電磁場(chǎng)與電磁波答案第四版謝處方

1、章習(xí)題解答-1 -1.1給定三個(gè)矢量 a、B和C如下:A=ex ey2-ez3B = -ey4 ezC ex5 - ez2求：（1）aA ；（2）A B ；（3）Ab ；（4）6Ab ；（5）A在 b 上的分量；（6）A><C ； （7）AlBC）和（AB）LJC ；（8） （AXB ）X C 和 AX （BC）。ey 2 - ez3A(2) A B| = (e x + ey2 ez3) (ey4 + ez) = |母 + ey6 ez4 =V53(3) A|_B = (ex+ ey2ez3)|_(ey4 + ez) = -11A B1 1 ,曰,得238AJb-11、1 4 17

2、(4)由 c o SABA BAb _ _ 11 |B 一 ,17Ab = A CO Sab(5)A在b上的分量(6) aC = 1 2 3 = ex4 ey13 ez105 0-2ex ey ez(7) 由于 BXC= 0 -4 1 =女8+ ey5+ ez205 0-2ex ey e zA x B = 12 3 = e 10 e y1 ez 40 -4 1所以A(B C)=(ex ey2 -ez3£ (ex8 ey5 ez20) =-42(A B). = ( *0-ey1-ez4)L(母5 -%2)=-42ex ey ez(8) (AB)xC = -10 -1 4= ex2 ey

3、40+ ez550-2ex e y ezAK(B9)= 12 -3 = ex55 -ey44 -ez118 5 201.2三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為 R(0,1,-2)、P2(4,1,S)和 R(6, 2,5)。(1) 判斷APP2P3是否為一直角三角形；(2) 求三角形的面積。解(1)三個(gè)頂點(diǎn)p(0,1,_2)、P2(4,1,3)和P3(6,2,5)的位置矢量分別為 ri = ey-ez2, ” =ex4+ ey-ez3,r3= ex6+ ey2+ ez5R2 = r2 r1 = ex4 ez，R2 3= r 尸 r 牙 ex2 + ey + ez8 ,R31 = r1 r3 = ex6 e y e

4、z7由此可見(jiàn)R12LR23 =(ex4 - ez)_(ex2 ey q8) = 0故arp2p3為一直角三角形。(2)三角形的面積S=；|R12X R 21.3解且 RPP 與 x、y、23一宥.69 日 7. 1 32求P (-3,1,4)點(diǎn)到P(2,2,3)點(diǎn)的距離矢量R及R的方向。rP，= -ex3+ ey + ez4 , rP = ex2 -ey2 + ez3 ,Rpp = rp - fp. ex5 -ey3 - ezz軸的夾角分別為4 exLRpp1)=cosR 12乂 R= 32.31= cos (.,|Rpp|eyLRpP、1= cos () = cosRppa, &Lr

5、 pp1/)=cos (-)=120.47= 99.73= cos (|r pp|1.4給定兩矢量 A=ex2+ey3ez4和B=ex4 ey5 + ez6，求它們之間的夾角和A在B上的分量。解A與B之間的夾角為eAB = cosJ(|A|B|ALB、七-31、)=cos W)= 131A在b上的分量為Ab =3.5321.5給定兩矢量 上的分量。A=ex2+ ey3 ez4 和 B = ex6 ey4 + ez，求 AB 在 C = exeyezex2ey3ez-4=-ex13 ey22 ez10-4所以AB在C上的分量為(A B )c1.6 證明：如果 A b = Al_C 和 ABnAX

6、C，則-2 -25-=14. 4 33B =C ；解 由 AxB = AxC，則有 A 乂 (AxB ) = Ax (AxC)，即(a|_B)a-(a a)b =(Ag)a-(Aa)c由于 a|_B =a2，于是得到(aLIa)b( a A cb =c1.7如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)a為一已知矢量，p = aUx而p=a><X，P和P已知，試求 X。解 由p a x X，有a p=a (a X)=(A成)A-(a_a)X = pA-(a_a)x故得x _ PA A paLa1.8 在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由(4,獎(jiǎng),3)定出，求該點(diǎn)

7、在：(1)直角坐標(biāo)中的坐標(biāo);(2)球坐標(biāo)中的坐標(biāo)。解(1)在直角坐標(biāo)系中 x=4cos23)、& =4sin(2n/3) = 2J3、z=3故該點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 (_2 2J33)。(2)在球坐標(biāo)系中= J42 +32 =5、=ta/(4/3) = 53.l"巾=2時(shí)3 = 120”故該點(diǎn)的球坐標(biāo)為(5,53.1 °,120)1.9用球坐標(biāo)表示的場(chǎng)(1)求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)u 25E = er ' r(3,4,5)處的 E(2)解(1)在直角坐標(biāo)中點(diǎn)求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(3,4, -5)處E與矢量B =ex2 ey 2 + ez構(gòu)成的夾角。 (7,4,-5)處,r22

