等于 ( )A35°B90°C110°D120°分析：由弦切角與所夾弧所對(duì)的圓心角的關(guān)系可以知道 AOB 2 BAC2×55° 110°答案： C例 3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長(zhǎng)為 5cm，那么側(cè)面積等于 ()ABCD分

15、析：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)等于圓柱的高，即圓柱的母線長(zhǎng)；另一邊長(zhǎng)是底面圓的周長(zhǎng)，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長(zhǎng)乘以圓柱的高，即答案： B例 4 如圖 23-12 ，在半徑為 4 的 O中，AB、CD是兩條直徑， M為 OB的中點(diǎn)，延長(zhǎng) CM交 O于 E，且 EM>MC，連結(jié) OE、 DE，求： EM的長(zhǎng);.簡(jiǎn)析：(1) 由 DC是 O的直徑，知 DEEC，于是設(shè) EMx，則 AM· MBx(7 x) ，即所以而 EM>MC，即 EM 4例 5 如圖 23-13 ，AB是 O的直徑， PB切 O于點(diǎn) B， PA交 O于點(diǎn) C， PF分別交 AB、BC于