8、5 2r=(_3)2 十42 十(5)2 =50 , 故Ex(2)在直角坐標(biāo)中點(diǎn)二3 技2 5.220(3,4,-5)處，r = ex3+ ey4 -ez5 ,所以exLE =|E cos6rx-13 -=cos (故e與b構(gòu)成的夾角為1.10 球坐標(biāo)中兩個(gè)點(diǎn) 間夾角的余弦為25 25r -ex3 ey4 -ez510、2品，19(10.2)、=cos (-x )= 153.63 2m，由)和(r2,%,*2)定出兩個(gè)位置矢量R1和R2。證明R1和R2cos =cos/cosu2 sin 3 sin 口2 cos( 1 - 2) 解 由R1 = exr1 sin q cos由 + eyr1 s

9、in 饑 sin 電 + ezr1 cos4R2 = exr2 sin 口2 cos 2 eyr2 sin u2 sin 2 " cos，2得到 cos"二 一噲2- =Ri R2sin 3 cos 1 sin cos 2 sin F sin 1 sin B sin 2 cos cos % =sin 叫 sin 2(cos 1 cos 2 1 sin 1 sin 2) cos cos2 =sin 叫 sin 支 cos( 1 - 2) cos 3 cos1.11 一球面s的半徑為5,球心在原點(diǎn)上，計(jì)算：|J|(eh3sin8)LdS的值。S2 二:解pe3sin。舊 S=

10、(er3singdS= d . 3sin r 52sin d r -75二2001.12 在由r =5、z=0和z=4圍成的圓柱形區(qū)域，對(duì)矢量 A=err2 + ez2z驗(yàn)證散度定所以l|_A = 1 二(rr2) 二(2z) =3r 2 r ；r；z4 2 二 5、'i_Ad . = dz d (3r 2)rdr =1200二驢言S在圓柱坐標(biāo)系中000=(err2 ez2z)er d Sr e d S . ezdSz) =s4 2 二5 2 二52 5d dz 2 4rdrd ' =1200二0 00 0故有1.13LlAdT =1200b = 74Jd STs22 22 2

11、 3求(1)矢里 A =exx eyx y ez24x y z的散度；（2）求確A對(duì)中心在原點(diǎn)的241.2.2】2212 122 1 221 2I I 2x (一)dxdz I 1 2x (-一)dxdz 42T2272422121212 1211132 23.24x y (：) dxdy _ . . 24x y (-;) dxdy =-4222-12 4 222424一個(gè)單位立方體的積分；(3)求a對(duì)此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。9-99_O O Q22 22 2_3解(1) VLA=冬注(xy)+o(24x yz)=2x+2x2y+72x2y2z2 衣fy:z(2) |_A對(duì)中心在原點(diǎn)

12、的一個(gè)單位立方體的積分為1 2 1 2 1 222 2 21Ad ' ：1 I 1 (2x 2x y 72x y z )d xd ydz =、；-12 j 2 j 224(3) a對(duì)此立方體表面的積分12 1212121212!. !. (；) dydz !. !.(二)dydz .12 j 2 21212故有1.14分。.1A d =24計(jì)算矢量r對(duì)個(gè)球心在原點(diǎn)、半徑為a的球表面的積分，并求 v|_r對(duì)球體積的積SS =-S-又在球坐標(biāo)系中，何止=4空（3）=3,所以r2 jr_ 2 二 二rqdS= d小! aa2sin d - 4二a3002"a|_r d . =3r2

13、sin mdrd M =4二a30001.15求矢量A=exx+ eyx2十ezy2z沿xy平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)為 2的正方形回路的線(xiàn)積分， 此正方形的兩邊分別與 x軸和y軸相重合。再求 vx A對(duì)此回路所包圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托 克斯定理。2222I= xdxxd x，i22d y0d y =8 00e xe yezEBexczx2 x2 y z0' A =ex2yz ez2x2 2所以:、A d S =SI I (ex2yz ez2x)Lezd xd y = 8 0 0故有jAd I = 8 =Ad SCS1.16分。求矢量A=exx+ eyxy2沿圓周x2 +y2=a2的線(xiàn)積分，再計(jì)

14、算 * A對(duì)此圓面積的積LI I I -I22兀"7|A = 7lxd x *xy d y = J(-a2 cos©sin© +a4 cos2© sin2*)d。=二 a4fA ： aa 2；二AdS= ez(-一)_ezdS = y2dS= r2sin2 rd dr =1.17A為一常矢量。解(1) V_R= -+- = 3 衣:y :z證明：(1) VL_R = 3 ; (2) Vx r = 0 ; (3) ( Ar) = a。其中 R = exx + eyy + ezz ,1.18e xeyezx R =EEEexczxyy設(shè) A =exAx +

15、e yAyAz，(2)=0(3)貝U AR = A<x + Ayy + Azz,故' (Ar) = ex (AxX Ayy AzZ) ey(A<x Ayy AzZ) ex: yeZ_(AXx Ayy 4z) = exAx g 成=A ；zF =erf(r)表示，如果V|_F = 0，那么函數(shù)f(r)會(huì)有什么特點(diǎn)呢?1 d"、Lfrf(r)=0r d r一徑向矢量場(chǎng)解在圓柱坐標(biāo)系中,可得到Cf(r)=一r''LF = 土r d rf(r)我 r1.19 給定矢量函數(shù)E=exy+ e yx ,試求從點(diǎn)P(2,1,1)到點(diǎn)P2(8, 2, 1)勺線(xiàn)積分E

16、也l : (1)沿拋物線(xiàn)x=y2；(2)沿連接該兩點(diǎn)的直線(xiàn)。這個(gè) E是保守場(chǎng)嗎？E|_d l= Exdx Eydy = ydxxdy =y d(2y2) 2y2 d y = 6y2 d y =1411(2)連接點(diǎn)P(2,1,1)到點(diǎn)巳(8,2,1)直線(xiàn)方程為在球坐標(biāo)系中，由可得到解（1）C為任意常數(shù)。d r2f()=0x -2x -8y1y -222E|_d l = Exdx Ey d y = yd(6y - 4) (6y -4)d y = (12y - 4)d y =14x -6y 4=0由此可見(jiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，故是保守場(chǎng)。1.20 求標(biāo)量函數(shù) 甲=x2yz的梯度及棗 在一個(gè)指定方向的方向?qū)?/p>

17、數(shù)，此方向由單位矢量exL% +ey£ +ez土定出；求(2,3,1)點(diǎn)的方向?qū)?shù)值。 50、5050:2.2.： -2、"=ex(x yz) ey (x yz) e(x yz)=:x: y: zex2xyz eyx2z ezx2y345題1.21圖故沿萬(wàn)向§ = ex二 +ey 二 +%二的方向?qū)?shù)為 x.50505022二二值 qz 4xz gfl.'50. 50. 50點(diǎn)(2,3,1)處沿e的方向?qū)?shù)值為U361660112=+ += .:1.50.50.50.501.21試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中q La =史.當(dāng).當(dāng) 相似的方法推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)下的公式；

18、x: y :zUa = l&(rAr)+竺十蘭。r :r r" z解 在圓柱坐標(biāo)中，取小體積元如題1.21圖所示。矢量場(chǎng) a沿er方向穿出該六面體的表面的通量為卜&七z'z棗r = JJ Ar r您(r +Ar)d rd 巾 一 / J Ar rr d rd 巾走* z* z(r：r)Ar(rr, ,z)rA(r, ,z)Wz A! ：Ez = A .:rr；:r同理 r芝r z 次r淫z y_z'"= A .,： dr dz I i A . drdz :r zr zA (r,、+、，z)A (r, ,z) r z - . ：r：z = -：

19、 :"r；:r y ."r r "甲z=/ Azz也rdrd© J J Azzrdrd© 充 rr *Az(r, ,z：z) -Az(r, , z)r r -、-z A r. ：r _、z = A .:.:z: z因此，矢量場(chǎng)A穿出該六面體的表面的通量為1 ；:(rAr)：A:A .中=Wr +W* + Wz氣一旁衛(wèi)+弋+q】3r : r r ：: z故得到圓柱坐標(biāo)下的散度表達(dá)式礦A= 1j =1 - 4°.r fr r"-:z2221.22方程“ =L +匕+ J給出一橢球族。求橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量。 U 一 2

20、, 22a b c解 由于Vu = e空+ e赴+ e絲u ex 2 ey . 2 ez 2a b cA = er sin cos coscos e sin22B =ez sin e z cosez2rzsin_ 2_ 、2_C =ex(3y -2x) eyx ez2z(1) 哪些矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表 示？(2) 求出這些矢量的源分布。解(1)在球坐標(biāo)系中'、La =二一(siAr -r ；rr sin- r sin【：W (r2sin n cos ) 1(sin ncosmcos ) 1(sin )=r .:rr sin %rsin &

21、quot;2 . . cos 2sin【cos cossin cosr.=0 rsinerr eer sin Beg1ar2 sin 8行c*ArAer sin /Aqr' A =r sin 口er1r2sin B.rsin cosc0r cos cosr sin e-r sin sin=0故矢量A既可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示;在圓柱坐標(biāo)系中l(wèi) 11 ： B；:B7"、lB=(rBr)z =r :r r : z1 ： , 2 .1 ： , 2(rz sin )(z cos ) 一(2rzsin )二 r :rr: zz2sin z2sin2r

22、 sin=2rsin r r故矢量B可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示;直角在坐標(biāo)系中err eBezerr e0ezrrrccc1cdc=r£r磷czBr rBe Bzz2sin 巾rz2cos© 2rzsin。=0,_1B = rCx：Cy?Cz LC = - - - z =.jx ；:y ；z2.：2:一(3y2 -2x) (x2) (2z) =0改:y ：:z故矢量C(CexeyCcccxC =cxcy.2.23y -2x x 可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示。這些矢量的源分布為ez:z2z= ez(2x-6y)山=0，W a = 0 ；LB = 2rsin©， x

23、b= 0；VC =0，Vx C =ez(2x-6y)1.24利用直角坐標(biāo)，證明fA) = ft _A a：- f解在直角坐標(biāo)中V)=:x' :y:zAy) (f 左 Az) =:y : z :zfAz) = '、L(fA)Ax：'Ay ；Az:f:ff' La a_ f = f()(Ax AyfAy:x :y:z(號(hào).淫)(f-:x :x :yc , c , c一(fAx) (fAy)(x:y:z1.25 證明止A H )= HU、 A A： H解根據(jù)算子的微分運(yùn)算性質(zhì)，有"(A H ) =', aL( A H ) ", hA H )

24、式中VA表示只對(duì)矢量 A作微分運(yùn)算， vH表示只對(duì)矢量 H作微分運(yùn)算。由 al_(b k c) = c_(a x b)，可得aL( A H )= H Lc A A)= H £' A)同理hL(A H )= -A"、h H ) = -A"、H )故有、 U( A H ) = H A - A*弋 H1.26利用直角坐標(biāo)，證明解在直角坐標(biāo)中'、(f G) = f'、 Gif G4二 a-16 -:GzGy：GxGz - Gy ； GXf'. G = fex(二 -一)ey(二-一)e(-一) cy:z:z: x:x:y:f :f:f:f:

25、f :fif G =ex(Gz-Gy) ey(Gx-Gz) q(Gy-Gx):y :z：z: x: x ；y所以M G、G=ex(GzU f 壓)-(Gy 苴 f :y:z屯 一 ；:f-Gy):y:y；z:z；:f；Gx；:f；Gey(Gxf x)-(Gzf):z:z:x；x；：Gy；:f；:Gxez(Gyf 2)0 f x)=:x:x: y: y(fGz) (fGy)(fGx) ：(fGz)ex:一 ey:一 -一:yz；z:x建(fGy)：(fGx)1ez -(fG):x:y1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明Vx (Vu) = 0及 A) = 0，試證明之。解(

26、1)對(duì)于任意閉合曲線(xiàn) C為邊界的任意曲面 S，由斯托克斯定理有(SV u)|_d S = f u_d Ipd I =d u =0SCCC由于曲面S是任意的，故有'、('、u) = 0(2)對(duì)于任意閉合曲面 S為邊界的體積丁，由散度定理有.('、A)d =('、A)_d S= 0 A)_d S . ('、A)Jd SS§S2其中S和&如題1.27圖所示。由斯托克斯定理，有"A)Ud S =Ajd I ,(S AJd S =Ad ISiCiS2C2由題1.27圖可知G和C2是方向相反的同一回路，則有 Ad I=jAd I2C1弓所

27、以得到u v A ) dT由于體積E是任意的，故有E A dI A d IC1C2LC a)=0£- La d "一 AdC2C2I =0二章習(xí)題解答2.1 一個(gè)平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為P = -4 &0U0d43xN3，式中陰極板位于9x=o，陽(yáng)極板位于x=d，極間電壓為U0。如果U0=40V、d=1cm、橫截面S=10cm2,求：（1） x=0和X=d區(qū)域內(nèi)的總電荷量 Q ； （2） x = d/2和x = d區(qū)域內(nèi)的總電荷量 Q'。d 44解（1） Q=Pdt=（1 a°U0dq x-2）Sd - A &0u 0 .7101

28、C.093d-.d 4,41（2）Q'= jPW = J （1g0U0d43xq3）Sdx =一旦（1 ）#0U0S = 0.97x104 cd 293d 3 22.2 一個(gè)體密度為P =2.32工10星C/m3的質(zhì)子束，通過(guò)1000V的電壓加速后形成等速的質(zhì)子束，質(zhì)子束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為2mm，束外沒(méi)有電荷分布， 試求電流密度和電流。解 質(zhì)子的質(zhì)量m=1.7x10N7kg、電量q=1.6x109C。由12mv = qU2得v = 2mqU =1.37 106 m s故J = v = 0.318 A m2I = J：（d, 2）2 =10” A2.3 一個(gè)半徑為a的球體內(nèi)均勻分

29、布總電荷量為Q的電荷，球體以勻角速度 切繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度。解 以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為z軸。設(shè)球內(nèi)任一點(diǎn) p的位置矢量為r，且r與z軸的夾角為0,則p點(diǎn)的線(xiàn)速度為v - r = e予 r sin球內(nèi)的電荷體密度為Q故2.4 一個(gè)半徑為 面的面電流密度。4 二 a3 3J =v=e. ,3 rsin【-e 3 r sin4 二 a3 34二 a3求球表a的導(dǎo)體球帶總電荷量為 Q ,同樣以勻角速度CO繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn),解 以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為z軸。設(shè)球面上任一點(diǎn) P的位置矢量為r ,且r與z軸的夾角為8，則p點(diǎn)的線(xiàn)速度為v = r =e，w asinQ2球面的

30、上電荷面密度為a =4二 aJS = '、v = e Q 2 asin - e sin -4二a2.5 兩點(diǎn)電荷q1 =8C位于z軸上z=4處， 的電場(chǎng)強(qiáng)度。解 電荷q1在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為q2 = -4C位于y軸上y = 4處，求(4,0,0)處Eiqr-r2 ex4 - ez44"二；0 (42)3電荷q2在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為q24二；°1 ex4- e y4二；0 (4 .分3題2.10圖故(4,0,0)處的電場(chǎng)為ex - ey -ez232、2二；°2.6 一個(gè)半圓環(huán)上均勻分布線(xiàn)電荷P| ,求垂直于圓平面的軸線(xiàn)上z = a處的電

31、場(chǎng)強(qiáng)度E(0,0, a),設(shè)半圓環(huán)的半徑也為 a,如題2.6圖所示。解 半圓環(huán)上的電荷元 4 dl= gad令'在軸線(xiàn)上z=a處的電場(chǎng)強(qiáng)度為dE= ：'a一,3d =4二；。(,2a)：iez -(excos eysin )8、云；。d在半圓環(huán)上對(duì)上式積分，得到軸線(xiàn)上 z=a處的電場(chǎng)強(qiáng)度為E (0,0, a) = d E -7:23( ez 虹一e x2)8 2：加 _二22.7三根長(zhǎng)度均為L(zhǎng),均勻帶電荷密度分別為砰1、和砰3地線(xiàn)電荷構(gòu)成等邊三角形。設(shè)砰1 =2砰2 =2R3,計(jì)算三角形中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解建立題1 ez (excos+e ySin©)d"=

32、 82.2.7圖所示的坐標(biāo)系。三角形中心到各邊的距離為,L3d = -tan30 = LP112 6Ei =ey(cos30-cos150 ey4 二;0d2 二;0LE2 =(excos30eysin30)J =-(*3 ey)2-：；0L8=0LE3 =(excos30 -eysin30-J =(ex、3 -ej2二 0L8：0L故等邊三角形中心處的電場(chǎng)強(qiáng)度為E =Ei - E2 E3 =ey 片-("3 %)* (ex、3 - ey)堂=門(mén)2二；0L8n0L8二；0L4二 0L2.8 點(diǎn)電荷+q位于(-a,0,0)處，另一點(diǎn)電荷 _2q位于(a,0,0)處，空間有沒(méi)有電場(chǎng)強(qiáng)度E

33、 = 0的點(diǎn)？解 電荷+q在(x,y,z)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為q ex(x a) e。ezZE1 222、3 24 0 (x a) y z 電荷2q在(x, y, z)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為_(kāi) 2q ex(x-a)小 ezz2 =4(xa)2 y2 z232(x, y,z)處的電場(chǎng)則為 E =E 1+E 2。令 E = 0，則有ex(x a) %v & 2ex(x - a) eezz22232222 3 2(x a) y z (x-a) y z 由上式兩端對(duì)應(yīng)分量相等，可得到222 】3 2222 】3 2(x+a)(x_a) +y 十 z =2(x_a)( x 十 a) +y +z 222】3 2

34、222】32y(xa) + y +z =2y(x + a) + y +z /2. 3 2222】32z(x_a) + y +z =2z(x+a) +y +z 以當(dāng)y#?；騴 #0時(shí)，將式或式代入式，得a=0。所以，當(dāng)y#0或z0時(shí)無(wú)解；當(dāng)y=0且z = 0時(shí)，由式，有(x a)(x _ a)3 = 2(x a)(x a)3 解得x =(-32.2)a但x = 3a+2J2a不合題意，故僅在(3a2屈,0,0)處電場(chǎng)強(qiáng)度E=0。2. 9 一個(gè)很薄的無(wú)限大導(dǎo)電帶電面，電荷面密度為。證明：垂直于平面的z軸上z = z處的電場(chǎng)強(qiáng)度E中，有一半是有平面上半徑為偵3z0的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。解 半徑為r、電

35、荷線(xiàn)密度為 # =udr的帶電細(xì)圓環(huán)在 z軸上z = z0處的電場(chǎng)強(qiáng)度為d E ez223 22 p(rz0)故整個(gè)導(dǎo)電帶電面在z軸上z = z0處的電場(chǎng)強(qiáng)度為oOE定r"z0drdlQ °bJ/a10 2；0(r2 K)32 ®2；0 (r2 z2)12而半徑為的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在 z軸上z =。處的電場(chǎng)強(qiáng)度為；3書(shū)E"=ez 220 2 ”(r2 z2)rydr132恐 2；0("力12ez三里E4° 2-13 -2.10 一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球帶電荷量為 Q，當(dāng)球體以均勻角速度 切繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，如題2.10圖所示。求球心處的磁感應(yīng)

36、強(qiáng)度B °解球面上的電荷面密度為一 Q'一 =24二 a當(dāng)球體以均勻角速度 由繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)時(shí)，球面上位置矢量r =ea點(diǎn)處的電流面密度為Js = bv xre xea =Sz I_. TQ - t"、a sin - e sin將球面劃分為無(wú)數(shù)個(gè)寬度為d I = a d B的細(xì)圓環(huán)，則球面上任一個(gè)寬度為d I = a dB細(xì)圓環(huán)的電流為Qd I = Js d I =sin【d【4 -細(xì)圓環(huán)的半徑為 b =asine，圓環(huán)平面到球心的距離d =acosH，利用電流圓環(huán)的軸線(xiàn)上的磁】°°b2 d I。, Qa2 sin% 心。，Q sin % d 口

37、d B _ ez 22 3 2 ez22223 2 ez2(b d )8二(a sin a cos n).3 .B o、Qsin 七口 =% 3 Q故整個(gè)球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為場(chǎng)公式，則該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為8 二 a6 二 a2.11兩個(gè)半徑為b、同軸的相同線(xiàn)圈，各有 N匝，相互隔開(kāi)距離為 d，如題2.11圖所示。 電流|以相同的方向流過(guò)這兩個(gè)線(xiàn)圈。(1)求這兩個(gè)線(xiàn)圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B =exBx ；(2) 證明：在中點(diǎn)處 d Bx/dx等于零；(3) 求出b與d之間的關(guān)系，使中點(diǎn)處 d2 Bx/dx2也等于零。解(1)由細(xì)圓環(huán)電流在其軸線(xiàn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度la2B = e

38、0ez22322(a2 z2)得到兩個(gè)線(xiàn)圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為(2)兩線(xiàn)圈的電流在其軸線(xiàn)上Be：x(b2 d24)32x (0 < x < d)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為-50 -B =e°NIb2.°NIb22(b2 x2)32 2b2 (d -x)232所以dBx _3°NIb2x3oNIb2(d-x).,.2i2522252dx 2(b x )2b (d -x)故在中點(diǎn) x=d?2處，有dBx30NIb2d 230NIb2d 2_=十TTT- = 0 225 2225 2dx 2b d 42b d 4Id2 Bx150NIb2x230NIb2磚= 2(b

39、2 x2)72 _2(b2 x2)5215oNIb2(d -x)23oNIb22b2 (d x)272 Wb2 (d x)252令匝 _0,有5d*1_odx2 5b2 +d2 472 b2+d2452即5d2 4 =b2 d2.4故解得d = b2.12 一條扁平的直導(dǎo)體帶，寬為2a，中心線(xiàn)與z軸重合，通過(guò)的電流為I。證明在第象限內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為則aa , By =-ln也 式中5、r1和r2如題2.12圖所示。4 二 a4 二 ar解 將導(dǎo)體帶劃分為無(wú)數(shù)個(gè)寬度為dx'的細(xì)條帶，每一細(xì)條帶的電流dI =Ldx'。由安培環(huán)路定理，可得位于x'處2a的細(xì)條帶的電流dI在點(diǎn)

40、P(x, y)處的磁場(chǎng)為卜0 d I% I d x，0 dx'一 一一 4二a(x-x)2 y212-0Iy d x2二R4二aRd Bx - -d Bsin【-224- a(x -x ) y 0I (x - x)d x d By = d Bcos4 二 a(x-x)2 y2所以Bx°Iydx彳 4二a(x - x)2 y24二 a0 t arctan4 二 a |Lf rx -x arctan-aa -x一 arctan.y Jarctan4 二 a |L一 arctanI y刀(:2 -：、)= -一° ：4 二 a4 二 aB = ：%(x-x')dx

41、By -224 a(x -x) y J0 I22ln(x-x) y % (x a)2y2ln22q 8 a (x - a) y2.13如題2.13圖所示，有一個(gè)電矩為Pi的電偶極子，位于坐標(biāo)原點(diǎn)上，另一個(gè)電矩為P2的 電偶極子，位于矢徑為 r的某一點(diǎn)上。試證明兩偶極子之間相互作用力為Fr = 3P1P24 (sin 刁 sin 口2 cos -2cos3cos2) "°r式中& Mr, p A, & M r,防A,。是兩個(gè)平面（r, p）和（r, P2）間的夾角。并問(wèn)兩個(gè)偶極子在怎電偶極子p在矢徑為r的點(diǎn)上產(chǎn)生的電場(chǎng)為 1 3( pLr) r所以Pl與P2之

42、間的相互作用能為We= -pL El1 3( plr)(Mr)4 二；0 r5題2.13圖樣的相對(duì)取向下這個(gè)力值最大?因?yàn)?q = r, p >, & =< r, P2 >,貝upL r = prcosFplr = p2rcos又因?yàn)榻硎莾蓚€(gè)平面(r, p)和(r,p2)間的夾角，所以有(r p)|_(r p2) bpsinsin i2cos另一方面，利用矢量恒等式可得(r pi)kr p2)=( r p) r_pr2p-(0)r_|p r2( pLp2)-(rp0(3)因此1 一一(p11_p2(r p)L(r p2) (rp)(rLp?) = P1 P2sm* s

43、mcos 'pP2cosecosr ,P1P2于是礙至|J觀(guān) =3 (sin sin u2 cos - 2cos斗 cos2)4"0r故兩偶極子之間的相互作用力為Pi p2d 1舊 c°ns(sinsinmcos 2cos*cosd2) (飛)=4 odr r4P124 （sin 刁 sin弓cos 一 2cos巳 cos2）由上式可見(jiàn)，當(dāng)q =場(chǎng)=0時(shí)，即兩個(gè)偶極子共線(xiàn)時(shí)，相互作用力值最大。B1 =e.012.14兩平行無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)電流I1和I 2,相距為d，求每根導(dǎo)線(xiàn)單位長(zhǎng)度受到的安培力Fm。2二 r1W1I2Fm12 =.成B/z = f 0 1 2o解 無(wú)限長(zhǎng)

44、直線(xiàn)電流I1產(chǎn)生的磁場(chǎng)為直線(xiàn)電流I2每單位長(zhǎng)度受到的安培力為式中e12是由電流I指向電流I2的單位矢量。IC同理可得，直線(xiàn)電流I每單位長(zhǎng)度受到的安培力為Fm21 = -F回2 = e122二 d2.15 一根通電流I1的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)和一個(gè)通電流I2的圓環(huán)在同一平面上，圓心與導(dǎo)線(xiàn)的距離為d，如題2.15圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力為Fm -0lil2(sec： -1)這里«是圓環(huán)在直線(xiàn)最接近圓環(huán)的點(diǎn)所張的角。解 無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)電流Ii產(chǎn)生的磁場(chǎng)為B J0I1B1 _ e4 2二 r圓環(huán)上的電流元I 2 d l 2受到的安培力為I1o由題2.15圖可知所以J0I1I d Fm =

45、I2d 12 B =d l2 ey 0 1d 12 =( -exsinezcos r)ad mx = d acosn gal 112(-ezsin-excos”d=0 2- (d a cos”c°al1l22-'-e xcos°(d acos”= e x綁(。上dI2d lz題2.15圖)=-e01112(sec： -)當(dāng)dl ：1時(shí)，有故得到r題2.16 圖r1z q2.16 證明在不均勻的電場(chǎng)中，某一電偶極子P繞坐標(biāo)原點(diǎn)所受到的力矩為 r (此')E p E。解 如題2.16圖所示，設(shè)p= qdl (dl <<1),貝U電偶極子 p繞坐標(biāo)原點(diǎn)

46、所受到的力矩為T(mén) f qE(r?) ri qE(ri)=d ld l d ld l(r 項(xiàng) qE (項(xiàng)卡")qE (-；)=qr E(r 星)一E(一凱"l E(r W E(,一)E(r)(芝 '、)E(r)2d ld l iE(r -y) E(r)-(； '、)E(r)T r (qdl '、)E(r) qdl E(r)= r (pH、) E p E三章習(xí)題解答3.1真空中半徑為a的一個(gè)球面，球的兩極點(diǎn)處分別設(shè)置點(diǎn)電荷q和-q，試計(jì)算球赤道平面上電通密度的通量中（如題3.1圖所示）。解由點(diǎn)電荷q和-q共同產(chǎn)生的電通密度為赤道平面題3.1圖4二 L R

47、3尋一_ err ez(z a) _ er ez(z a) 廠(chǎng)，r2 (z-a)232 一2 (z a)232'則球赤道平面上電通密度的通量:，=DLd S= DjezzdS =SS(-a)aq.22、3 222、3 2 R d r =0 (r a ) (r a )qaz 221 2(r a )a1=('_ -1)q - -0.293q3.2 1911年盧瑟福在實(shí)驗(yàn)中使用的是半徑為 荷量為-Ze的電子云，在球心有一正電荷Zera的球體原子模型，其球體內(nèi)均勻分布有總電（Z是原子序數(shù)，e是質(zhì)子電荷量），通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到球體內(nèi)的電通量密度表達(dá)式為D0 = er1 r2 3ra )，試證明

48、之。解 位于球心的正電荷 Ze球體內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度為原子內(nèi)電子云的電荷體密度為ZeDi = eT-4 r3Ze故原子內(nèi)總的電通量密度為題3. 3圖(a)b電子云在原子內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度則為_(kāi)Ze4"； 34 二 ra3_3 -4二 r 3Ze r=-e 2r34 r4 raD 2 =eD = D1D 23.3 電荷均勻分布于兩圓柱面間的區(qū)域中，體密度為_(kāi)r_2 3ra JP°c/m3,兩圓柱0、2面半徑分別為a和b,軸線(xiàn)相距為C（c<b-a）,如題3.3圖（a）所示。求空間各部分的電場(chǎng)。解由于兩圓柱面間的電荷不是軸對(duì)稱(chēng)分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半徑為a的小

49、圓柱面內(nèi)看作同時(shí)具有體密度分別為土P。的兩種電荷分布，這樣在半徑為b的整個(gè)圓柱體內(nèi)具有體密度為 *的均勻電荷分布，而在半徑為 a的整個(gè)圓柱體內(nèi)則具有體密度為-P0的均勻電荷 分布，如題3.3圖（b）所示?？臻g任一點(diǎn)的電場(chǎng)是這兩種電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)的疊加。在rb區(qū)域中，由高斯定律了 ELdS = !，可求得大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn) P產(chǎn)生S£0的電場(chǎng)分別為Ei =er2a ：0E1 = 6p2二；0r，a2r，一 2 pr 2題3. 3圖(b)點(diǎn)P處總的電場(chǎng)為b2ra2rE =巳 E1)在r <b且r'a區(qū)域中，同理可求得大、二 r% 't點(diǎn)P處總的電場(chǎng)為在r&

50、#39; < a的空腔區(qū)域中，大、二r2 ?°泌o2；°r222 ° r r小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn). -二 a2，：=e2二；°2 -一業(yè))2 ；° ' r 2小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)魚(yú)2；°：'° (r點(diǎn)P處總的電場(chǎng)為a f E 3 - er 2"°r'°(r _ r ) = c2 ；°2 ；°P產(chǎn)生的電場(chǎng)分別為 *2r2 ；°r'P產(chǎn)生的電場(chǎng)分別為一 2；°3.4半徑為a的球中充滿(mǎn)密度 P(r)的體電荷，已知電位

51、移分布為r3 Ar2 (r £ a)Dr=a5+Aa4其中A為常數(shù)，試求電荷密度P(r)。2 (ra)l. r1 d c解：由 Lb = P ,有 P(r) = V|2b =(r Dr)r d rid 2322故在 r<a 區(qū)域 P(r)=%"r (r +Ar ) = %(5r +4Ar) r d r5 4在 ra 區(qū)域P(r) =r 2 =°r dr r3.5 一個(gè)半徑為a薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿(mǎn)總電荷量為Q為的體電荷，球殼上又另充有電荷量Q。已知球內(nèi)部的電場(chǎng)為 E =e(r/a)4,設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計(jì)算：(1)球內(nèi)的電荷分布；(2)球殼外表面的電荷面密度。